高中數(shù)學(xué)選修2-3-同步練習(xí)-1.3-二項(xiàng)式定理(解析版)

第一章計(jì)數(shù)原理1.3二項(xiàng)式定理一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．(1+x)7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是A．42 B．35C．28 D．21【答案】D【解析】(1+x)7的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=xr,令r=2,得x2的系數(shù)為=21.故選D.【技巧點(diǎn)撥】熟記二項(xiàng)式定理：，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.2．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第二項(xiàng)是A．6x4 B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x4【答案】D【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令,可得展開(kāi)式的第二項(xiàng)為=.選D．【名師點(diǎn)睛】（1）求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型①求第r項(xiàng)，Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1；②求含xr的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng)．（2）求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法①對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；②對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類(lèi)問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解；③對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致．3．若的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為A． B．C． D．【答案】B4．的展開(kāi)式中,的系數(shù)為A． B．C． D．【答案】B【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,則的展開(kāi)式中,的系數(shù)為5．在的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32,則的系數(shù)為A．50 B．70C．90 D．120【答案】C【解析】∵各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32，∴，得∴通項(xiàng)公式為，令，的系數(shù)為【總結(jié)歸納】二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)是指，，…，，它是組合數(shù)，只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．如的展開(kāi)式中，第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，而該項(xiàng)的系數(shù)是.當(dāng)然，某些特殊的二項(xiàng)展開(kāi)式如，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的．6．已知的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則的值為A． B．C． D．【答案】C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.首先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可求得最終結(jié)果.7．已知二項(xiàng)式，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為A． B．C． D．49【答案】B【解析】，二項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生在中，分別是,它們的和為，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.解題時(shí)，首先將變形為，按二項(xiàng)式展開(kāi)，分別得到展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，求和即可得結(jié)果.8．＝,則等于A(yíng)．32 B．-32C．-33 D．-31【答案】D【解析】因?yàn)椋?當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),①當(dāng)時(shí),②①-②，得=①+②，得=所以=故選D．9．若的展開(kāi)式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是A． B．C． D．【答案】D【解析】∵的展開(kāi)式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴為偶數(shù)，展開(kāi)式共有項(xiàng)，則.的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得.∴展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是，故選D．【名師點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：（1）求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可；（2）已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).10．設(shè)，若，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng)C．第4項(xiàng)和第5項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】C【解析】令，可得，令，得，由題意得，代入得，所以，又因?yàn)?，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)和第項(xiàng)，故選C.11．的展開(kāi)式中恰有三項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，則的可能取值為A．9 B．10C．11 D．12【答案】D【解析】由題意，展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，系數(shù)為有理數(shù)，則n﹣r是3的倍數(shù)，r是2的倍數(shù)，n=9，r=6，不符合；n=10，r=4,10，不符合；n=11，r=2，8，不符合；n=12，r=0,6,12，符合題意，故選D．二、填空題：請(qǐng)將答案填在題中橫線(xiàn)上．12．如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展開(kāi)式中的系數(shù)是

______.【答案】-189【技巧點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)，可以通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解．利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)時(shí)注意下列問(wèn)題：（1）是第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)．（2）通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒．（3）通項(xiàng)公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè)，即“知四求一”.13．設(shè),則_________.【答案】2【解析】令x＝1可得,令x＝0可得,所以＝2.【名師點(diǎn)睛】“賦值法”是解決二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開(kāi)式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x=0可得常數(shù)項(xiàng)，令x=1可得所有項(xiàng)系數(shù)之和，令x=－1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差．14．233除以9的余數(shù)是_________.【答案】8【解析】233＝(23)11＝(9－1)11＝911－Ceq\o\al(1,11)910＋Ceq\o\al(2,11)99－···＋Ceq\o\al(10,11)9－1＝9(910－Ceq\o\al(1,11)99＋···＋Ceq\o\al(10,11)－1)＋8，∴233除以9的余數(shù)是8.【名師點(diǎn)睛】利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開(kāi).15．(N*)展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_______.【答案】1三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．在二項(xiàng)式(2x?3y)9的展開(kāi)式中,求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和；（2）各項(xiàng)系數(shù)之和；（3）各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和.【解析】設(shè)(2x?3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+···+a9y9.（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和為+++···+=29.（2）各項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a1+a2+···+a9,令x=1,y=1,得a0+a1+a2+···+a9=(2?3)9=?1.（3）|a0|+|a1|+|a2|+···+|a9|=a0?a1+a2?···?a9,令x=1,y=?1,得|a0|+|a1|+|a2|+···+|a9|=a0?a1+a2?···?a9=59,則各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和為59.17．已知在的展開(kāi)式中，第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求：（1）的值；（2）展開(kāi)式中的系數(shù).【解析】（1）在的展開(kāi)式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，而第9項(xiàng)為,故有2n?20=0，解得n=10.（2）由（1）可得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.令20?

=5,求得r=6,故展開(kāi)式中x5的系數(shù)為.18．利用二項(xiàng)式定理證明2n+2·3n+5n－4()能被25整除.【解析】因?yàn)?n+2·3n=4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，所以n≥2時(shí)，2n+2·3n＋5n－4能被25整除，n=1時(shí)，2n+2·3n＋5n－4=25.所以，當(dāng)時(shí)，2n+2·3n＋5n－4能被25整除.19．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二項(xiàng)式(axm+bxn)12的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)恰好是常數(shù)項(xiàng),且2m+n=0,求的取值范圍.【解析】Tr+1=(axm)12?r·(bxn)r=a12?rbrxm(12?r)+nr.令m(12?r)+nr=0,又2m+n=0,所以m(12?r)?2mr=0,又m≠0,得r=4.