高中數(shù)學黃金100題系列第63題空間平行關系的證明理

#/21第63題空間平行關系的證明I．題源探究·黃金母題例1】如圖，在空間四邊形ABCD中，E,F,G分別是AB,BC,CD的中點，求證：1）BDP平面EFG；2）ACP平面EFG；．GCFB解析】分析：（1）取PA的中點F，連結EF，【解析】（1）∵E、F分別為BC、CD的中點，∴EF為BCD的中位線，∴EFPBD，∵EF平面EFG，BD平面EFG，∴BDP平面EFG．（2）∵G、F分別為AD、CD的中點∴GF為ACD的中位線，∴GFPAC．∵GF平面EFG，AC平面EFG，∴ACP平面EFG．II．考場精彩·真題回放【例2】【2017課標II理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD，1oABBCAD,BADABC90o,E是PD的中2點。（1）證明：直線CE//平面PAB；（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45o，求二面角MABD的余弦值。BF，由題意證得CE∥BF，利用線面平行的判斷定理即可證得結論；解析：（1）取PA的中點F，連結EF，BF。因為E是PD的中點，所以1EF∥AD,EFAD,由2BADABC90o得BC∥AD，又1BC1AD,所以EF∥BC。四邊形BCEF為2平行四邊形，CE∥BF。又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB。（2）略【名師點睛】平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型；證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.【例3】【2015福建理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB^平面BEC，BE^EC，AB=BE=EC=，2G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點.ADEADE．(Ⅰ)求證：GF//平面ADE(Ⅱ)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．A在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點得MF//AD．又AD面ADE，MF面ADE，所以MF//面ADE．又因為GMIMFM，GM面GMF，MF面GMF，所以面GMF//平面ADE，因為GF面GMF，所以GM//平面ADE．2答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)2．3解析】解法一：(Ⅰ)如圖，取AE的中點H，連接HG，HD，又G是BE的中點，1所以GHPAB，且GH=AB，、21又F是CD中點，所以DF=1CD，由四邊形ABCD是矩形2得，ABPCD，AB=CD，所以GHPDF，且GH=DF．從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF//DH，又，DH趟平面ADE，GF平面ADE所以GFP平面ADE．A(Ⅱ)略【技巧點撥】證明立體幾何中的平行關系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證；【例4】【2017浙江19】如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點．AA解法二：(Ⅰ)如圖，取AB中點M，連接MG，MF，又G是BE的中點，可知GM//AE，又AE面ADE，GM面ADE，所以GM//平面

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE//BF，因此CE//平面PAB．Ⅰ）證明：CE//平面Ⅰ）證明：CE//平面PAB；Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（Ⅱ）略【名師點睛】證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面．解析】分析：（Ⅰ）取PA中點F，構造平行四邊形BCEF，可求證；解析：解析】分析：（Ⅰ）取PA中點F，構造平行四邊形BCEF，可求證；解析：精彩解讀【試題來源】人教版A版必修二第79頁復習參考題B組第2題．【母題評析】本題是以正方體為載體考查空間直線與平面的垂直關系，這種題型能充分考查學生的邏輯思維能力與空間想象能力，以及綜合分析與解決問題的能力．這在高考中常常出現(xiàn)在解答題的第1小題位置．Ⅰ）如圖，設PA中點為F，連結EF，F(xiàn)B．因為E，F(xiàn)分【思路方法】兩平面平行（或垂直）問題常轉化為直線與直線平行（或垂直），而直線與平面平行（或垂直）又可轉化為直線與直線平行（或垂直），所以在解題時應注意“轉化思想”的運用。這種轉化實質上就是：將“高維問題”轉化為別為PD，PA中點，所以EF//AD且EF112AD，又因為BC//AD，BC1AD，所以EF//BC且EFBC，2“低維問題”，將“空間問題”轉化為“平面問題”．命題意圖】本類題主要考查空間空間直線、平面間的平行與垂直關系的證明和判斷，以及考查邏輯思維能力、空間想象能力、轉化能力．【考試方向】這類試題在選擇題中，主要考查空間直線、平面間的平行與垂直的概念、定理、公理、推論等的辨析及位置判斷；在解答題中主要考查直線與平面間的平行與垂直，主要出現(xiàn)在第1小題中．【難點中心】求空間直線、平面間位置關系的證明的主要難點：（1）對幾何體結構認識不透，空間想象能力較差，難以下手；（2）不能正確利用條件中中點、垂直關系實施有效的轉化．

