專題12 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)小題特訓(xùn)（5年高考+3年模擬）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題12函數(shù)與導(dǎo)數(shù)小題特訓(xùn)（5年高考+3年模擬）一、單選題1．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)判斷的奇偶性與單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，從而得解.【詳解】因為的定義域為，又，所以是偶函數(shù)，又，令，則恒成立，所以當(dāng)時，，即，又在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以，所以，所以.故選：B.3．（2024·甘肅·一模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），，記為從小到大的第個極值點，數(shù)列的前項和為，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意求導(dǎo)并令，結(jié)合題意可求得，對是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行分類討論，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解.【詳解】由題意，令，則，即，所以，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是在得到之和還要對分類討論，得，由此即可順利得解.4．（23-24高三下·青海海南·開學(xué)考試）已知，關(guān)于x的不等式的解集為，則下述四個結(jié)論①，②，③，④其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】D【分析】取特殊值判斷①，令，由三角代換判斷②，轉(zhuǎn)化為后，換元后利用對號函數(shù)的單調(diào)性求出范圍即可判斷③④.【詳解】取，則，解得，滿足題意，故錯誤，①不正確；由原不等式可得，令，由指數(shù)性質(zhì)及不等式的解集為，知且，令，則，由于，所以，即得，又，所以，故②正確；因為，，令，，則，故，令，則，由于在上單調(diào)遞增，故，則，即，即，，故③④正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵點在于③④的判斷，解答時要利用三角代換以及換元法，將等價轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，難度較大.5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）已知函數(shù)定義域為，，，則下列命題正確的個數(shù)是（

）①若，，則函數(shù)在上是增函數(shù)②若，，則函數(shù)是奇函數(shù)③若，，則函數(shù)是周期函數(shù)④若，且，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【分析】令可判斷①，利用奇函數(shù)定義可判斷②，由周期函數(shù)的定義可判斷③，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷④.【詳解】對于①，令此時，即滿足，此時，舉例，，則，則函數(shù)在上不是增函數(shù)，故①錯誤；對于②，令，則，可得，即滿足，則函數(shù)是奇函數(shù)，可知②正確；對于③，若，，令，所以，即，滿足，可得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，即③正確；對于④，取，滿足，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；可得，因為，且，，所以；即，可得且；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④正確；綜上共3個正確，故選：A.【點睛】方法點睛：在求解抽象函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性時，要根據(jù)已知條件充分利用奇偶性和單調(diào)性定義，化簡變形進(jìn)行證明即可求得結(jié)論.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)滿足對任意構(gòu)成三角形三邊長的，也構(gòu)成三角形的三邊長，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出，分，討論，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合三角形的性質(zhì)可得答案.【詳解】由題意可知在上恒成立，，當(dāng)時，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，所以，不符題意；當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則時，，設(shè)，由題意，若，則一定有，即恒成立.若，則，且，符合題意；若，取，且，所以，不符合題意.綜上所述，.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵點是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，本題還考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.7．（23-24高三上·江西·期末）若集合中僅有2個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原不等式等價于，令，，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點結(jié)合圖象可求．【詳解】原不等式等價于，設(shè)，，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.又，時，，因此與的圖象如圖，當(dāng)時，顯然不滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，或.由第一個不等式組，得，即，由第二個不等式組，得，該不等式組無解.綜上所述，.故選：A.【點睛】方法點睛：先對式子進(jìn)行變形，等號一邊為一次函數(shù)（通常過定點），另一邊的函數(shù)較為復(fù)雜，然后通過求導(dǎo)的方法作出簡圖，進(jìn)而通過“數(shù)形結(jié)合法”求解.8．（2024·陜西西安·一模）關(guān)于函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的最小值為2D．在區(qū)間上有兩個零點【答案】D【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的定義驗證選項A；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性判斷選項B；特殊值法檢驗選項C；分段討論去絕對值求零點判斷選項D.