第二章投影基礎(chǔ)

第二章投影基礎(chǔ)1.1投影方法的基本概念1.2投影面體系的建立和視圖的形成1.3點(diǎn)的投影1.4線的投影1.5面的投影1.6直線與平面及兩平面的相對(duì)位置1.1投影方法的基本概念1投影法及其分類2直線和平面的正投影特點(diǎn)1投影法及其分類空間物體在光線的照射下，會(huì)在墻面或地面產(chǎn)生影子，這就是影子現(xiàn)象。投影法就是根據(jù)這種自然現(xiàn)象，經(jīng)過科學(xué)的抽象而創(chuàng)造出來(lái)的。影子和投影圖的區(qū)別？投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。中心投影平行投影投影方法畫透視圖畫斜軸測(cè)圖畫工程圖樣及正軸測(cè)圖中心投影法平行投影法正投影法斜投影法中心投影法物體位置改變，投影大小也改變。投射線投影物體投影面投射中心投影特性：中心投影圖一般不反映物體各部分的真實(shí)形狀和大小，投影大小隨投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離的改變而改變。度量性較差。平行投影法投影特性：投影的大小與物體和投影面之間的距離無(wú)關(guān)度量性較好。斜投影法正投影法工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。AAABBBCCCaaabbbccc物體大寫字母，投影小寫字母2直線和平面的正投影特點(diǎn)a直線的投影特性直線平行投影面

直線垂直投影面

直線傾斜投影面

投影直線投影面投影等于線實(shí)長(zhǎng)實(shí)形性投影積聚成一點(diǎn)積聚性投影短于原線段類似性b平面的投影特性積聚性實(shí)形性

平面平行投影面

平面垂直投影面

平面傾斜投影面

類似性(邊數(shù)相同)

投影就把實(shí)形現(xiàn)投影積聚成直線投影類似原平面類似性不是相似性，但圖形的基本特性不變，如多邊形仍為多邊形，邊數(shù)不變物體的形狀是由其表面的形狀決定的，因此，繪制物體的投影，就是繪制物體表面的投影，也就是繪制表面上所有輪廓線的投影。畫物體的投影時(shí)，為了投影反映物體表面的真實(shí)形狀，應(yīng)該讓物體上盡可能多的平面和直線平行或垂直于投影面。投影圖的畫法：1.2投影面體系的建立和視圖的形成1三投影面體系的建立2三視圖的形成3投影面的展開4三視圖的投影規(guī)律5三視圖的畫圖要點(diǎn)一個(gè)視圖只能反映出兩個(gè)方向的尺寸情況；

不同形狀物體的某一視圖可能會(huì)相同。1三投影面體系的建立一個(gè)視圖的不定性兩個(gè)投影面能表達(dá)物體長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向的尺寸，所以，一般情況下兩個(gè)視圖能表達(dá)清楚物體的形狀，但有些物體用兩個(gè)視圖也不能準(zhǔn)確的表達(dá)其形狀。1三投影面體系的建立兩個(gè)視圖的不定性1三投影面體系的建立三個(gè)視圖的確定性HWV投影面正面投影面（正面或V面verticalplane）水平投影面（水平面或H面horizontalplane）側(cè)面投影面（側(cè)面或W面widthplane）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個(gè)投影面互相垂直Y1三投影面體系的建立2三視圖的形成主視圖左視圖俯視圖正面投影—主視圖水平投影—俯視圖側(cè)面投影—左視圖3投影面的展開物體的三視圖主視圖左視圖俯視圖X4三視圖的投影規(guī)律尺寸對(duì)應(yīng)關(guān)系主、俯視圖——長(zhǎng)對(duì)正主、左視圖——高平齊左、俯視圖——寬相等方位對(duì)應(yīng)關(guān)系長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等上下左右左右后前前后上下特別要注意形體的前后位置5三視圖的畫圖要點(diǎn)將物體自然放平，一般使主要表面與投影面平行或垂直應(yīng)用投影規(guī)律時(shí)應(yīng)注意整體和局部都要符合三等規(guī)律特別應(yīng)注意俯、左視圖寬相等和前、后方位關(guān)系看不見的線畫虛線，虛線與粗實(shí)線重合時(shí)畫粗實(shí)線,虛線與點(diǎn)劃線重合時(shí)畫虛線。(即粗實(shí)線優(yōu)于虛線,虛線優(yōu)于點(diǎn)劃線.)(1)粗實(shí)線：可見輪廓線；虛線：不見輪廓線。