III．理論基礎·解題原理考點直線、平面平行的判定及其性質定理定理內容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行a,b,且a//ba//在已知平面內“找出”一條直線與已知直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問題”轉化為“平面問題”平面與平面平行的判定一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a,b,aIbP,a//,b////判定的關鍵：在一個已知平面內“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉化為“線面平行問題”直線與平面平行的性質一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a//,a,Iba//b平面與平面平行的性質如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行//,Ia,Iba//bIV．題型攻略·深度挖掘【考試方向】在選擇題中，主要考查空間直線、平面間的平行與垂直的概念、定理、公理、推論等的辨析及位置判斷；在解答題中主要考查直線與平面間的平行與垂直，主要出現(xiàn)在第 1小題中．【技能方法】（1）證明線線平行轉化為證明線面平行或面面平行；（2）證明線面平行轉化為證明線線平行（垂直）或面面平行；（3）證明面面平行轉化為證明線線平行（垂直）或線面平行．【易錯指導】（1）忽視定理的關鍵條件，如忽視平面與平面平行的判定定理中，兩條直線相交的條件；（2）胡亂推廣平面幾何的結論而用于證明空間問題；（3）受定勢思維的影響，憑直覺思維主觀臆斷而誤導結論．V．舉一反三·觸類旁通

考向1空間直線與平面平行的證明直線m與平面內無數(shù)條直線平行”是“直線m//平面直線m與平面內無數(shù)條直線平行”是“直線m//平面充分不必要條件既不充分也不必要條件A.充要條件B.C.必要不充分條件D.【答案】C例2】【湖南省五市十校教研教改共同體2018屆高三聯(lián)考】如圖，在矩形ABCDBC2,AB1，PA1平面ABCD，BE//PA,BE PA，F(xiàn)為PA的中點.1F為PA的中點.1）求證：DF//平面PEC；2）記四棱錐CPABE的體積為V1，三棱錐PACD的體積為V2，求V1.V23答案】（1）見解析；（2）3．2解析】（1）連接EF，∵BE//AF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴EF//AB，在矩形ABCD中，AB//CD，∴EF//CD，∴四邊形CDFE為平行四邊形，DF//EC.∴DF//平面PEC.2）連接PB，由題意知，VPACDVPABC2）連接PB，由題意知，VPACDVPABCVCPAB，EBPAAB1ABPA2【例3】【2018湖北省襄陽市調研】如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖，1在直觀圖中，M是BD的中點，AECD，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數(shù)據(jù)如2圖所示．(Ⅰ)求證：EM∥平面ABC；(Ⅱ)求出該幾何體的體積．答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)4．(Ⅱ)(Ⅱ)解：由己知，AE2，DC4，ABAC，且ABAC2，QEA平面ABC，EAAB，又ABAC，AB平面ACDE，AB是四棱錐BACDE的高，AEDCAB242梯形ACDE的面積S6，221VBACDE SH4，即所求幾何體的體積為4．3【解法指導】一般地，對于用判定定理證明，即證明平面內的某條直線與已知直線平行，可根據(jù)題設條件去尋找這條“目標直線”，從而達到線線與線面的轉化．若借助面面平行的性質來證明線面平行，則先要確定一個平面經(jīng)過該直線且與已知平面平行，此“目標平面”的尋找多借助“中位線”來完成．SABC中，SABC中，ABC是邊長為6的正三角形，1．【2017-2018河南省洛陽名校聯(lián)考】在三棱錐

