高等數(shù)學(xué)(大二、三)題庫

（一）函數(shù)、極限、連續(xù)一、選擇題：在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，由()所給出的函數(shù)是單調(diào)上升的。(A)(B)(C)(D)當(dāng)時，函數(shù)f(x)=xsinx是()（A）無窮大量（B）無窮小量（C）無界函數(shù)（D）有界函數(shù)當(dāng)x→1時，都是無窮小，則f(x)是的()（A）高階無窮?。˙）低階無窮小（C）同階無窮小（D）等階無窮小x=0是函數(shù)的()（A）可去間斷點(diǎn)（B）跳躍間斷點(diǎn)；（C）振蕩間斷點(diǎn)（D）無窮間斷點(diǎn)下列的正確結(jié)論是（）（A）若存在，則f(x)有界；（B）若在的某鄰域內(nèi)，有且都存在，則也存在；（C）若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a),f(b)<0則方程f(x)=0,在(a,b)內(nèi)有唯一的實(shí)根;當(dāng)時，都是無窮小，但與卻不能比.二、填空題：若且則f(x)的表達(dá)式為;已知數(shù)列的極限是4,對于滿足n>N時，總有成立的最小N應(yīng)是;(b為有限數(shù)),則a=,b=;設(shè)則x=a是f(x)的第類間斷點(diǎn);且f[g(x)]在R上連續(xù)，則n=；計算題:1、計算下列各式極限：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）2、確定常數(shù)a,b，使函數(shù)在x=-1處連續(xù).四、證明：設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且a<f(x)<b,證明在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使.（二）導(dǎo)數(shù)與微分一、填空題:設(shè)存在，則=;則;設(shè),則dy=;設(shè)則;y=f(x)為方程xsiny+ye確定的隱函數(shù),則.二、選擇題:則的值為()(A)–lna(B)lna(C)(D)設(shè)曲線與直線相交于點(diǎn),曲線過點(diǎn)處的切線方程為()(A)2x-y-2=0(B)2x+y+1=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=0設(shè)處處可導(dǎo)，則()(A)a=b=1(B)a=-2,b=-1(C)a=0,b=1(D)a=2,b=1若f(x)在點(diǎn)x可微,則的值為()(A)1(B)0(C)-1(D)不確定5、設(shè)y=f(sinx),f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則dy的表達(dá)式為()(A)(B)(C)(D)三、計算題：設(shè)對一切實(shí)數(shù)x有f(1+x)=2f(x),且,求若g(x)=又f(x)在x=0處可導(dǎo)，求求曲線在t=0處的切線方程f(x)在x=a處連續(xù),求設(shè),求設(shè),求.計算的近似值.（三）中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、填空題：函數(shù)f(x)=arctanx在[0,1]上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的=;若則a=,b=;設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則=;的極大值為，極小值為;的最大值為，最小值為.二、選擇題：如果a,b是方程f(x)=0的兩個根，函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足羅爾定理條件，那么方程f’(x)=0在(a,b)內(nèi)（）（A）僅有一個根；（B）至少有一個根；（C）沒有根；（D）以上結(jié)論都不對。函數(shù)在區(qū)間[-上（）（A）滿足羅爾定理的條件，且（B）滿足羅爾定理的條件，但無法求（C）不滿足羅爾定理的條件，但有能滿足該定理的結(jié)論；（D）不滿足羅爾定理的條件如果一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上既有極大值，又有極小值，則（）（A）極大值一定是最大值；（B）極小值一定是最小值；（C）極大值一定比極小值大；（D）極大值不一定是最大值，極小值不一定是最小值。設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則是f(x)在(a,b)內(nèi)為減函數(shù)的（）（A）充分條件；（B）必要條件；（C）充要條件；（D）既非充分又非必要條件。若f(x)在(a,b)上兩次可導(dǎo)，且（）,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加且是上凹的。（A）；（B）；（C）；（D）三、計算題：求:求過曲線y=xe上的極大值點(diǎn)和拐點(diǎn)的連線的中點(diǎn)，并垂直于直線x=0的直線方程.