(2)細(xì)點(diǎn)畫線：回轉(zhuǎn)面的軸線；圓的對(duì)稱中心線；物體的對(duì)稱中心線。5三視圖的畫圖要點(diǎn)1.3點(diǎn)的投影1點(diǎn)在三投影面體系中的投影2點(diǎn)的投影特點(diǎn)3兩點(diǎn)的相對(duì)位置4特殊點(diǎn)Pb

●●AP采用多面投影。

過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a

●解決辦法？WHVOXZYa

點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影注意：空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a

●a●a

●A●1點(diǎn)在三投影面體系中的投影●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開WVHaa●x●●azZaa

yayaXY

YO

2點(diǎn)的投影特點(diǎn)29●●●●XYZOVHWAaa

a

XaaZaY●●YWaza

XYHaYWOaaXaYHa

●VHWZ2點(diǎn)的投影特點(diǎn)點(diǎn)的投影規(guī)律:①a

a⊥OX軸②aax=

a

ax=aay=

a

a

⊥OZ軸=y=Aa

（A到V面的距離）a

az=x=Aa

（A到W面的距離）a

ay=z=Aa（A到H面的距離）a

az記住坐標(biāo)軸的名稱，讀圖即可知x，y，z30a

例2.1已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。●a

●●aaXaZ1.作a

a

⊥OZ；2.通過作輔助線(45°線)使a

aZ=aaX。OxzYHYW31例2.2已知點(diǎn)A的坐標(biāo)(15,12,16)，作其三面投影圖?！馻

●a

●aaXaZxA=15zA=16yA=12YWYHZX32如圖，如何在投影圖中判斷兩點(diǎn)A、B的相對(duì)位置？其中點(diǎn)A為基準(zhǔn)點(diǎn)，點(diǎn)B為比較點(diǎn)。投影圖上判斷方法：

x

坐標(biāo)—左右，大的在左(離W面遠(yuǎn))

y

坐標(biāo)—前后，大的在前(離V面遠(yuǎn))

z

坐標(biāo)—上下，大的在上(離H面遠(yuǎn))點(diǎn)B在點(diǎn)A之后、之右、之上。當(dāng)一個(gè)點(diǎn)B相對(duì)于另一點(diǎn)A（已知點(diǎn)）上下、左右、前后坐標(biāo)差已知，就可以確定該點(diǎn)的空間位置并作出其三面投影。3.兩點(diǎn)間的相對(duì)位置△Z△x△y(XA，

ZA)33例2.3如下圖所示，已知點(diǎn)B的投影，點(diǎn)A在點(diǎn)B之前4

mm，之上8

mm，之右6

mm，求點(diǎn)A的投影。a

a

a△z=8△x=

64即：△x=6

△y=4

△z=8XZYWYHOb

bb

344.重影點(diǎn)及其投影的可見性判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影坐標(biāo)，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見.即:上遮下，左遮右，前遮后。被遮擋的投影用括號(hào)表示。點(diǎn)A、點(diǎn)B為H面的重影點(diǎn)。若空間兩點(diǎn)位于某投影面的同一條投射線上，則兩點(diǎn)在此投影面上的投影重合為一點(diǎn)，稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。()a

bb

●●●●●a

a

b

被擋住的投影加()A、B為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？A、B為H面的重影點(diǎn)A、B為V面的重影點(diǎn)A、B為V面的重影點(diǎn)1.4線的投影1直線的投影2各種位置直線的投影特性4直線段的實(shí)長(zhǎng)和投影面的傾角3直線上的點(diǎn)5兩直線的相對(duì)位置ABPCDPPEF直線在單一投影面上的投影a（b）

直線垂直于投影面：直線在該投影面上的投影積聚為點(diǎn)cdef

直線平行于投影面：直線在該投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)