【詳解】由得，的定義域為，關(guān)于原點對稱，由，則為偶函數(shù)，故A不正確；當(dāng)時，，，因為，所以，，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B不正確；因為，故C不正確；當(dāng)時，，，此時無零點；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，此時無零點；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，令，得，得，得；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，此時無零點；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，令，得，得，得，綜上所述：在區(qū)間上有兩個零點和，故D正確．故選：D．【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，由函數(shù)解析式中含絕對值，根據(jù)角的正負(fù)和角所在的象限，分類討論，去掉絕對值，通過求值域最值或解方程，判斷零點是否存在.9．（23-24高一上·江蘇南通·期末）已知函數(shù)，記，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函數(shù)的奇偶性以及該函數(shù)在的單調(diào)性，比較、、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又因為，故函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，因為，所以，，則，則，所以，，所以，，，，，故.故選：B.【點睛】思路點睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于任意的實數(shù)x，都有成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對進(jìn)行分類討論，利用分離常數(shù)法、導(dǎo)數(shù)與切線等知識來求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，即，所以，，當(dāng)時等號成立，所以；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，即，所以，設(shè)，所以曲線在處的切線為，要使時成立，則需，即．綜上所述，．故選：B【點睛】求解不等式恒成立問題，如果不等式含有參數(shù)，可以考慮利用分離參數(shù)法來進(jìn)行求解，也可以考慮轉(zhuǎn)化法來進(jìn)行求解，將問題轉(zhuǎn)化為兩個容易求解的函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)等知識來求得參數(shù)的取值范圍.11．（2024·四川攀枝花·二模）若關(guān)于x的方程存在三個不等的實數(shù)根．則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不是方程的根，當(dāng)時，變形為，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】當(dāng)時，，，兩者不等式，故不是方程的根，當(dāng)時，，令，則，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出的圖象如下：

令，，則，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出，的函數(shù)圖象，如下：

令，，則，由于在上恒成立，故當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，其中，從的函數(shù)圖象，可以看出當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出函數(shù)圖象如下，

要想有三個不同的根，則.故選：D【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題或函數(shù)零點，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.12．（23-24高三上·遼寧大連·期末）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用和以及，再進(jìn)行合理賦值即可.【詳解】，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞增，則，則在上恒成立，則，即，設(shè)，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，令，則，則，設(shè)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，令，則，則，即，故，故選：B.13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．若有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和最值再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)畫出的圖象，令，將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】由題意可知當(dāng)時，，令可得：；令可得：；，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且當(dāng)時，，當(dāng)趨近于負(fù)無窮時，趨近于0；當(dāng)時，圖象的對稱軸為直線，．故作出的大致圖象如圖所示．令，數(shù)形結(jié)合可知要使有5個零點，需使方程有2個不同的實數(shù)根，且，或．①若，，則，不成立，舍去．②若，，則，解得．當(dāng)時，方程為，解得或，不符合方程2個根的取值范圍，舍去．故實數(shù)的取值范圍為．故選：A．【點睛】方法點睛：對于求解函數(shù)零點個數(shù)問題，由以下的方法：（1）函數(shù)單調(diào)性與零點存在性定理得到函數(shù)零點個數(shù)；（2）參變分離后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解零點個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點個數(shù)問題.14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有5個不同的實數(shù)根，且最小的兩個實數(shù)根為，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出與的大致圖象，結(jié)合圖象與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的取值范圍，再利用韋達(dá)定理得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得解.【詳解】如圖，作出函數(shù)與的大致圖象，若方程有5個不同的實數(shù)根，則的圖象與的圖象有5個不同的交點，當(dāng)時，，的圖象與的圖象無交點，當(dāng)時，，的圖象與的圖象有2個交點所以，當(dāng)直線與的圖象相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為，由可得，則切線斜率，故，則，結(jié)合圖象可得m的取值范圍為，由，得，則恒成立，設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為，，則，，故，因為開口向上，對稱軸為，又，所以的取值范圍為．