四、應(yīng)用題：通過研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學(xué)生掌握一個概念的能力）依賴于在概念引人之前老師提出和描述問題所用的時間，講座開始時，學(xué)生的興趣激增，分析結(jié)果表明，學(xué)生掌握概念的能力由下式給出：,其中G（x）是接受能力的一種度量，x是提出概念所用的時間（單位：min）（a）、x是何值時，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或降低？（b）、第10分鐘時，學(xué)生的興趣是增長還是注意力下降？（c）、最難的概念應(yīng)該在何時講授？（d）、一個概念需要55的接受能力，它適于對這組學(xué)生講授嗎？五、證明題：證明不等式（四）不定積分一、選擇題：設(shè)可微，則（）（A）（B）（C）（D）若F（x）是的一個原函數(shù)，則cF（x）（）的原函數(shù)（A）是（B）不是（C）不一定是若則（）（A）（B）（C）（D）設(shè)在[a，b]上連續(xù)，則在（a，b）內(nèi)必有（）導(dǎo)函數(shù)（B）原函數(shù)（C）極值（D）最大值或最大值下列函數(shù)對中是同一函數(shù)的原函數(shù)的有（）在積分曲線族中，過點(diǎn)的曲線方程是（）7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.8、已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且x=1時y=2,這個函數(shù)是（ ）（A）（B）（C）（D）9、（ ）（A）;（B）;（C）；（D）.10、（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.二、計算題:1、2、3、5、6、7、三、求其中（五）定積分及其應(yīng)用一、填空題：設(shè)是連續(xù)函數(shù)，，則F'(x)=;設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則；；4、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，f(0)=-1,則；5、函數(shù)=在區(qū)間[a，b]上的平均值為.二、單項選擇題：設(shè)存在，則在[a，b]上()(A)可導(dǎo)(B)連續(xù)(C)具有最大值和最小值(D)有界設(shè)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則()（A）（B）（C）（D）設(shè)存在，則I=()(A)(B)(C)(D)0,在()（A）P<1時收斂,P≥1時發(fā)散（B）P≤1時收斂,P≥1時發(fā)散（C）P>1時收斂,P≤1時發(fā)散（D）P≥1時收斂,P<1時發(fā)散曲線及y軸所圍的圖形面積為()(A)(B)(C)(D)三、計算下列定積分:1、2、3、4、四、求下列極限:1、2、五、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y（x）由方程所決定，試討論函數(shù)y=y（x）的極值.六、已知拋物線，求p和a的值，使得：拋物線與y=x+1相切；拋物線與0x軸圍成的圖形繞0x軸旋轉(zhuǎn)有最大的體積.（六）微分方程一、填空題：1．微分方程：滿足初始條件的特解是；2．微分方程：的通解為；3．方程的兩邊除以，便可化為，從而求得原方程的通解為；4．已知某微分方程的特征方程的根如下，試寫出相應(yīng)的階數(shù)最低的微分方程：（1）微分方程，（2）微分方程，（3）微分方程。二、選擇題：1．微分方程：的階數(shù)是（）A．1B．2C．3D．42．下列各組特解中，（）可組成方程：的通解；A．與B．與C．與D．以上均不行3．微分方程：的通解為（）A．B．C．D．4．設(shè)函數(shù)的圖形通過點(diǎn)且滿足微分方程：，則當(dāng)時，（）A．0B．1C．2D．35．設(shè)函數(shù)都是線性非齊次方程的特解，其中都是已知函數(shù)，則對于任意常數(shù)，函數(shù)（ ）A．是所給微分方程的通解；B．不是所給微分方程的通解；C．是所給微分方程的特解；D．可能是所給微分方程的通解，也可能不是通解，但肯定不是特解。三、計算題：1．求下列一階微分方程的通解（1）（2）（3）2．求的通解3．求下列微分方程滿足初始條件的特解（1）（2）（七）向量代數(shù)空間解析幾何一、填空題：1、向量與x，y，z軸的夾角分別為，則，，。2、設(shè)，則=，=，=，=。3、以點(diǎn)為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為。4、平面通過點(diǎn)（5，-7，4）且在x，y，z三軸上截距相等，則平面方程為。5、把曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)曲面的方程為。二、選擇題：1、平面與互相平行，則（）。（A）充要條件是（B）充要條件是（C）必要而不充分條件是（D）必要而不充分條件是2、設(shè)與為非零向量，則是（）（A）∥的充要條件；（B）⊥的充要條件；（C）=的充要條件；（D）∥的必要但不充分的條件；3、設(shè)直線，則該直線為（）。