高中數學選修2-2同步練習題庫：定積分的簡單應用(較難)

共頁，第頁定積分的簡單應用（較難）1、由直線,,曲線及軸所圍成的封閉圖形的面積是（

）A．

B．

C．

D．2、已知，，則展開式中，項的系數為（

）A．

B．

C．

D．

3、的值為(

)A．0

B．

C．2

D．4

4、設則多項式的常數項是（

）A．-332.

B．332

C．166

D．-166

5、由直線，曲線及軸所圍圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．

6、如圖，函數與相交形成一個閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是（

）

A．

B．

C．

D．

7、函數的圖象與軸所圍成的封閉圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．

8、設，則多項式的常數項（

）A．

B．

C．

D．

9、曲線在點（1,）處的切線與坐標軸圍成的三角面積為

（

）A．

B．

C．

D．

10、的值為A．0

B．

C．2

D．4

11、如圖，函數y=與y=1相交形成一個閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是（

）

A．1

B．

C．

D．2

12、設下列關系式成立的是

（

）A．

B．

C．

D．

13、設，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

14、A．

B．

C．

D．

15、若S1＝dx，S2＝dx，S3＝dx，則S1，S2，S3的大小關系為(

)A．S1＜S2＜S3

B．S2＜S1＜S3

C．S2＜S3＜S1

D．S3＜S2＜S116、由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為（

）A．

B．4

C．

D．6

17、下列等于1的積分是

（

）

A．

B．

C．

D．18、下列計算錯誤的是

（）A．

B．

C．

D．19、由曲線所圍成的封閉圖形的面積為A．

B．

C．

D．

20、如圖，陰影部分的面積是(

)

A．2

B．2－

C．

D．

21、由曲線圍成的封閉圖形面積為

（

）A．

B．

C．

D．

22、定積分的值為，則（

）A．

B．

C．

D．

23、的值為

A．0

B．1

C．

D．2

24、函數與的圖象所圍成的封閉圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．

25、已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線在原點處相切，此切線與函數圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為________．26、隨機地向區(qū)域內投點，點落在區(qū)域的每個位置是等可能的，則坐標原點與該點連線的傾斜角不大于的概率是________________．27、若，則從小到大的順序為

.28、曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為

.29、直線與曲線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為

.30、由直線，曲線及軸所圍成的圖形的面積是___________．31、函數在點(1，2)處的切線與函數圍成的圖形的面積等于__________．32、已知在區(qū)間上，，，對軸上任意兩點,

都有.

若,

,,則的大小關系為_________．33、若一組數據的中位數為，則直線與曲線圍成圖形的面積為

.34、．給出下列命題：

①已知線性回歸方程，當變量增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；

②在進制計算中，

；

③若，且，則；

④“”是“函數的最小正周期為4”的充要條件；

⑤設函數的最大值為M，最小值為m，則M＋m=4027，其中正確命題的個數是

個。35、已知（為自然對數的底數），函數，則__________.36、如圖1為某質點在4秒鐘內作直線運動時，速度函數的圖象，則該質點運動的總路程

厘米．37、設函數，若，則

．

38、如圖所示，拋物線與軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開墾的土地，現計劃在該區(qū)域內圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業(yè)用地，其中A、B在拋物線上，C、D在軸上.已知工業(yè)用地每單位面積價值為元，其它的三個邊角地塊每單位面積價值元.

（1）求等待開墾土地的面積；

（2）如何確定點C的位置，才能使得整塊土地總價值最大.

39、已知二次函數，直線，直線（其中為常數），若直線與函數的圖象以及軸與函數的圖象所圍成的封閉圖形（陰影部分）如圖所示.

（1）求的值；

（2）求陰影面積關于的函數的解析式.40、已知函數的圖象如圖，直線在原點處與函數圖象相切，且此切線與函數圖象所圍成的區(qū)域（陰影）面積為.

（1）求的解析式；

（2）若常數，求函數在區(qū)間上的最大值.41、已知．

（Ⅰ）若在處的切線方程為，求與

的值；

（Ⅱ）求．42、（1）求定積分的值；

（2）若復數且為純虛數，求.43、給定可導函數，如果存在，使得成立，則稱為函數在區(qū)間上的“平均值點”.