直線傾斜于投影面：直線在該投影面上的投影縮短1直線的投影

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的同面投影。直線在三投影面體系中的投影Z

YHaOXabbaYWb

HaβγaAb

VBbWa

b

ZXOY投影面平行線投影面垂直線水平線（平行于Ｈ面）正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）一般位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線（注意兩者區(qū)別）平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜垂直于某一投影面而與其余兩投影面平行與三個(gè)投影面都傾斜2各種位置直線的投影特性γβXZ″baaabbOYHYW′′″實(shí)長(zhǎng)VHabAaaγβBbbWβγ′′″″ZoXY水平線：平行于H面的直線①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)大小。②另兩個(gè)投影面上的投影都短于實(shí)長(zhǎng)，且分別平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之間的距離。投影特性：判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角:

與V面的夾角:β與W面的夾角:γ實(shí)長(zhǎng)

β實(shí)長(zhǎng)γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直線與投影面夾角的表示法：ZOXYWYHZOXYHYW直線在其平行的投影面上的投影為傾斜線段以正垂線AB為例，討論其投影特性：WVHABa‘（b’）abb”a”a’

（b’）aba”b”∵AB

⊥

V，∴AB∥H，AB∥W。①a’（b’）②ab=a”b”=AB=LAB

③ab⊥OX,a”b”⊥OZ

④

=90°、

=

=0°投影特性：投影面垂直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；另外兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的軸。XOYWZYH教材P29：表2.2反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。鉛垂線正垂線側(cè)垂線②

另外兩個(gè)投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)一面為點(diǎn)，其余兩面為平行于坐標(biāo)軸的線段（3）

一般位置直線：與三個(gè)投影面都傾斜的直線Z

YHaOXabbaYWb

投影特性:三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)投影的長(zhǎng)度均比空間線段短，都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)。HaβγaAb

VBbWa

b

ZXOY三面投影均為傾斜的線段47例2.4

判別下圖中直線AB、BC相對(duì)于投影面的位置。因?yàn)橹本€AB的正面投影a

b

反映實(shí)長(zhǎng)；它的另兩面投影平行于相應(yīng)投影軸。所以AB為正平線。因?yàn)橹本€BC的正面投影

b

c

和水平投影bc反映實(shí)長(zhǎng)；側(cè)面投影b

c

積聚為一點(diǎn)。所以BC為側(cè)垂線。48例2.5

分析正三棱錐各加粗棱線或底邊與投影面的相對(duì)位置。sb與s

b

分別平行于OYH和OZ；SB為側(cè)平線；s

b

反映實(shí)長(zhǎng)。a

(c

)重影；AC為側(cè)垂線；a

c

=ac=AC。SA的三個(gè)投影都與投影軸傾斜；SA為一般位置直線；三個(gè)投影均不反映實(shí)長(zhǎng)。ZYwXYHOZYwXYHOZYwXYHO分析管子各段對(duì)投影面的位置分析管子各段對(duì)投影面的位置分析管子各段對(duì)投影面的位置3直線上的點(diǎn)點(diǎn)和直線的相對(duì)位置有兩種情況：點(diǎn)在直線上或點(diǎn)不在直線上直線上的點(diǎn)的投影特點(diǎn)cAHacaVbBabcCbW′′′″″″從屬性：若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。

cacXabcYYbOaZb′″′′″″定比性：點(diǎn)的投影將線段的同面投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b=a

c

:c

b

定比定理例2.6：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。解法一：（應(yīng)用第三投影）解法二：（應(yīng)用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●XZOXYHYW應(yīng)用第三投影應(yīng)該怎么做？？c

例2.7

已知ab

、a

b

、c

，且點(diǎn)C在直線AB上，求作它們的三面投影。作圖作出點(diǎn)A和點(diǎn)B的側(cè)面投影；連接a

b

；求點(diǎn)c和點(diǎn)c

。ZYwXYHOa

b

b

c

a

acb例2.8判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

b③c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?4直線段的實(shí)長(zhǎng)和投影面的傾角WVHGHh’hh”g”gg'GVGW