（A）過原點(diǎn)且垂直于x軸（B）過原點(diǎn)且平行于x軸（C）不過原點(diǎn)但垂直于x軸（D）不過原點(diǎn)但平行于x軸4、直線和平面的關(guān)系是（）。（A）直線與平面垂直；（B）直線與平面平行，但直線不在平面上；（C）直線在平面上；（D）直線與平面相交，但不垂直。5、平面在軸的截距分別為，則（）。（A）（B）（C）（D）6、方程表示（）（A）橢球面；（B）橢圓柱面；（C）橢圓柱面在平面y=0上的投影曲線；（D）y=1平面上橢圓。7、方程表示（）（A）錐面；（B）單葉雙曲面；（C）雙葉雙曲面；（D）橢圓拋物面。三、計算題：1、將直線方程化成對稱式方程。2、求兩平行平面及之間的距離。3、設(shè)一直線通過點(diǎn)M（4，3，3），且垂直于由三點(diǎn)A1（6，0，1），A2（2，1，5），A3（5，3，5）所確定的平面，求該直線方程。4、求過點(diǎn)和且與平面成角的平面方程。四、應(yīng)用題：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)開始時位于點(diǎn)P（1，2，-1）處，今有一方向角分別為60°,60°,45°,而大小為100克的力作用于此質(zhì)點(diǎn)，求當(dāng)此質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)P作直線運(yùn)動至點(diǎn)M（2，5，-1+3）時，力所作的功（長度單位為厘米）。（八）多元函數(shù)微分學(xué)一、填空題：1、設(shè)，則f（x，y）=.2、設(shè)，則=.3、由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)（1，2，2）處的全微分dz=.4、曲面在點(diǎn)處的切平面方程是.5、設(shè)，則該函數(shù)的定義域?yàn)?二、選擇題：1.當(dāng)，時，函數(shù)的極限（）（A）等于0；（B）等于；（C）等于；（D）不存在2.函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（x0，y0）連續(xù)是函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微分的（）（A）充分條件但非必要條件；（B）必要條件但非充分條件；（C）充分必要條件；（D）既非充分條件也非必要條件；3.設(shè)z=f（u，v），而，其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則等于（）（A）；（B）；（C）；（D）；4.在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（）（A）只有1條；（B）只有2條；（C）至少有3條；（D）不存在5.設(shè)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且=2則在點(diǎn)（0，0）處f（x，y）（）（A）不可微分；（B）可微分，且；（C）取得極大值；（D）取得極小值.三、計算題：1、設(shè)，求2、設(shè)，求3、設(shè),求4、設(shè)由方程所確定，求dz5、設(shè)，求6、求函數(shù)的極值.四、求曲面上同時垂直平面與的切平面方程五、在旋轉(zhuǎn)橢球面上求距平面為最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn).（九）重積分一、填空題：1．交換累次積分的次序（a＞0），.2．將積分化為極坐標(biāo)下的累次積分，.3．由及所圍成的立體的體積之為.4．，其中D是由所圍區(qū)域.5．比較下列二重積分的大?。海?）設(shè)D是以為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域，則.（2）設(shè)D為，則二、選擇題：1．設(shè)，其中D是以a為半徑以原點(diǎn)為圓心的圓域，則I之值為（）（A） （B） （C） （D）2．由曲線所圍成平面圖形的重心坐標(biāo)為（）.（A）（1，0） （B）（） （C）（） （D）（）3．設(shè)在D上連續(xù)，則為（）；其中D關(guān)于原點(diǎn)對稱，有.（A）0 （B）1（C）不存在 （D）-14．若在D上連續(xù)，，則與的關(guān)系是（）（A） （B） （C） （D）A，B，C都不對5．在底半徑為R高為H的圓柱上面，加上一個半徑為R的半球，使整個立體重心位于球心外，則R與H的關(guān)系為（）（A） （B） （C） （D）6．設(shè)積分區(qū)域，把表示極坐標(biāo)形式的累次積分是（）.（A）（B）（C）（D）7．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，而且，則（）（A）（B）（C）（D）三、改變下列重積分的次序：1．2．四、計算下列二重積分：1．設(shè)D是頂點(diǎn)分別為的三角形閉區(qū)域，求.2．設(shè)D是由直線所圍成的區(qū)域，求.3．設(shè)，求（利用極坐標(biāo)計算）五、求雙紐線所圍成區(qū)域的面積.（提示：）七、求橢圓拋物面與xoy平面所圍成的立體的體積.