(1)函數在區(qū)間上的平均值點為；

(2)如果函數在區(qū)間上有兩個“平均值點”，則實數的取值范圍是.44、已知二次函數，直線，直線（其中為常數），若直線與函數的圖象以及軸與函數的圖象所圍成的封閉圖形（陰影部分）如圖所示.

（1）求的值；

（2）求陰影面積關于的函數的解析式.45、如圖，已知二次函數的圖像過點和，直線，直線（其中，為常數）；若直線與函數的圖像以及直線與函數以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.

（1）求；

（2）求陰影面積關于的函數的解析式；

（3）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.

46、已知．

（1）求的單調區(qū)間；

（2）求函數在上的最值．47、定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),設曲線C1在點A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.

48、下列說法：（1）命題“”的否定是“”；

（2）關于的不等式恒成立，則的取值范圍是；

（3）對于函數，則有當時，，使得函數

在上有三個零點；

(4）

（5）已知，且是常數，又的最小值是，則7.其中正確的個數是

.49、如下圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線

與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．

(1)求、及數列的通項公式；(2)設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式；(3)在滿足(2)的條件下,若數列的前項和為，求證：N.

參考答案1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、B8、D9、A10、C11、B12、A13、14、A15、B16、A17、C18、D19、B20、C21、A22、C23、A24、C25、-3．26、27、28、29、30、．31、32、33、

34、435、736、1137、38、（1）;（2）點C的坐標為.39、（1）（2）40、（1）（2）詳見解析.41、（Ⅰ），；（Ⅱ）.42、（1）；（2）．43、(1)1；(2)44、（1）（2）45、（1）；（2）；（3）.46、（1）函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；（2）在上的最大值是，最小值是.47、948、449、(1)，，；(2)；(3)見解析.【解析】1、試題分析：

的范圍為.所以，選A.

考點：定積分.2、

，

，因此

，項的系數為，選C.3、試題分析：原式等于，故選C.

考點：定積分4、試題分析：∵，則多項式

，故它的常數項為，故選：A．

考點：1.二項式系數的性質；2.定積分．5、試題分析：由直線，曲線及軸所圍圖形為下圖中的曲邊梯形ABCD，其面積為，故選C．

考點：定積分求面積．6、試題分析：函數與的交點為，則閉合圖形的面積為

考點：定積分7、試題分析：

根據定積分的面積計算當時，與軸所圍成的面積就是正方形的面積，減四分之一個圓的面積，即，當時，，當時，，面積相加等于.故選B.

考點：1.分段函數；2.定積分的面積計算.8、試題分析：，多項式等于，常數項為，故選D.

考點：1.定積分的計算；2.二項式定理指定項的求法.9、試題分析：，當時，，所以切線方程是，當時，，當時，,所以，都選

考點：1．導數的幾何意義；2．截距10、試題分析：根據定積分的計算公式，原式.

考點：定積分的計算11、試題分析：，選B．

考點：定積分的應用．12、試題分析：

,．

．所以．故A正確．

考點：1定積分;2三角函數值．13、試題分析：由已知得：

，

令，得：，知：曲線是以坐標原點為圓心，1為半徑的圓處在x軸上方部分的半圓，由定積分的幾何意義知：

，

又，

故選A．

考點：定積分．14、試題分析：由題，因為函數為奇函數，為偶函數，故

考點：定積分15、S1＝dx＝x3＝×23－＝，S2＝dx＝lnx＝ln2，S3＝dx＝ex＝e2－e＝e(e－1)，ln2＜lne＝1，且＜2.5＜e(e－1)，所以ln2＜＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3.16、解：根據定積分的定義，則可知由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為17、略18、略19、本題考查定積分的幾何意義、定積分的計算。

由定積分的幾何意義，幾何圖形，曲線所圍成的封閉圖形的面積。

20、試題分析：直線與拋物線，解得交點為和，拋物線與軸負半軸交點，設陰影部分的面積為，故選C.

考點：定積分求解曲邊形的面積.

