湖南省衡陽市常寧第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省衡陽市常寧第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,出現(xiàn)丙級品的概率為0.01,則對產(chǎn)品抽查一次抽得正品的概率是(

)A．0.09

B．0.98

C．0.97

D．0.96參考答案：D2.點P所在軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，點Q所在軌跡的參數(shù)方程為在（t為參數(shù)）上，則|PQ|的最小值是（）A．2 B． C．1 D．參考答案：C【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】求出極坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程，求出圓心坐標(biāo)以及半徑，通過兩點的距離公式函數(shù)的性質(zhì)求出|PQ|的最小值．【解答】解：點P所在軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，化為直角坐標(biāo)方程為：（x﹣1）2+y2=1，圓心坐標(biāo)（1，0），半徑為：1；點Q所在軌跡的參數(shù)方程為在（t為參數(shù)）上，則|PQ|的最小值是點Q與圓的圓心的距離的最小值減去1，|PQ|=﹣1=﹣1≥2﹣1=1，故選C3.“a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】圓的一般方程．【分析】方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圓，則4+4﹣4a＞0，可得a＜2，即可得出結(jié)論．【解答】解：方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圓，則4+4﹣4a＞0，∴a＜2，∵“a≤2”是a＜2的必要不充分條件，∴“a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圓”的必要不充分條件，故選B．【點評】本題考查圓的方程，考查充要條件的判斷，比較基礎(chǔ)．4.將兩個數(shù)交換,使,下面語句正確一組是(

)參考答案：B5.曲線在點處的切線方程是（

）．A． B． C． D．參考答案：D曲線，可得，在點處的切線的斜率為：，所求的切線方程為：，即，故選．6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（包括邊界），若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值為（）A． B． C．4 D．參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，結(jié)合使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，可知直線y=﹣ax+z與圖中AC邊所在直線重合，由斜率相等求得a值．【解答】解：如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）為y=﹣ax+z，要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則直線y=﹣ax+z與圖中AC邊所在直線重合，即﹣a=，∴a=．故選：B．8.已知中，，，的對邊分別為三角形的重心為.，則

（

）

參考答案：B略9.從數(shù)字1,2,3,4,5這5個數(shù)中，隨機(jī)抽取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（

）A、

B、

C、

D、 參考答案：B略10.已知命題p：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，則它的原命題，逆命題、否命題、逆命題中，真命題的個數(shù)為（）A．0 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】四種命題．【分析】由奇函數(shù)的定義判斷原命題是正確的，則原命題的逆否命題就是正確的，再判斷原命題的逆命題的真假即可得答案．【解答】解：由奇函數(shù)的定義可知：若f（x）為奇函數(shù)，則任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；故原命題正確；而由f（0）=0不能推得f（x）為奇函數(shù)，比如f（x）=x2，顯然滿足f（0）=0，但f（x）為偶函數(shù)；故逆命題不正確；∵逆命題和否命題互為逆否命題，逆否命題具有相同的真假性，故否命題不正確；∵原命題與它的逆否命題具有相同的真假，故逆否命題正確．∴真命題的個數(shù)為：2．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.sin600°=．參考答案：【考點】G2：終邊相同的角．【分析】利用誘導(dǎo)公式直接化簡sin600°為﹣sin60°，然后求出它的值即可．【解答】解：sin600°=sin=sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故答案為：．12.在的展開式中，的系數(shù)是

.