（十）級數(shù)一、填空題：1、級數(shù)當(dāng)滿足時收斂，在時發(fā)散。2、級數(shù)當(dāng)滿足時收斂，在時發(fā)散。3、級數(shù)的收斂區(qū)間是。4、關(guān)于的冪級數(shù)展開式為。5、冪級數(shù)的和函數(shù)為。二、選擇題：1、當(dāng)則級數(shù)收斂時，級數(shù)和（）A．必同時收斂B．必同時發(fā)散C．可能不同時收斂D．不可能同時收斂2、若級數(shù)條件收斂，則級數(shù)是（）的A．條件收斂B．絕對收斂C．不可能發(fā)散D．可能不發(fā)散3、設(shè)正項級數(shù)收斂，則級數(shù)是（）的A．條件收斂B．絕對收斂C．可能發(fā)散也可能收斂D．以上均不對4、當(dāng)常數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的右端點(diǎn)是（）A．條件收斂B．絕對收斂C．當(dāng)為條件收斂，為絕對收斂D．當(dāng)為絕對收斂，為條件收斂5、冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的兩個端點(diǎn)處（）A．全是發(fā)散B．全是收斂C．左端點(diǎn)是收斂，右端點(diǎn)是發(fā)散D．左端點(diǎn)是發(fā)散，右端點(diǎn)是收斂三、計算題：1、判斷級數(shù)的斂散性2、判斷級數(shù)的絕對收斂性和條件收斂性3、求級數(shù)的和4、將函數(shù)展開為關(guān)于的冪級數(shù)5、求的和函數(shù)，并指出其收斂域習(xí)題答案（一）函數(shù)、極限、連續(xù)答案一、1、（D）2、（C）3、（C）4、（B）5、（D）二、1、2、N=103、4，104、一，跳躍5、三、1、（1）（2）（3）（不存在）（4）（5）（6）2、解：f（-1-0）=0f（-1）=bf（-1+0）=a+π使f（x）在x=-1連續(xù)四、證明：令F（x）=f（x）-x顯然F（x）在[a，b]上連續(xù)F（a）=f（a）-a〉0F（b）=f（b）-b〈0∴在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)使F（）=0即：使f（）=（二）導(dǎo)數(shù)與微分答案一、1、2、不存在3、4、5、0二、1、（A）2、（D）3、（C）4、（B）5、（D）三、解：1、2、而3、解：對等式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)對等式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)∴當(dāng)t=0時，得x=0，y=-1∴曲線在t=0處的切線方程的斜率為，∴切線方程4、5、6、…7、設(shè),則（三）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案一、（1）（2）1，1；（3）1；（4）（5）二、B；D；D；A；A三、解：1.(1)、原式=(2)、原式=2.，駐點(diǎn)，，令，得，因?yàn)?，所以為極大值點(diǎn)，所以為拐點(diǎn)所以極大值點(diǎn)與拐點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線為：四、1、解：G（x）單調(diào)下降：所以當(dāng)提出概念所用的時間小于13分鐘時，接受能力增強(qiáng)；當(dāng)提出概念所用的時間大于13分鐘時，接受能力降低（b）單調(diào)上升，學(xué)生的興趣在增長。時取極大值，所以最難的概念應(yīng)該在提出問題后的第13分鐘時講授。（d）因?yàn)镚（13）=59.9，這個概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以對這組學(xué)生講授該概念。2、解：設(shè)與的公路總長為，則，所以，令，得：（舍去）只有唯一的駐點(diǎn)，所以在處取得最小值五、證：1、令當(dāng)x>0時，，有，當(dāng)x<0時，，有故（四）不定積分答案一、1、（C）2、（B）3、（C）4、（B）5、（A）6、（A）7、（D）8、（B）9、（D）10、（C）二、1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=5、原式=6、原式===7、原式=三、原式=（五）定積分及其應(yīng)用答案一、（1）（2）0；（3）ln2（4）（5）二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。三、解：1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=四、解：1、原式=2、，而又，由夾擠定理知，此外由的任意性知五、兩邊求導(dǎo)得即令y'=0，得x=0，且由于x<0時,y'<0;知x=0是y=y(x)的極小點(diǎn),代入方程得:；注意:即y=y(x)的極小值為0六、解：對兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得，由題設(shè)切點(diǎn)處有：，得，，代入拋物線方程可得，另一方面，旋轉(zhuǎn)體體積為：令，得從而這時，時，，而時，,故，V取極大值，也是最大值。