高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題1答案1

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填空：1．若SKIPIF1<0是SKIPIF1〈0上的連續(xù)函數(shù)，則a=－1。2．函數(shù)SKIPIF1〈0在區(qū)間SKIPIF1〈0上的最大值為SKIPIF1〈0。3．SKIPIF1<0SKIPIF1〈0。4．由曲線SKIPIF1〈0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)SKIPIF1〈0處的指向外側(cè)的單位法向量為SKIPIF1<0。5．設(shè)函數(shù)SKIPIF1〈0由方程SKIPIF1<0所確定，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0。二、選擇題:設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，并且SKIPIF1〈0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，該函數(shù)在點(diǎn)SKIPIF1<0處微分dy是SKIPIF1<0的（A）（A）等價(jià)無窮小;（B）同階但不等價(jià)的無窮小；(C)高階無窮小;（D）低階無窮小。設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則SKIPIF1<0在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充要條件是(C）（A）f(a）=0，且SKIPIF1<0；（B）f（a）≠0,但SKIPIF1〈0;（C）f（a）=0，且SKIPIF1〈0;（D）f（a）≠0，且SKIPIF1〈0。曲線SKIPIF1〈0（B）（A）沒有漸近線；（B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；（C）有一條鉛直漸近線；（D)有兩條水平漸近線。4．設(shè)SKIPIF1<0均為可微函數(shù)，且SKIPIF1<0。已知SKIPIF1〈0是SKIPIF1<0在約束條件SKIPIF1〈0下的一個(gè)極值點(diǎn),下列選項(xiàng)中的正確者為（D）（A）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（B）若SKIPIF1〈0，則SKIPIF1<0；（C）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（D）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1〈0.5．設(shè)曲面SKIPIF1<0的上側(cè)，則下述曲面積分不為零的是（B）（A）SKIPIF1〈0;（B)SKIPIF1〈0；(C）SKIPIF1〈0;（D）SKIPIF1<0。三、設(shè)函數(shù)f(x）具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且SKIPIF1〈0,SKIPIF1〈0，求SKIPIF1〈0.解：由題設(shè)可推知f（0)=0,SKIPIF1〈0，于是有SKIPIF1〈0。故SKIPIF1〈0。 四、設(shè)函數(shù)SKIPIF1〈0由參數(shù)方程SKIPIF1〈0所確定,求SKIPIF1〈0。解:由SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0,得到SKIPIF1〈0，所以SKIPIF1〈0。而當(dāng)x=9時(shí),由SKIPIF1〈0及t>1，得t=2,故SKIPIF1<0.五、設(shè)n為自然數(shù)，計(jì)算積分SKIPIF1〈0.解：注意到:對(duì)于每個(gè)固定的n，總有SKIPIF1〈0，所以被積函數(shù)在x=0點(diǎn)處有界（x=0不是被積函數(shù)的奇點(diǎn)）。又SKIPIF1〈0，于是有SKIPIF1<0，上面的等式對(duì)于一切大于1的自然數(shù)均成立，故有SKIPIF1〈0。所以SKIPIF1<0。六、設(shè)f（x)是除x=0點(diǎn)外處處連續(xù)的奇函數(shù),x=0為其第一類跳躍間斷點(diǎn)，證明SKIPIF1<0是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點(diǎn)處不可導(dǎo)。證明:因?yàn)閤=0是f(x)的第一類跳躍間斷點(diǎn)，所以SKIPIF1<0存在，設(shè)為A，則A≠0;又因f(x）為奇函數(shù),所以SKIPIF1〈0.命：SKIPIF1<0則SKIPIF1〈0在x=0點(diǎn)處連續(xù),從而SKIPIF1<0在SKIPIF1〈0上處處連續(xù)，且SKIPIF1〈0是奇函數(shù)：當(dāng)x〉0，則－x〈0，SKIPIF1<0;當(dāng)x<0，則－x〉0，SKIPIF1<0,即SKIPIF1〈0是連續(xù)的奇函數(shù)，于是SKIPIF1〈0是連續(xù)的偶函數(shù),且在x=0點(diǎn)處可導(dǎo)。又SKIPIF1〈0，即SKIPIF1〈0,所以SKIPIF1<0是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點(diǎn)處不可導(dǎo)。七、設(shè)f(u,v）有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1〈0。解：設(shè)：SKIPIF1〈0,則SKIPIF1<0類似可得SKIPIF1<0，代入原式左邊，得到SKIPIF1〈0

八、設(shè)函數(shù)f（u)連續(xù),在點(diǎn)u=0處可導(dǎo),且f(0)=0，SKIPIF1〈0求：SKIPIF1<0.解：記SKIPIF1<0，應(yīng)用球坐標(biāo)，并同時(shí)注意到積分區(qū)域與被積函數(shù)的對(duì)稱性，有SKIPIF1〈0于是有SKIPIF1〈0。九、計(jì)算SKIPIF1<0，其中L為SKIPIF1〈0正向一周。解:因?yàn)長(zhǎng)為SKIPIF1〈0,故SKIPIF1<0其中D為L(zhǎng)所圍區(qū)域，故SKIPIF1〈0為D的面積。為此我們對(duì)L加以討論，用以搞清D的面積.當(dāng)SKIPIF1〈0時(shí)，SKIPIF1〈0;當(dāng)SKIPIF1〈0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1〈0時(shí),SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1〈0時(shí)，SKIPIF1〈0，故D的面積為2×1=2。從而SKIPIF1〈0。十、⑴證明：當(dāng)SKIPIF1<0充分小時(shí)，不等式SKIPIF1〈0成立. ⑵設(shè)SKIPIF1〈0，求SKIPIF1<0.證明：⑴因?yàn)镾KIPIF1<0，又注意到當(dāng)SKIPIF1<0充分小時(shí),SKIPIF1〈0，所以成立不等式SKIPIF1〈0。⑵由⑴知，當(dāng)n充分大時(shí)有，SKIPIF1<0，故SKIPIF1〈0，而SKIPIF1〈0,于是SKIPIF1<0，由夾逼定理知SKIPIF1〈0。十一、設(shè)常數(shù)SKIPIF1〈0,證明：當(dāng)x〉0且x≠1時(shí),SKIPIF1〈0。證明：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,故要證SKIPIF1<0，只需證：當(dāng)SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0。顯然：SKIPIF1<0。命：SKIPIF1〈0，則SKIPIF1〈0。當(dāng)x=2時(shí)，SKIPIF1<0,x=2為唯一駐點(diǎn)。又SKIPIF1〈0，SKIPIF1〈0，所以x=2為SKIPIF1<0的唯一極小值點(diǎn),故SKIPIF1<0為SKIPIF1〈0的最小值（x〉0），即當(dāng)x>0時(shí)SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0嚴(yán)格單調(diào)遞增。又因SKIPIF1〈0，所以當(dāng)SKIPIF1〈0；當(dāng)SKIPIF1〈0。十二、設(shè)勻質(zhì)半球殼的半徑為R，密度為μ,在球殼的對(duì)稱軸上，有一條長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，其密度為ρ.若棒的近殼一端與球心的距離為a，a>R,求此半球殼對(duì)棒的引力。解:設(shè)球心在坐標(biāo)原點(diǎn)上,半球殼為上半球面，細(xì)棒位于正z軸上,則由于對(duì)稱性，所求引力