故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是作出與的大致圖象，充分利用數(shù)形結(jié)合求得的取值范圍，從而得解.15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，轉(zhuǎn)化為恒成立，分，和，三種情況討論，結(jié)合恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，當(dāng)時，，不恒成立，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)均為增函數(shù)且均存在零點，因為恒成立，所以此時兩函數(shù)的零點相同，由得，所以，解得，滿足題意；當(dāng)時，可得函數(shù)恒成立，所以此時需恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，則，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為.故選：C．【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，記，其中是圓周率，則實數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)圖象變換可得的單調(diào)性和對稱性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)比較大小.【詳解】由于，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為函數(shù)的圖象是函數(shù)的圖象向右平移個單位長度所得，所以函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因為，則，且，且，所以，即，從而，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知，即.故選：B．【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對分類討論可得解.【詳解】由題意得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立．當(dāng)時，，易知在上不恒成立，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)在上均單調(diào)遞增且均存在零點，因為在上恒成立，所以此時兩函數(shù)的零點相同，由得，所以，解得，滿足題意；當(dāng)時，易知函數(shù)在上恒成立，所以此時在上恒成立，即在上恒成立．令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，則．綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：C．【點睛】關(guān)鍵點睛：一是活用導(dǎo)數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷導(dǎo)函數(shù)的符號；二是會分類，能根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特征找到分類的標(biāo)準(zhǔn)；三是會轉(zhuǎn)化，會通過分離參數(shù)，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，若函數(shù)有兩個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意求導(dǎo)得當(dāng)時，有最大值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若要滿足題意，則只能，結(jié)合，由此即可得解.【詳解】由題意，令，得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有最大值，而，由此可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，若函數(shù)有兩個不同的零點，結(jié)合零點存在定理可知的最大值，又，所以，所以，解得，所以，即的取值范圍是.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是通過求導(dǎo)結(jié)合題意分析得到的最大值，從而即可順利求解.19．（2023·四川樂山·一模）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)為定義域均為，且滿足，，，給出以下四個命題：①

②③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

④其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】對兩邊同時求導(dǎo)可判斷①；將代入的值，再由和比較大小即可判斷②；令，由可判斷③；令，則，對方程兩邊同時求導(dǎo)可得，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的概念得到，從而可判斷④.【詳解】對兩邊同時求導(dǎo)：，令，即，故①正確；令，則有，即，不滿足，故②錯誤；由得，令，則有，若，則，所以關(guān)于直線對稱，故③正確；令，則，對方程兩邊同時求導(dǎo)可得：，即，因為，所以，從而得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，，即，當(dāng)時，是以為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以，；當(dāng)時，，則，又，所以，即，進(jìn)而得；綜上所述，，故④正確.故選：D.20．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有4個不同實根，，，（），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)與方程思想,分別應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及對數(shù)運算求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，則，令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且;當(dāng)時，，則；若方程有4個不同實根，則，解得；當(dāng)時，易知，是方程的兩個不同實根，即方程的兩個不同實根，所以，，所以，，因為，所以；當(dāng)時，因為，是的兩個不同實根，所以，易知，所以，得，所以，所以的取值范圍是，故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：（1）若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，，則；（2）若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，，則，．21．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，不等式恒成立（為的導(dǎo)函數(shù)），若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，可得出，，，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意得函數(shù)為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，所以，易知當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．因為，則，由，則，且，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，即，故選：C．