（六）微分方程答案一、1．2．3．4．（1）（2）（3）二、1．B2．B3．A4．B5．D三、1．（1）分離變量得：，令，得：，代入得：解得：，將代入得：（）（2）=（3）化簡得：，=2令，則代入方程得：，分離變量得：，兩邊積分得：，既：∴3分離變量得：，兩邊積分得：，代入，得：∴4∵，解得：，∴，代入，得：，則（七）空間解析幾何答案一、1、2、1，3、4、5、二、1、B2、A3、A4、C5、C6、D7、B三、1、解：令，得到直線上一點(diǎn)，設(shè)的方向向量為故的對稱式方程為2、解：在上取一點(diǎn)；則兩平行平面間的距離為3、解：所求直線方向向量同時垂直于及∴∴直線的對稱式方程為4、解：設(shè)所求平面方程為：；分別將A，B的坐標(biāo)代入此方程：；故平面方程為：；所以平面方程為：四、解：∵∴克厘米（八）多元函數(shù)微分學(xué)答案一、1、；2、；3、；4、；5、二、1、D2、A3、C4、A5、D三、解1、2、3、4、5、6、駐點(diǎn)而在處，在處取得極大值為：四、切平面法向?yàn)樵O(shè)切點(diǎn)為，則平行于于是存在t，使得即，代入曲面方程得故切面方程為及；即x-y+2=0及x-y-2=0。五、設(shè)（x，y，z）為橢球面上一點(diǎn)，；其中作輔助函數(shù)令得，代入曲面方程得.由于，∴橢球面上距已知平面最近點(diǎn)為，最遠(yuǎn)點(diǎn)為。（九）重積分答案一、1．2．3． 4． 5．，二、1．C 2．D 3．A 4．D 5．D6．C7．C三、解：1．2．四、解：1．2．=3．五、解：極坐標(biāo)方程為（關(guān)于x軸和y軸對稱）（十）級數(shù)答案一、1．，2．，3．4．5．二、1．C2．D3．B4．C5．D三、解1．∵又收斂∴級數(shù)收斂2．可證交錯級數(shù)收斂；又單調(diào)退減，且，級數(shù)發(fā)散，∴發(fā)散；故原級數(shù)條件收斂3．，，，，，，，∴4．5．，∴當(dāng)時，是萊布尼茲型的收斂級數(shù)，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，∴收斂域?yàn)?；設(shè)即習(xí)題7.11.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)位置的特點(diǎn).；；；；；.【解】點(diǎn)在軸上；點(diǎn)在坐標(biāo)面上；點(diǎn)在坐標(biāo)面上；點(diǎn)在軸上；點(diǎn)在坐標(biāo)面上；點(diǎn)在軸上.2.指出下列各點(diǎn)所在的卦限.；；；.【解】點(diǎn)在第五卦限；點(diǎn)在第三卦限；點(diǎn)在第七卦限；點(diǎn)在第六卦限.3.自點(diǎn)分別作、、坐標(biāo)面和、、坐標(biāo)軸的垂線，寫出各垂足的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)到上述坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸的距離.【解】在坐標(biāo)面上的垂足為、在坐標(biāo)面上的垂足為、在坐標(biāo)面上的垂足為；在軸的垂足為、在軸的垂足為、在軸的垂足為；到軸的距離為；到軸的距離為；到軸的距離為.3.已經(jīng)點(diǎn).求：（1）點(diǎn)關(guān)于各坐標(biāo)面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)關(guān)于各坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).【解】（1）關(guān)于面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.（3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.5.求點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸的距離.【解】到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為；到軸的距離為；到軸的距離為；到軸的距離為.6.在軸上求與點(diǎn)和等距離的點(diǎn).【解】設(shè)所求點(diǎn)為.據(jù)題意，有，即解得.所以，所求之點(diǎn)為7.已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、和，試證明∠為鈍角.【解】邊長；邊長；邊長.由余弦定理知∠，所以，∠為鈍角.8.試在面上求一點(diǎn)，使它到、和各點(diǎn)的距離相等.【解】設(shè)所求點(diǎn)為.據(jù)題意，有，即解得.所以，所求之點(diǎn)為習(xí)題7.21.設(shè)平行四邊形的對角線向量，試用，表示.【解】記平行四邊形的對角線的交點(diǎn)為.；同理可求出，；；.2.已知向量，.試用向量表示.【解】.3.設(shè)，.試用向量表示.【解】.4.設(shè)是一個正六邊形，，試用，表示.【解】記六邊形的對角線的交點(diǎn)為.