【方法點晴】本題主要考查了利用定積分求解曲邊形的面積，體現了定積分的應用，解答中要注意分割，關鍵是要注意在軸下方的部分的定積分為負（定積分的幾何意義強調代數和）屬于基礎題，解答中正確找到倍積函數，寫出定積分式是解答問題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.21、考點：定積分在求面積中的應用．

分析：要求曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積，根據定積分的幾何意義，只要求∫01（x2-x3）dx即可．

解：由題意得：所求封閉圖形的面積為

∫01（x2-x3）dx═（x3-x4）|01

=×1-×1=，

故答案為：A．22、略23、略24、由得，，作出函數的圖象，則所求封閉圖形的面積為．25、試題分析：，由題意，，，易知，，所以．

考點：導數的幾何意義，定積分的幾何意義．26、所求概率為幾何概型，測度為面積，區(qū)域面積為

，坐標原點與該點連線的傾斜角不大于的面積為

，所以概率為

27、試題分析：由題意得，，，，所以．

考點：定積分的計算．28、試題分析：先根據題意畫出圖形，得到積分上限為1，積分下限為0，直線與曲線所圍圖形的面積

而

∴曲邊梯形的面積是．

考點：定積分29、試題分析：先根據題意畫出圖形，得到積分上限為，積分下限為，曲線與直線在第一象限所圍成餓圖形的面積是，即圍成的封閉圖形的面積為．

考點：利用定積分求解曲邊形的面積.30、試題分析：．

考點：1、定積分的應用；2、微積分基本定理．31、因為，所以，，則函數在點(1，2)處的切線為，即，作出草圖（如圖所示），則所求陰影部分的面積為.

32、試題分析：數形結合法，由已知可知f（x）的圖象在過點A（a，f（a））和B（b，f（b））的直線的上方，過A點和B點做垂直于x軸的直線分別交x軸于C、D兩點，過點A做直線BD的垂線交BD于點E，從而有為f（x）的圖象與x=a、x=b、x軸圍成的曲多邊形的面積，而為直角梯形ABDC的面積，為矩形ACDE的面積，由圖象可知.

考點：定積分的幾何意義33、試題分析：由中位數的定義知，即，由微積分基本定理可知該直線與曲線圍成圖形的面積為。

考點：（1）中位數的定義及求法；（2）由微積分基本定理求定積分。34、試題分析：①由線性回歸方程的意義可得結論正確；②，正確③由正態(tài)分布函數的性質可知正確；④由定積分的知識得：a=，所以根據周期公式知T=4，正確；⑤根據函數f（x）在單調遞增和是一個奇函數，然后進行整體運算.

考點：（1）線性回歸方程；（2）正態(tài)分布函數；（3）定積分；（4）函數的性質.35、試題分析：因為=，，

所以，答案為7.

考點：定積分計算，分段函數，對數計算.36、略37、略38、試題分析：（1）由于等待開墾土地是由曲線與x軸圍成的，求出曲線與x軸的交點坐標，再用定積分就可求出此塊土地的面積；（2）既然要確定點C的位置，使得整塊土地總價值最大,那我們只需先設出點C的坐標為(x，0)，然后含x的代數式表示出矩形地塊ABCD，進而結合（1）的結果就可表示出其它的三個邊角地塊的面積，從而就能將整塊土地總價值表示成為x的函數，再利用導數求此函數的最大值即可．

試題解析：（1）由于曲線與x軸的交點坐標為（－１，0）和(１,0),所以所求面積S=，

故等待開墾土地的面積為

3分

（2）設點C的坐標為，則點B其中，

∴

5分

∴土地總價值

7分

由得

9分

并且當時，

故當時，y取得最大值.

12分

答：當點C的坐標為時，整個地塊的總價值最大.

13分

考點：1.定積分;2.函數的最值.39、試題分析：（1）由圖可知二次函數的圖象過點，并且的最大值為16，可求得二次函數的解析式。（2）由（1）知，函數的解析式為

，求出二次函數與（其中為常數）的交點，所以陰影部分面積要分兩段積分，分[0,1]和[1,2]積分可求得面積。

試題解析：（1）由圖可知二次函數的圖象過點，并且的最大值為16，

則.

（2）由（1）知，函數的解析式為

，

由，所以，

因為，所以直線與的圖象位于左側的交點坐標為，

由定積分的幾何意義知：

.40、（1）由得.，由得，

∴，則易知圖中所圍成的區(qū)域（陰影）面積為，從而得，∴.