【點睛】結(jié)論點睛：常見的根據(jù)含有導(dǎo)函數(shù)的不等式構(gòu)造原函數(shù)的類型（1）原函數(shù)是函數(shù)的和、差組合．①對于或，構(gòu)造函數(shù)，一般地，若（或），，則可以構(gòu)造函數(shù)；②對于，構(gòu)造函數(shù)．（2）原函數(shù)是函數(shù)的乘、除組合．①對于（或），構(gòu)造函數(shù)；②對于（或），構(gòu)造函數(shù)．特別地，對于（或），構(gòu)造函數(shù)；對于（或），構(gòu)造函數(shù)．（3）原函數(shù)是含的乘、除組合．①對于或，構(gòu)造函數(shù)；②對于（或），構(gòu)造函數(shù)．（4）原函數(shù)是含（或）的乘、除組合．①對于（或），構(gòu)造函數(shù)；②對于（或，構(gòu)造函數(shù)；③對于（或），構(gòu)造函數(shù)；④對于（或），構(gòu)造函數(shù)．（5）原函數(shù)是含的組合．對于（或），分類討論：①當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)；②當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)．22．（2023·遼寧鞍山·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用的奇偶性和單調(diào)性求得正確答案.【詳解】設(shè)，，所以是奇函數(shù).當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，不等式即，所以，所以不等式的解集為.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點有兩點，一個是函數(shù)的奇偶性，奇偶性可以轉(zhuǎn)化為來進(jìn)行判斷；一個是構(gòu)造函數(shù)法，有關(guān)和的不等關(guān)系式，在解題過程中可以考慮利用構(gòu)造函數(shù)法，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.23．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，直線不是曲線的切線B．當(dāng)時，函數(shù)有三個零點C．若有三個不同的零點，，，則D．若曲線上有且僅有四點能構(gòu)成一個正方形，則【答案】BCD【分析】求導(dǎo)即可判斷A，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征即可判斷B，結(jié)合零點的定義代入計算，即可判斷C，由正方形的特點結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算即可判斷D【詳解】當(dāng)時，，則，則，則曲線在點處的切線方程為，故選項錯誤.當(dāng)時，，則，當(dāng)和時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減.又因為，，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，此時，有三個零點，故B選項正確.設(shè)的三個零點分別為，，，則有，展開后比對含項的系數(shù)，可得，故選項C正確.當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞增，結(jié)合圖像知不符合題意，故.因為，因此函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形.則此正方形必以為中心，不妨設(shè)正方形的四個頂點分別為A，，，，其中一條對角線的方程為，則，即，解得，則，同理可得.由得，根據(jù)題意，方程只有一個正解，當(dāng)時，顯然不成立.故，則，因為，則，設(shè)，則.設(shè)，根據(jù)題意，只需要直線與函數(shù)的圖像只有唯一的公共點即可.結(jié)合雙勾函數(shù)的圖像可得，解得.所以選項D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：對于選項D：根據(jù)函數(shù)對稱性，結(jié)合正方體分析可知只有一個正解，進(jìn)而可得結(jié)果.24．（2024·河南·一模）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點中心對稱 B．C． D．【答案】BCD【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性和對稱性，再得到的周期性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，A錯誤；由②，②式兩邊對求導(dǎo)可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，B正確；因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，兩邊求導(dǎo)可得，所以，C正確；因為，令，則，即，又因為是偶函數(shù)，所以，又因為是周期為4的周期函數(shù)，則，由可得，所以，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：解決這類題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱與周期的關(guān)系，若關(guān)于兩點（縱坐標(biāo)相同）或者兩條直線（平行于y軸）對稱，則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍，若關(guān)于一點和一直線（平行于y軸）對稱，則周期為這點和這條直線的距離的四倍.25．（2024·山西臨汾·一模）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有且僅有兩個零點B．函數(shù)有且僅有三個零點C．當(dāng)時，不等式恒成立D．在上的值域為【答案】AC【分析】對A：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得，令，即可求解后判斷；對B：對求導(dǎo)分析其單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可判斷；對C：對的取值分類討論，在不同情況下研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可判斷；對D：根據(jù)B中所求函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)值域.【詳解】令，則，故（為常數(shù)），又，故可得，故，.對A：令，即，解的或，故有兩個零點，A正確；對B：，則，令，可得，故在和單調(diào)遞增；令，可得，故在單調(diào)遞減；又，，又，故存在，使得；又，故存在，使得；又當(dāng)時，，故不存在，使得；綜上所述，有兩個根，也即有個零點，故B錯誤；對C：，即，，當(dāng)時，，上式等價于，令，故可得，故在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時，，也滿足；綜上所述，當(dāng)時，恒成立，故C正確；對D：由B可知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，故在上的值域為，D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點、不等式恒成立和值域問題；其中解決問題的關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確求出的解析式，屬綜合困難題.26．