參考答案：

解析：，令13.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值為________________.參考答案：14.設(shè)直線l1的方程為x＋2y－2＝0，將直線l1繞其與x軸交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到直線l2，則l2的方程為_________________．參考答案：15.（本大題12分）在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，求直線AM與CN所成角的余弦值參考答案：直線AM和CN所成角的余弦值為16.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為=﹣20x+．若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為．參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】根據(jù)已知中數(shù)據(jù)點坐標(biāo)，我們易求出這些數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)中心點坐標(biāo)，進(jìn)而求出回歸直線方程，判斷各個數(shù)據(jù)點與回歸直線的位置關(guān)系后，求出所有基本事件的個數(shù)及滿足條件兩點恰好在回歸直線下方的基本事件個數(shù)，代入古典概率公式，即可得到答案．【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回歸直線方程=﹣20x+250；數(shù)據(jù)（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．當(dāng)x=8時，∵90=﹣20×8+250，∴點（2，20）在回歸直線下方；…如圖，6個點中有2個點在直線的下側(cè)．則其這些樣本點中任取1點，共有6種不同的取法，其中這兩點恰好在回歸直線兩側(cè)的共有2種不同的取法，故這點恰好在回歸直線下方的概率P==．故答案為：．【點評】本題考查的知識是等可能性事件的概率及線性回歸方程，求出回歸直線方程，判斷各數(shù)據(jù)點與回歸直線的位置關(guān)系，并求出基本事件的總數(shù)和滿足某個事件的基本事件個數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．17.根據(jù)兩類不同事物之間具有類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理。請用類比推理完成下表：平面空間三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的面積等于任意一邊的長度與這個邊上高的乘積的二分之一四面體的體積等于任意底面的面積與這個底面上的高的乘積的三分之一三角形的面積等于其內(nèi)切圓的半徑與三角形周長乘積的二分之一

參考答案：四面體的體積等于其內(nèi)切球半徑與四面體表面積乘積的三分之一略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一個正三角形等分成4個全等的小正三角形，將中間的一個小正三角形挖掉（如圖1），再將剩余的每個正三角形分成4個全等的小正三角形，并將中間的一個小正三角形挖掉，得圖2，如此繼續(xù)下去……（Ⅰ）圖3共挖掉多少個正三角形？（Ⅱ）第n次挖掉多少個正三角形？第n個圖形共挖掉多少個正三角形？參考答案：（Ⅰ）13；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)圖（3）共挖掉正三角形個數(shù)，即可求解，得到答案；（Ⅱ）求得，得到，求得數(shù)列的通項公式和前n項公式，即可求解．【詳解】（Ⅰ）由題意，圖3共挖掉正三角形個數(shù)為.（Ⅱ）設(shè)第次挖掉正三角形的個數(shù)為，則，，，可得，即，可得∴，所以第個圖形共挖掉正三角形個數(shù)為.【點睛】本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真觀察，得到圖形的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．19.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E為PC上一點，且PE=PC．（Ⅰ）求PE的長；（Ⅱ）求證：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC長，從而得到PC長，由此能求出PE．（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AE⊥平面PBC．（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)．【解答】（Ⅰ）解：∵四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E為PC上一點，且PE=PC，∴AC==，∴PC===，∴PE=PC=．（Ⅱ）證明：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（），B（2，0，0），=（），=（2，0，﹣2），=（1，1，﹣2），==0，==0，∴AE⊥PB，AE⊥PC，又PB∩PC=P，∴AE⊥平面PBC．（Ⅲ）解：D（0，1，0），=（2，0，0），=（0，1，0），=（），設(shè)平面ABE的法向量=（x，y，z），則，取y=1，得=（0，1，﹣1），設(shè)平面ADE的法向量=（a，b，c），則，取a=1，得=（1，0，﹣1），設(shè)二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)為θ，則cos（π﹣θ）=cos＜，＞===．∴θ=120°，∴二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)為120°．【點評】本題考查線段長的求法，考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．20.參考答案：21.如果有窮數(shù)列（，）滿足條件

即，我們稱其為“反對稱數(shù)列”。（1）請在下列橫線上填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這6個數(shù)構(gòu)成“反對稱數(shù)列”：－8，

，－2，

，4，

；（2）設(shè)是項數(shù)為30的“反對稱數(shù)列”，其中構(gòu)成首項為-1，公比為2的等比數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前n項和，則=

參考答案：略22.如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、．點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、 和、，為坐標(biāo)原點．設(shè)直線、的斜率分別為、．（i）證明：；（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：橢圓方程為，、設(shè)