SASBSC15，平面DEFH分別與AB、BC、SC、SA交于D,E,F,H分別是AB、BC、SC、SA的中點，如果直線SB//平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為(A.45B.453C.45D.45322【答案】A∴AC⊥SO，AC⊥OB，∵S0∩OB=O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，則HD⊥DE，即四邊形DEFH是矩形，BC2，∴四邊形DEFH的面積S=15×3=45，故選：A.BC2，2.【廣西桂梧高中2018屆高三聯(lián)考】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABCC14，AC25，M,N分別是A1B,B1C1的中點.1)求證：MN//平面ACC1A1；2)求點N到平面MBC的距離.答案】(1)見解析，(2)204141(2)解：QBC3,AB4,ACCC15，ABBC,S1BCBB113515SMBC1BCBM1413341NBC22122224又點M到平面的BCN的距離為h1AB22，設點N與平面MBC的距離為h，由V三棱錐M11NBC=V三棱錐NMBC可得SNBChSMBCh，3311513412041，即2 h，解得h323441即點N到平面MBC的距離為2041.413.【江西省臨川二中、新余四中2018屆高三聯(lián)考】如圖，多面體ABCDB1C1是由三棱柱ABCA1B1C1截去一部分而成，D是AA1的中點.（1）若ADAC1，AD平面ABC，BCAC，求點C到面B1C1D的距離；（2）若E為AB的中點，F(xiàn)在CC1上，且CC1，問為何值時，CF直線EF//平面BC1D1？【答案】（1）2；（2）證明見解析.（2）當 4時，直線EF//平面BC1D1，理由如下：設AD1，則BB12，取DB1的中點H，連接EH，可得AD//EH//CC1，EH是梯形EH是梯形DABB1的中位線，EH3當C1FEH時，四邊形C1FEH為平行四邊形，即EF//HC1，2HC1面B1C1D，∴直線EFP平面B1C1D，此時CC1 4CF

【點睛】：本題主要考查了點到面的距離，直線與平面平行的判定，屬于基礎題；在求點到面的距離中主要采用證明線面垂直找出距離或者等體積法；線面平行主要通過一下幾種方式： 1、利用三角形中位線；2、構造平行四邊形；3、利用面面平行等.考向2空間平面與平面平行的證明【例1】【2017山西省臨汾一中高三3月月考】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱錐PABCD的高，PAAB2，點M,N,E分別是PD,AD,CD的中點．（1）求證：平面MNEP平面ACP；（2）求四面體AMBC的體積．（2）因為PA是四棱錐PABCD的高，1由MN∥PA,知MN是三棱錐MABC的高，且MNPA1，21所以VAMBC VMABCSABCMN11ABBC123323

【點睛】面面平行問題其實質是將其轉化為線面平行或線線平行問題，而線面問題可轉化為線線平行的問題或面面平行問題，線線平行問題又可轉化為線面平行或面面平行問題．因此，線線平行、線面平行、面面平行三者之間關系非常緊密，它們可相互進行轉化證明．跟蹤練習】1．【廣西桂林市柳州市2018年屆高三綜合模擬】在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，若存在實數(shù) 使得CQ CC1時，平面D1BQ//平面PAO，則 1答案】12【點睛】:當Q為CC1的中點時，QB∥PA，D1B∥PO，由此能求出平面D1BQ∥平面PAO．2.【江西省南昌市2018屆上學期高三摸底】如圖，在四棱錐PABCD中，ABCACD90o，BACCAD60o，PA平面ABCD，PA2,AB1.設M,N分別