則四邊形、、及均為平行四邊形.由向量加法的平行四邊形法則知，；；；5.設(shè)向量，若它滿足下列條件之一：（1）垂直于軸；（2）垂直于面；（3）平行于面.那么它的坐標(biāo)有什么有何特征？【解】（1）因?yàn)榇怪庇谳S，故，即；（2）因?yàn)榇怪庇诿妫势叫杏谳S，從而∥，所以，.（3）平行于面，故垂直于軸，從而，所以，.6.已知向量，它的終點(diǎn)坐標(biāo)為，求它的起點(diǎn)坐標(biāo).【解】設(shè)起點(diǎn)，則，根據(jù)已知條件，有，解得所以，起點(diǎn)坐標(biāo)為.7.已知向量，.求（1）向量；（2）向量的方向余弦；（3）向量的單位向量.【解】（1）.（2）.故，，所以，向量的方向余弦為（3）.向量的單位向量為.8.試確定和的值，使向量和平行.【解】因?yàn)椤危?，解?.已知向量及點(diǎn)，由點(diǎn)作向量，使，且與的方向相同.求向量的坐標(biāo)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo).【解】設(shè)，則.據(jù)題意知∥且與同向，因此有，=1\*GB3①且.=2\*GB3②由=1\*GB3①式得.又已知，故有.=3\*GB3③=3\*GB3③式化簡得，解得或（舍）.所以，因此，.10.已知點(diǎn)和點(diǎn)，且，求的值.【解】.由，得，化簡得，解之，得或11.已知點(diǎn)和點(diǎn)，計算向量的模、方向余弦和方向角.【解】；.因?yàn)?所以的方向余弦是方向角為12.求與下列向量同方向的單位向量.（1）；（2）.【解】（1），所以.（2），所以習(xí)題7.31.設(shè)向量，.求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）向量的夾角.【解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；，故，所以向量的夾角為2.設(shè)向量，，為單位向量，且滿足=1\*GB3①.求：.【解】由=1\*GB3①式得；；.即；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④將=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④相加得所以，3.已知點(diǎn)，，求：（1）同時與及垂直的單位向量；（2）的面積.【解】（1）..所以，同時與及垂直的單位向量為.（2）的面積.4.設(shè)，，則當(dāng)實(shí)數(shù)與有什么關(guān)系時，能使與軸垂直？【解】.要使與軸垂直，只須與垂直，于是有，即5.設(shè)質(zhì)量為100的物體從點(diǎn)沿直線移動到點(diǎn)，計算重力所做的功.【解】，.所以，（焦耳）.6.已知，，，是否與平行？【解】；因?yàn)?，所以，與平行.7.求一個單位向量使其同時垂直向量和.【解】..所以同時垂直向量和向量的單位向量為.習(xí)題7.41.求過點(diǎn)且與平面平行的平面方程.【解】已經(jīng)平面的法向量為.據(jù)題意知，所求平面的法向量可也取作.所以據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面即為.化簡得.2.求過點(diǎn)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及的線段垂直的平面方程.【解】據(jù)題意知，所求平面的法向量可也取作.所以據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面即為.化簡得.3.求過點(diǎn)、和三點(diǎn)的平面方程.【解】據(jù)平面的三點(diǎn)式方程，所求平面為.即.化簡得.4.求平面與坐標(biāo)面、及的夾角的余弦.【解】平面的法向量為；面的法向量為.由公式，平面與面的夾角的余弦為；同理，平面與面的夾角的余弦為；平面與面的夾角的余弦為.5.求點(diǎn)平面的距離.【解】.6.求兩平行平面與之間的距離.【解】在上任取一點(diǎn)，則到的距離就是所求與之間的距離.由點(diǎn)到平面的距離公式得.=1\*GB3①又，故有，即.=2\*GB3②將=2\*GB3②代入=1\*GB3①，立得.7.一平面通過和兩點(diǎn)，且垂直于平面.求該平面方程.【解】已知平面的法向量為，.據(jù)題意，可取所求平面的法向量為.所以，所求平面方程為，即.8.求滿足下列條件的平面方程：（1）過點(diǎn)和軸；（2）過點(diǎn)及且平行于軸；（3）過點(diǎn)，且平行于面；（4）過點(diǎn)且同時平行于向量，.【解】（1）根據(jù)題意，可設(shè)所求平面的一般式方程為.=1\*GB3①又將點(diǎn)的坐標(biāo)代入=1\*GB3①，得，即.因此，所求平面為=2\*GB3②注意到（否則的法向量為零向量），所以=2\*GB3②兩邊除以，得到.（2）根據(jù)題意，可設(shè)所求平面的一般式方程為.=1\*GB3①又將點(diǎn)及的坐標(biāo)分別代入=1\*GB3①，得，故.因此，所求平面為=2\*GB3②注意到（否則的法向量為零向量），所以=2\*GB3②兩邊除以，得到.（3）根據(jù)題意，可設(shè)所求平面的一般式方程為.