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則方程有3個不等的實數(shù)解B．C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為-1D．若，則的最大值為【答案】AC【分析】對于A，只需判斷或的根的個數(shù)和即可，通過求導(dǎo)研究的性態(tài)畫出圖象即可得解；對于B，由單調(diào)遞增，故只需判斷函數(shù)有無零點即可；對于C，首先得在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)換成在上恒成立驗算即可；對于D，根據(jù)單調(diào)性得，將問題轉(zhuǎn)換成求的最大值即可.【詳解】對于A，若，則或，而，，所以當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，所以，而，所以方程有3個不等的實數(shù)解，故A正確；對于B，若，由A選項分析可知，即單調(diào)遞增，所以，令，，所以單調(diào)遞增，所以，矛盾，故B選項錯誤；對于C，由B選項分析可知在上單調(diào)遞增，而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，若對任意，不等式恒成立，則，即在上恒成立，令，當(dāng)時，，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因為在上恒成立，所以，即，故C正確；對于D，若，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷A選項的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，判斷BCD的關(guān)鍵是首先根據(jù)單調(diào)性“去括號”，然后轉(zhuǎn)換成恒成立問題或最值問題即可順利得解.三、填空題27．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部反比例對稱函數(shù)”.若的導(dǎo)函數(shù)是定義在區(qū)間上的“局部反比例對稱函數(shù)”，則實數(shù)的最大值與最小值之差為.【答案】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)“局部反比例對稱函數(shù)”的定義，得到在上有解，令，換元后，利用二次函數(shù)在上有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解題即可.【詳解】，因為的導(dǎo)函數(shù)是定義在區(qū)間上的“局部反比例對稱函數(shù)”，所以存在，，即，所以，在上有解，令，設(shè)，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以時，，設(shè)，所以時有解，當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，又，所以不存在符合條件的.綜上可得，所以實數(shù)的最大值與最小值之差為.故答案為：28．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個解，則的取值范圍為．【答案】【分析】令，根據(jù)的圖象可知，等于常數(shù)的解最多只有3個，根據(jù)圖象性質(zhì)可知，等于常數(shù)的解最多只有2個，若有6個解，需要有3個解，有2個解，根據(jù)圖象先求出，再得出和中最小解之間的等式關(guān)系，而后結(jié)合的值域即可建立關(guān)于的不等式，最后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性即可解不等式，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】令，由函數(shù)的圖象可知，方程(為常數(shù))最多有3個解，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以處取得極大值，即極大值為，如下圖：故結(jié)合圖象可得，且方程的三個解中最小的解為.又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，即當(dāng)時，有2個零點，所以使關(guān)于的方程有6個解，則，，即，令，易知在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題考查復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)問題，此類題目一般做法為：（1）先根據(jù)解析式畫出兩個函數(shù)圖象；（2）令復(fù)合函數(shù)內(nèi)函數(shù)為；（3）結(jié)合函數(shù)圖象及零點個數(shù)，分析外函數(shù)根的個數(shù)以及自變量對應(yīng)的取值范圍；（4）再確定內(nèi)函數(shù)根個數(shù)及對應(yīng)參數(shù)取值范圍；（5）解出參數(shù)范圍即可.29．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)有零點，當(dāng)取最小值時，的值為．【答案】【分析】首先將方程轉(zhuǎn)化為，再通過構(gòu)造幾何意義，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，再結(jié)合幾何意義，即可求解.【詳解】設(shè)的零點為，則，即，設(shè)為直線上任意一點，坐標(biāo)原點到直線的距離為，因為到原點的距離，下求的最小值，令，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即，此時，所以的斜率為，此時的最小值為，此時，（此時）．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點以及難點是構(gòu)造幾何意義，將點看成直線上的任一點，從而根據(jù)幾何意義解決問題.30．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極大值，則的取值范圍是.【答案】【分析】由以及導(dǎo)數(shù)、極大值等知識對問題進(jìn)行分析，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】的定義域是，，由于函數(shù)在處取得極大值，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，顯然，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以是的極大值也即是最大值，所以，也即的取值范圍是.故答案為：31．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有兩個不同實根，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先作出函數(shù)圖象，然后驗證時的情況，對于，先驗證的情況，對于，利用利用根的分布，結(jié)合函數(shù)的圖象列不等式求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下：令，則方程有兩個不同實根，當(dāng)時，方程的根為，此時無實根，不符合題意，舍去；當(dāng)時，若方程有兩相等實根，則，解得或，當(dāng)時，方程的根，此時無根，不符合題意，舍去；當(dāng)時，方程的根，此時有兩個不同實根，符合題意；若方程有兩個不同實根，設(shè)為，所以，解得或同時有或或所以或或或解得.綜上或故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.32．