..△YGH

△XGH

△ZGH

.GH

h’hgg'OX.g’h'△YGHLGH

例：求線段HG的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面V的夾角。求線段HG的實(shí)長(zhǎng)可利GHGH、GHGV、GHGW任一個(gè)直角三角形；而夾角

、

、

則分別在不同的三角形中?！鱕GHαβγ傾角投影面投影△HVWaba

b

a

b

△Z△Y△X5兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉（異面）。a兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

例：已知AB

平行CD

,求直線CD

的水平投影。abca'b'c'Xd'dOb兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabdb

a

c

d

kk

例：判斷直線AB、CD的相對(duì)位置?！鋍′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？

交點(diǎn)不符合空間一點(diǎn)的投影特性。判斷方法？⒈應(yīng)用定比原理⒉利用側(cè)面投影X例：已知AB

與CD

相交,求直線CD

的水平投影。a'ab'bcc'd'XdO例：直線GH

與直線AB、EF

相交,并與CD

平行，求作直線GH

的兩面投影(點(diǎn)G、H

分別在直線AB,EF

上)。h'g'(b')a'abcdd'c'Xee'ff'ghOc兩直線交叉為什么？?jī)芍本€相交嗎？不相交！

交點(diǎn)不符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。★“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′1.5面的投影1平面的表示法2各種位置平面的投影特性3平面上的點(diǎn)和直線1平面的表示法不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線任意平面圖形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

以上五種平面的表示方法可以相互轉(zhuǎn)化，其中平面圖形最為常用2各種位置平面的投影特性垂直傾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把實(shí)形現(xiàn)★平面垂直投影面——投影積聚成直線★平面傾斜投影面——投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性a平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行b平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面⑴投影面垂直面:垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面垂直于H面，同時(shí)傾斜V、H面時(shí)，稱為鉛垂面垂直于V面，同時(shí)傾斜H、W面時(shí)，稱為正垂面垂直于W面，同時(shí)傾斜H、V面時(shí)，稱為側(cè)垂面鉛垂面正垂面?zhèn)却姑娼滩腜36：表2.3c

c

為什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似性。⑵投影面平行面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面平行于H面，稱為水平面平行于V面，稱為正平面平行于W面，稱為側(cè)平面教材P37：表2.4水平面正平面?zhèn)绕矫鎍

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。

另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。⑶一般位置平面三個(gè)投影都是類似性。投影特性：a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點(diǎn)B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。45°81例2.6

已知一平面圖形為側(cè)垂面，其兩面投影如圖所示，求其第三面投影。求各頂點(diǎn)的水平投影；順序連線得到第三面投影。82例2.11

判斷平面立體上兩面P和Q相對(duì)于投影面的位置。平面P為正垂面平面Q為水平面練習(xí)：求平面ABC

上點(diǎn)K

的正面投影。aa'b'c'bckXk'O三角形平面ABC是平面練習(xí)：根據(jù)立體的三面投影,判斷三角形平面ABC是什么位置平面。a'c'b'cbaa"c"b"ACBXZ一般位置YHYwO練習(xí)：補(bǔ)全平面ABCDE的水平投影。a'e'b'ead'dXc'bcO分析板的尺寸及對(duì)投影面的位置分析板的尺寸及各面對(duì)投影面的位置

分析板的尺寸及對(duì)投影面的位置

分析板的尺寸及各面對(duì)投影面的位置

作業(yè)1：求平面圖形的側(cè)面投影。XZYHYwO作業(yè)2：在三角形平面上分別過點(diǎn)A

作水平線,過點(diǎn)C

作正平線的兩面投影。a'c'b'cbaXO3平面上的點(diǎn)和直線位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：a平面上取任意直線●●MNAB●M若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。若一直線過平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。PQabcb

c

a

d

d例：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一:解法二:有多少解？有無(wú)數(shù)解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

例：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？b平面上取點(diǎn)