=1\*GB3①又將點(diǎn)的坐標(biāo)代入=1\*GB3①，得，即.因此，所求平面為=2\*GB3②注意到（否則的法向量為零向量），所以=2\*GB3②兩邊除以，得到.（4）根據(jù)題意，可設(shè)所求平面的一般式方程為.=1\*GB3①其法向量為.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入=1\*GB3①，得.=2\*GB3②又因?yàn)橥瑫r平行于向量，，故同時垂直于向量，，于是有=3\*GB3③=4\*GB3④=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④聯(lián)立得到因此=1\*GB3①成為.=5\*GB3⑤注意到（否則的法向量為零向量），所以=5\*GB3⑤兩邊除以，得到.9.平面在、軸上的截距分別為30，10，且與平行，求該平面方程.【解】根據(jù)題意，可設(shè)所求平面的一般式方程為.=1\*GB3①其法向量為.因?yàn)樵?、軸上的截距分別為30，10，故過點(diǎn)及.將此兩點(diǎn)坐標(biāo)代入=1\*GB3①得.=2\*GB3②及.=3\*GB3③又已知與平行，故垂直于向量，于是有.=4\*GB3④=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④聯(lián)立得到.因此=1\*GB3①成為.=5\*GB3⑤注意到（否則的法向量為零向量），所以=5\*GB3⑤兩邊除以，得到.10.指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面.（1）；（2）；（3）；（4）.【解】（1）因方程中前面的系數(shù)為零，故平面平行于面；（2）因方程中前面的系數(shù)為零，故平面平行于軸；（3）因方程中沒有常數(shù)項，且前面的系數(shù)為零，故平面通過軸；；（4）可化為，故是在軸、軸、軸上的截距分別為、和的平面.習(xí)題7.51.用點(diǎn)向式方程及參數(shù)式方程表示直線【解】任取方程組的一組解則有，過點(diǎn).可取直線的方向?yàn)?所以，所求直線的點(diǎn)向式方程為.進(jìn)一步，的參數(shù)式方程為2.求過、兩點(diǎn)的直線方程.【解】可取直線的方向?yàn)?故所求直線為3.求過點(diǎn)且平行于直線的直線方程.【解】根據(jù)題意知，可取所求直線的方向?yàn)?故所求直線為4.求過且垂直于平面的直線方程.【解】可取直線的方向?yàn)?故所求直線為5.求過點(diǎn)且與直線垂直相交的直線方程.【解】過點(diǎn)且與直線垂直的平面為.即.=1\*GB3①化直線為參數(shù)式得=2\*GB3②將=2\*GB3②代入=1\*GB3①，有.=3\*GB3③解得.故直線與平面的交點(diǎn)為.因此所求直線的方向?yàn)椤?故所求直線為6.過點(diǎn)向平面作垂線，求垂足坐標(biāo).【解】過點(diǎn)且與平面垂直的直線為=1\*GB3①化直線為參數(shù)式得=2\*GB3②將=2\*GB3②代入平面方程中，得.=3\*GB3③解得.故垂足坐標(biāo)為.7.求直線與的夾角.【解】的方向?yàn)?；的方向?yàn)椤?因?yàn)椋耘c垂直，從而.8.求直線與平面的夾角.【解】的方向?yàn)?，平面的法向量?...故，所以，.9.求過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程.【解】根據(jù)題意知，所求直線的方向向量即為平面之法向量，即.所以，由點(diǎn)向式方程知，所求直線為.10.設(shè)平面過直線，且平行于直線，求平面的方程.【解】顯然面過點(diǎn).可取面的法向量為.所以，平面的方程為.化簡得.11.求過點(diǎn)和直線的平面的方程.【解】直線的參數(shù)方程為顯然過點(diǎn)，且的方向?yàn)?根據(jù)題意，可取平面的法向量為∥.所以，平面的方程為.化簡得.習(xí)題7.61.指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示何種幾何圖形.（1）；（2）；（3）；（4）.【解】（1）在平面解析幾何中表示一條直線，在空間解析幾何中表示一張平行于軸的平面；（2）在平面解析幾何中表示一條拋物線，在空間解析幾何中表示一張拋物柱面；（3）在平面解析幾何中表示一條雙曲線，在空間解析幾何中表示一張雙曲柱面；（4）在平面解析幾何中表示一條橢圓曲線，在空間解析幾何中表示一張橢圓柱面.2.寫出下列曲線繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.（1）面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（2）面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（3）面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周.【解】（1）面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面是，即.（2）面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面是，即.