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】求得，得出的單調(diào)性和，令，得到，設(shè)，且零點分別為，轉(zhuǎn)化為方程和各有2個解，得到，進(jìn)而求得的范圍.【詳解】由函數(shù)，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又由，令，可得，設(shè)，則，設(shè)的兩個零點分別為，則或，可得或，要使得恰有4個零點，則方程有2個解，且方程也有兩個解，則滿足，即，即，可得，即，又因為，解得．故答案為：.【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.33．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，．若，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)求出、、、的值域，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】由題意可知當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，．令，解得或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的最小值為，故根據(jù)可知，當(dāng)時，的最小值為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的最小值為，所以的根需在內(nèi)，因為，所以.故答案為：．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是根據(jù)在的單調(diào)性解題.34．（2023·全國·模擬預(yù)測）己知函數(shù)，若方程僅有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是.【答案】【分析】二次求導(dǎo)，得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出的圖象，設(shè)，則，易知不是上述方程的解，則，畫出的圖象，分當(dāng)，，，和，五種情況，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，；且當(dāng)時，，畫出的圖象如下：

設(shè)，則，易知不是上述方程的解，則，畫出的圖象，①當(dāng)時，，即原方程僅有一解，不符題意；②當(dāng)時，，此時存在，使得，符合題意；③當(dāng)時，無解，不符題意；④當(dāng)時，，此時存在，使得，符合題意；⑤當(dāng)時，方程的兩個解滿足，此時存在，使得，不符題意.綜上，故答案為：【點睛】復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)問題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點個數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點個數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點個數(shù).35．（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）已知，若有四個不同的零點，則t的取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，分析的單調(diào)性后畫出函數(shù)圖象，有四個不同的零點，即有四個不同的解，令，轉(zhuǎn)換為有兩個不同解，結(jié)合圖象判斷即可得.【詳解】當(dāng)時，，則對恒成立，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則．令；令，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，由題意有四個不同的解，令，則有兩個不同解，顯然，如下圖，不妨設(shè)，故，∴，故．

故答案為：.36．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)討論，的單調(diào)性、奇偶性，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，將原不等式等價轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)和，即可求導(dǎo)確定函數(shù)的最值.【詳解】令，因為，，所以是奇函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增．同理令，可知是奇函數(shù)，由于，故在上單調(diào)遞增．因此為上單調(diào)遞增．令，，則是在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)．不等式等價于，故，由單調(diào)性得，即，即，構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，等價于，則，即，令，則，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，即，故實數(shù)的取值范圍是．故答案為：【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．37．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時的圖象情況，分類討論，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，此時，由，得，即，解得或，即在上有2個零點；若，，其圖象對稱軸為，函數(shù)的大致圖像如圖：

則此時，即，則，即無解，則無零點，此時無零點，不符合題意；故需，此時函數(shù)的大致圖像如圖：

由得或，要使得函數(shù)恰有3個零點，需滿足在上有一個零點此時只有一個解，故只需與函數(shù)在y軸左側(cè)圖象無交點，則需，解得，結(jié)合，可得，故答案為：【點睛】方法點睛：本題為復(fù)合函數(shù)的零點問題，解答時采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，即作出函數(shù)的大致圖像，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為曲線的交點個數(shù)問題，即可解決.38．（2023·廣東湛江·二模）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為的一個零點，則在上單調(diào)遞（填增或減），函數(shù)的零點個數(shù)為．【答案】增9【分析】①根據(jù)在上具有單調(diào)性得到，根據(jù)為的一個零點得到，綜合可得，，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；②將的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與圖象的交點個數(shù)，然后根據(jù)圖象求交點個數(shù)即可.【詳解】因為在上具有單調(diào)性，所以，即，．又因為，所以，即，只有，符合要求，此時．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．因為的最大值為1，而，，作出函數(shù)與的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖像共有9個交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為9．故答案為：增；9.39．