先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。即：點(diǎn)在線上，則點(diǎn)在面上。例：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。baca

k

b

●①c

面上取點(diǎn)的方法：利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線k●d

d②●abca

b

k

c

k●bckada

d

b

c

k

b例：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一:解法二:cada

d

b

c

ded

e

1010m

●m●例：在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，并使其到H面V面的距離均為10mm。bcXb

c

aa

O1.6直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。1、平行問題

2、相交問題1、平行問題

直線與平面平行

平面與平面平行包括a直線與平面平行

若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無(wú)數(shù)解有多少解？d

d101例2.10過點(diǎn)E作水平線EF與平面ABCD平行。

分析在平面內(nèi)任作一條水平線，過點(diǎn)E作這條線的平行線。

作圖唯一解正平線例：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

d103直線與特殊位置平面平行時(shí)，直線必有一個(gè)投影平行于該平面的積聚投影。當(dāng)直線與平面都垂直于某投影面時(shí)，其積聚的投影必在同一投影面內(nèi)。104例：判斷圖中的直線與△平面平行否。(a)(b)(c)(d)(e)答：△∥b、c、d、eb兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。教材P41圖2.33②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。教材42圖2.35c

f

b

d

e

a

abcdeff

h

abcdefha

b

c

d

e

acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行,

已知AB∥CD∥EF∥MH例：已知平面ABC和平面DEFG平行,求平面DEFG的水平投影。a'c'b'cbad'e'g'f'd(g)Xe(f)O

直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。2、相交問題直線與平面相交平面與平面相交a直線與平面相交要討論的問題：●求直線與平面的交點(diǎn)。

●

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況?！瘛?09分析：當(dāng)直線或平面垂直于投影面時(shí)，該投影面上的投影積聚成點(diǎn)或直線。此時(shí)，可在積聚性元素投影上直接確定出交點(diǎn)或交線的該面投影，再根據(jù)從屬性確定出交點(diǎn)或交線的其他投影。作圖：求交點(diǎn)判別可見性⑴一般位置直線和特殊位置平面相交110例2.12

求直線MN與平面△ABC的交點(diǎn)K，并判別可見性分析平面△ABC為正垂面，其正面投影具有積聚性。交點(diǎn)是兩相交元素共有的點(diǎn)。⑴一般位置直線和特殊位置平面相交1

(2

)空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。作圖用線上取點(diǎn)法⑴一般位置直線和特殊位置平面相交abcmnc

n

b

a

m

k

●k●2●1●●練習(xí)：求直線EF

與平面ABC

的交點(diǎn)，并補(bǔ)全直線EF

的水平投影。a'c'b'cbae'f'efXO練習(xí)：求直線EF

與平面ABCD

的交點(diǎn)，并完成其正面投影。XOa'c'b'b(c)a(d)e'f'efd'1

(2

)km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵特殊位置直線和一般位置平面相交空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。k

●2

●1●作圖用面上取點(diǎn)法●b兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：⑴求兩平面的交線方法：①確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。②確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。⑵判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。116作圖求交線；判別可見性。（3）一般位置平面與特殊位置平面相交分析一般位置平面△ABC與鉛垂面P相交，交線MN是兩平面共有的直線段。端點(diǎn)M、N分別是直線AB、BC與平面P的交點(diǎn)。117例2.13求平面△ABC與平面△DEF的交線MN，并判別可見性。

分析平面△DEF為正垂面，其正面投影具有積聚性。可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。①求交線②判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能!如何判別？例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。能否不用重影點(diǎn)判別？OXabcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。①求交線②判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。OXa′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m

、n

即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①求交線②判別可見性

點(diǎn)Ⅰ在MC上，點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mcn

可見。作圖2●1●m′●m●n●●n′●abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m

、n

即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①求交線②判別可見性

點(diǎn)Ⅰ在MC上,

點(diǎn)Ⅱ在FH上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mcn可見。作圖m●n●n′●m′●c

d

e

f

a

b

abcdef投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交c

d

e

f

a

b

abcdef互交m●k●k

●m

●投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。124例2.18求平面P與平面Q的交線MN，并判別可見性。

分析平面P和平面Q均為鉛垂面，其交線必為鉛垂線。(4)兩特殊位置平面相交練習(xí)：求平面ABC

與平面EFGH

的交線，并完成其V

面的投影。XOa'c'b'e(h)f(g)e'cag'f'h'b練習(xí)：已知兩