（3）面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的曲面是，即.3.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的.（1）；（2）；（3）；【解】（1）由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成；或由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成.（2）由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成；或由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成.（3）由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成；或由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成.4.指出下列各方程所表示的曲面.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.【解】（1）原方程可化為.所以，原方程表示的是旋轉(zhuǎn)橢球面.（2）原方程可化為.所以，原方程表示的是雙葉雙曲面.（3）原方程可化為所以，原方程表示的是雙曲拋物面，即馬鞍面.（4）原方程可化為.所以，原方程表示的是橢圓柱面.（5）原方程可化為.所以，原方程表示的是旋轉(zhuǎn)拋物面.（6）原方程可化為.所以，原方程表示的是雙曲拋物面，即馬鞍面.（7）原方程可化為.所以，原方程表示的是橢球面.（8）原方程可化為.所以，原方程表示的是單葉雙曲面.習(xí)題7.71.求球心在，半徑為3的球面與平面的交線方程（寫出一般式方程和參數(shù)式方程），并求出該曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.【解】（一）球心在，半徑為3的球面方程為.故球面與平面的交線的一般式方程為即化為參數(shù)式方程為.（二）利用公式.繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為.2.分別求出母線平行于軸、軸且通過曲線的柱面方程.【解】（一）（1）、（2）聯(lián)立消去，得.所以，母線平行于軸且通過曲線的柱面為.（二）（1）、（2）聯(lián)立消去，得.所以，母線平行于軸且通過曲線的柱面為.3.指出下列方程所表示的曲線.（1）（2）（3）（4）【解】（1）表示平面上的圓周曲線；（2）表示平面上的橢圓；（3）表示平面上的雙曲線；（4）表示平面上的拋物線.4.求在三個坐標(biāo)面上的投影曲線.【解】（一）（1）、（2）聯(lián)立消去得.所以，在面上的投影曲線為（二）（1）、（2）聯(lián)立消去得.所以，在面上的投影曲線為（三）（1）、（2）聯(lián)立消去得.所以，在面上的投影曲線為5.畫出下列各曲面所圍立體的圖形.（1）及；（2）及.【解】略.6.求由球面=1\*GB3①和錐面=2\*GB3②所圍成的立體在面上的投影區(qū)域.【解】聯(lián)立=1\*GB3①、=2\*GB3②消去得故在面上的投影曲線為所以，球面和錐面所圍成的立體在面上的投影區(qū)域?yàn)?7.寫出圓錐面的參數(shù)方程.【解】習(xí)題7.81.設(shè)向量值函數(shù)，求.【解】.2.設(shè)空間曲線的向量函數(shù)為，.求曲線在與相應(yīng)的點(diǎn)處的單位切向量.【解】因，故相應(yīng)的點(diǎn)處的切向量為.相應(yīng)的點(diǎn)處的單位切向量為3.求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.【解】對應(yīng)參數(shù).在點(diǎn)處的切線方向?yàn)?所以，在點(diǎn)處的切線方程為.法平面為，即.4.在曲線上求一點(diǎn)，使在該點(diǎn)處的切線平行于平面.【解】平面的法向量為.在上任取一點(diǎn)，并設(shè)對應(yīng)參數(shù).在點(diǎn)處的切線方向?yàn)?由題意，欲使點(diǎn)處的切線與平面平行，只須與垂直，為此令，即.解之得，或.所以，所求點(diǎn)為或.5.求曲線，，在處的切線方程和法平面方程.【解】參數(shù)對應(yīng)曲線上的點(diǎn).在點(diǎn)處的切線方向?yàn)?所以，在點(diǎn)處的切線方程為.法平面為，即.6.已知表示空間一質(zhì)點(diǎn)在時刻的位置，求質(zhì)點(diǎn)在時刻的速度和加速度向量，并求質(zhì)點(diǎn)在指定時刻的速率和運(yùn)動方向.【解】（一）時刻的速度向量為；時刻的加速度向量為.（二）的速度為，速率為.的速度為，運(yùn)動方向?yàn)?復(fù)習(xí)題71.填空題（1）設(shè)為非零向量，若，則必有⊥.（2）設(shè)為非零向量，若，則必有∥.（3）若直線的方向向量與平面的法向量互相平行，則直線與平面必垂直.（4）點(diǎn)到平面的距離.（5）若動到定點(diǎn)的距離等于它到軸的距離，則該動點(diǎn)的軌跡方程為.（6）直線與平面的位置