（2）由（1）知.的取值變化情況如下：2單調

遞增極大值

單調

遞減極小值

單調

遞增又，所以①當時,；

②當時,

綜上可知：當時,；

當時,

考點：導數與積分在幾何中的應用.41、試題分析：

（Ⅰ）求出函數的的導函數；根據題意知，可解得，；

（Ⅱ）根據微積分的基本定理設，解得，，得

，從而求得．

試題解析：

解：．

（Ⅰ）依題意：，解得，；

（Ⅱ）設，則

，解得，，即

，

∴．

考點：導數的幾何意義；微積分的基本定理.42、試題分析：（1）去掉絕對值，化簡積分式，即可計算定積分的值；（2）化簡，利用復數為純虛數，得出，求出的值，利用復數模的公式計算即可．

試題解析：（1）∫﹣21|x2﹣2|dx=+

=+=

故定積分是

（2）===

∵這個復數是一個純虛數，∴3a﹣8=0，∴a=，∴|z1|==

故復數的模長是

考點：定積分的計算；復數的運算及復數的定義．43、試題分析：由“平均值點”的定義可得，存在，使得成立，

即有在區(qū)間[-2，2]上“平均值點”的個數為1．

由題設存在，使得，

所以在[-1,1]上有兩解，問題轉化為與直線有兩個交點問題，因為直線橫過，

結合圖像不難得到.

考點：新定義、定積分的運用、直線與圓的位置關系44、試題分析：（1）由圖可知二次函數的圖象過點，并且的最大值為16，可求得二次函數的解析式。（2）由（1）知，函數的解析式為

，求出二次函數與（其中為常數）的交點，所以陰影部分面積要分兩段積分，分[0,1]和[1,2]積分可求得面積。

試題解析：（1）由圖可知二次函數的圖象過點，并且的最大值為16，

則.

（2）由（1）知，函數的解析式為

，

由，所以，

因為，所以直線與的圖象位于左側的交點坐標為，

由定積分的幾何意義知：

.45、試題分析：（1）根據二次函數的圖像過點和，法一：可以直接將點代入得到，進而求解即可；法二：由二次函數的圖像過點，可設（兩根式），進而再將代入可求出的值，最后寫出函數的解析式即可；（2）先求出直線與函數的圖像的交點坐標，進而根據定積分的幾何意義即可求出；（3）先由條件判斷點不在曲線上，于是設出切點，進而求出切線的斜率，一方面為，另一方面，于是得到等式即，根據題意，關于的方程要有三個不相等的實根，設，轉化為該函數的極大值大于零且極小值小于零，最后根據函數的極值與導數關系進行求解運算即可求出的取值范圍.

(1)二次函數的圖像過點，則，又因為圖像過點

∴

3分

∴函數的解析式為

4分

(2)由得，

∴直線與的圖像的交點橫坐標分別為，

6分

由定積分的幾何意義知：

8分

（3）∵曲線方程為，

∴點不在曲線上，設切點為，則，且

所以切線的斜率為，整理得

10分

∵過點可作曲線的三條切線，∴關于方程有三個實根

設，則，由得

∵當時，在在上單調遞增

∵當時，在上單調遞減

∴函數的極值點為

12分

∴關于當成有三個實根的充要條件是

解得，故所求的實數的取值范圍是

14分.

考點：1.二次函數的圖像與性質；2.定積分的應用；3.導數的幾何意義；4.函數的極值與導數.46、試題分析：（1）先根據導數公式，確定，進而計算出，然后通過求導，求解不等式、并結合函數的定義域，即可得到的單調區(qū)間；（2）根據（1）的單調性，分別求出在區(qū)間的極值、端點值，然后進行比較大小，最大的為最大值，最小的為最小值，問題就得以解決.

試題解析：依題意得，，定義域是．

（1）

令，得或

令，得

由于定義域是

函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是

（2）令，從中解得（舍去），

由于

在上的最大值是，最小值是.

考點：1.定積分的計算；2.函數的單調性與導數；3.函數的最值與導數.47、因為F(x,y)=(1+x)y,