為PD,AD的中點.1）求證：平面CMN∥平面PAB；2）求三棱錐PABM的體積.答案】（1）證明見解析2）三棱錐答案】（1）證明見解析2）三棱錐PABM的體積V（（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.由已知，AB1，ABC90o，BAC60o，∴BC3，∴三棱錐PABM的體積VV∴三棱錐PABM的體積VVMPABVCPAB3.【2016鄭州一中考前沖刺三】如圖，在四棱錐VPABCPABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADPBC，BAD90，BC2AD，AC與BD交于點O，點M，N分別在線段PC，AB上，CM BN2.MPNA1）求證：平面MNOP平面PAD；2）若平面PAD平面ABCD，PDA60，且PDDCBC2，求幾何體MABC的體積.2）在PAD2）在PAD中，PA2∴PA2AD2PD2，即PAAD．又平面PAD平面ABCD，∴又平面PAD平面ABCD，∴PA平面ABCD．又由（1）知OMPAP，∴MO平面ABC，且MO2AP3233，∴ABV1MOS3在梯形ABCD中，CDBC2AD2，BAD90，∴ABV1MOS3∴ABC的面積S1ABBC3，∴幾何體MABC的體積2考向3空間垂直與平行綜合【例1】【2017山東高考18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E平面ABCD,Ⅰ)證明：A1O∥平面B1CD1;(II)因為ACBD,E，M分別為AD和OD的中點,所以EMBD,因為ABCD為正方形,所以AOBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD所以A1EBD,因為B所以A1EBD,因為B1D1//BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM，A1EIEME.A1EM例A1EM例2】【2017太原市高三二?！咳鐖D，在多面體ABC平面B1CD1.A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，A1CB是正三角形，ACAB1，B1C1//BC，BC2B1C1.

（1）求證：AB1//平面A1C1C；（2）求多面體ABCA1B1C1的體積.（2）在正方形ABB1A中，A1B2，又A1BC是等邊三角形，所以A1CBC2,所以AC2AA1222A1C2，AB2AC2BC2，于是AA1AC，ACAB，又AA1AB，∴AA1平面ABC，∴AA1CD又CDAD，ADIAA1A，∴CD平面ADC1A1，于是多面體ABCA1B1C1是由直三棱柱ABDA1B1C1和四棱錐CADC1A1組成.又直三棱柱ABDA1B1C1的體積為1(1111)1，2241221四棱錐CADC1A1的體積為13226故多面體ABCA1B1C1的體積為115.4612.

【點睛】圓柱與圓錐的組合主要有兩種方式：（1）圓柱內有一棱錐，圓柱與圓錐底面重合、圓錐頂點為圓柱底面中點，解答時抓住它們有相同的高和底面即可建立相關關系； （2）圓錐內接一個圓柱，圓柱一底面在圓錐底面上，另一底面在圓錐側面上，解答時主要作軸截面，通常利用三角形相似等知識來解決．【跟蹤練習】1.【2018江西省南昌市第二中學月考】在如圖所示的多面體中， DE平面ABCD,AF//DE,AD//BC,ABCD,ABC600，BC2AD4DE4．1）在AC上求作點P，使PE//平面ABF，請寫出作法并說明理由；2）求三棱錐ACDE的高．答案】（1）詳見解析（2）3.（2）在等腰梯形ABCD中，∵ABG600,BC2AD4，∴可求得梯形的高為3，從而ACD的面積為1233.2∵DE平面ABCD，∴DE是三棱錐EACD的高.11設三棱錐ACDE的高為h.由VACDEVEACD，可得 SCDEhSACDDE，33即121h3，解得h3，故三棱錐ACDE的高為3.22.【2017北京大興區(qū)一?！咳鐖D，在三棱錐 P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．Ⅰ）求證：PA⊥BD；Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面PAC；Ⅲ）當PA∥平面BDE時，求三棱錐E–BCD的體積．答案】詳見解析

解析：證明：（I）因為PAAB，PABC，所以PA平面ABC，又因為BD平面ABC，所以PABD.（II）因為ABBC，D為AC中點，所以BDAC，由（I）知，PABD，所以BD平面PAC，所以平面BDE平面PAC.（III）因為PA∥平