（2023·湖南永州·一模）若函數(shù)，當(dāng)時，恒有，則實數(shù)t的取值范圍．【答案】【分析】將等價轉(zhuǎn)化，利用同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合多次求導(dǎo)來求實數(shù)t的取值范圍.【詳解】因為時，恒有，所以，即恒成立.設(shè)，則，且，令，則，所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；所以，所以在恒成立，故在單調(diào)遞增，所以恒成立，即，所以恒成立，令，則，，所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；所以.所以.故答案為：.40．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列命題中正確的有．①函數(shù)有兩個極值點；②若關(guān)于x的方程恰有1個解，則；③函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個交點；④若，且，則無最值．【答案】①③【分析】對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡并畫出函數(shù)圖象，由圖可知函數(shù)有兩個極值點，即①正確；利用函數(shù)與方程的思想可得恰有1個解時或，可知②錯誤；易知和是函數(shù)的兩條切線，分類討論參數(shù)并通過構(gòu)造函數(shù)證明即可得出的圖像與直線有且僅有一個交點，故③正確；分別解出的表達(dá)式，代入并構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得有最小值，即④錯誤.【詳解】由函數(shù)可得，函數(shù)的圖像如下圖所示：

對于①，由圖可知，和是函數(shù)的兩個極值點，故①正確；對于②，若函數(shù)恰有1個零點，即函數(shù)與的圖像僅有一個交點，可得或，故②不正確；對于③，因為函數(shù)，在點處切線斜率，在點處的切線為，函數(shù)，在處的切線斜率為，在處切線為，如圖中虛線所示，易知當(dāng)，即時，的圖像與直線恰有一個交點；當(dāng)，即時，令，得，令，則，，由二次函數(shù)的圖像及零點存在定理可知，方程有且只有一個實數(shù)根；當(dāng)，即時，令，設(shè)，則（僅當(dāng)時取等號），即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，設(shè)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，，所以函數(shù)有且僅有一個實數(shù)根；故③正確；對于④，由，則，，，則，設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以存在最小值，故④不正確；故選：①③．【點睛】方法點睛：函數(shù)零點和方程根的問題往往利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點的問題，極值和最值問題通常構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，，，解得或，則其定義域為或，關(guān)于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.3．（2022·全國·高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.4．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當(dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當(dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；因為當(dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．5．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D6．（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：C.7．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當(dāng)時，，則.故選：C.8．（2020·全國·高考真題）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.9．（2019·全國·高考真題）已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系．10．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【詳解】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結(jié)果.詳解：畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即，故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點個數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，將式子移項變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點的問題，畫出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線，在直線移動的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果.二、多選題11．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.12．（2023·全國·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD13．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．14．（2020·山東·高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【分析】對于A選項，求得，由此判斷出A選項；對于B選項，利用特殊值法進(jìn)行排除；對于C選項，計算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項；對于D選項，計算出，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項.【詳解】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機(jī)變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運用，屬于難題.三、填空題15．（2022·全國·高考真題）若是奇函數(shù)，則，．【答案】；．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．16．（2020·全國·高考真題）關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是．【答案】②③【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng)時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.17．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點