專題05 二次函數(shù)-線段最大值問題（解析版）

第五講二次函數(shù)--線段最大值問題目錄TOC\o"1-1"\h\u必備知識點 1考點一單個線段的最大值 1考點二線段之和的最大值 6考點三線段之差的最大值 24考點四線段之比的最大值 27知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點考點一單個線段的最大值1．如圖1，拋物線y＝﹣+bx+c過點A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點，點C在y軸上，點B的縱坐標(biāo)為﹣．（1）求拋物線的解析式；（2）點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為對稱軸上一動點，當(dāng)線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值；【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+交于C點，點C在y軸上，∴C（0，），將點A（3，2），C（0，）代入y＝﹣+bx+c，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣+x+；（2）設(shè)D（t，﹣t2+t+），則E（t，﹣t+），∴DE＝﹣t2+t++t﹣＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴當(dāng)t＝2時，DE的長度最大為2，此時D（2，），∵y＝﹣+x+＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的解析式為直線x＝1，∵C（0，），∴C點、D點關(guān)于直線x＝1對稱，連接AC交對稱軸于點P，∴PD＝PC，∴PD+PA＝PC+PA≥AC，∴當(dāng)C、P、A三點共線時，PA+PD的值最小，∴AC＝，∴PA+PD的最小值為；2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，如圖．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+2．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴當(dāng)m＝﹣2時，點D到直線AC的距離取得最大值．此時yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即點D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；3．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．（1）求拋物線C1的表達(dá)式；（2）若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作PE∥x軸交BC于點E，求PE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），OC＝3，∵tan∠CAO＝2，∴，∴AO＝，∴，∵B（4，0），∴設(shè)，將C（0，3）代入得：，∴，即，（2）過點P作PF∥y軸交直線BC于點F，如圖：∵PE∥x軸，PF∥y軸，∴∠PEF＝∠CBO，∠EFP＝∠BCO，∴△CBO～△FEP，∴，∴，∴，設(shè)，由B（4，0）、C（0，3）得直線BC解析式為：，∴，∵PF＝y(tǒng)P﹣yF，∴，∴＝﹣（m﹣2）2+，∴，此時；考點二線段之和的最大值4．如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）、點B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C（0，3），tan∠CBO＝．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）如圖2，點P是直線BC上方拋物線上一點，PD∥y軸交BC于D，PE∥BC交x軸于點E，求PD+BE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵點C的坐標(biāo)為（0，3），∴OC＝3，∵tan∠CBO＝＝，∴OB＝6，∴點B的坐標(biāo)為（6，0），由拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），B（6，0）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣6），將點C（0，3）代入解析式為a×（0+2）×（0﹣6）＝3，∴a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3．（2）過點P作PF∥x軸交BC于點F，∵PE∥BC，∴四邊形PEBF為平行四邊形，∴PF＝BE，∴PD+BE＝PD+PF，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+3），則點D的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），∴PD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，∵PF∥x軸，∴點F和點P的縱坐標(biāo)相等，即﹣x+3＝﹣m2+m+3，∴x＝m2﹣2m，∴點F的坐標(biāo)為（m2﹣2m，﹣m2+m+3），∴PF＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∴PD+BE＝﹣m2+m+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴當(dāng)m＝3時，PD+BE的最大值為，此時，點P的坐標(biāo)為（3，）；5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；（2）連接AC，點P為直線AC上方拋物線上（不與A、C重合）的一動點，過點P作PD⊥AC交AC于點D，PE⊥x軸交AC于點E，求PD+DE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）在中，令x＝0，．∴C，令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，∵xA＜xB，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）∵PE⊥x軸，y⊥x軸，∴PE∥y軸，∴∠PED＝∠ACO，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴△PED∽△ACO，∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)PE最大時，PD+DE最大，設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），，∴，∴直線．設(shè)，﹣3＜m＜0，∴，∴，∵，﹣3＜m＜0，∴時，，∴，∴．6．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，交y軸于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P為直線AC上方且拋物線對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，過點P作x軸的平行線交拋物線于點D，過點P作y軸的平行線交AC于點H，求PD+PH的最大值及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）由題意可設(shè)二次函數(shù)的交點式為y＝a（x+4）（x﹣1），將點C（0，3）代入函數(shù)解析式，得﹣4a＝3，∴a＝﹣，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+3；（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+3，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣x+3），則點D的坐標(biāo)為（﹣3﹣x，﹣x2﹣x+3），點H的坐標(biāo)為（x，x+3），∴PD＝﹣3﹣x﹣x＝﹣3﹣2x，PH＝﹣x2﹣x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴PD+PH＝﹣3﹣2x+（﹣x2﹣3x）＝﹣x2﹣5x﹣3＝﹣（x+）2+，∴當(dāng)x＝﹣時，PD+PH有最大值，此時，點P的坐標(biāo)為（﹣，）；7．已知，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（﹣8.0）、B（2，0）（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點E、G是直線AC上方拋物線上的點，點E位于拋物線對稱軸的左側(cè)，設(shè)點G的橫坐標(biāo)為g，則點E的橫坐標(biāo)比點G的橫坐標(biāo)g小2．過E作EF∥x軸，交拋物線于點F，過G作GH∥x軸，交直線AC于點H，當(dāng)EF+2GH的值最大時，求EF+2GH的最大值及此時點E的坐標(biāo)；【解答】解：（1）把A（﹣8.0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+4得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4；（2）在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝0得y＝4，∴C（0，4），由A（﹣8，0），C（0，4）得直線AC解析式為y＝x+4，∵點G的橫坐標(biāo)為g，∴G（g，﹣g2﹣g+4），在y＝x+4中，令y＝﹣g2﹣g+4得x＝﹣g2﹣3g，∴H（﹣g2﹣3g，﹣g2﹣g+4），∴GH＝﹣g2﹣3g﹣g＝﹣g2﹣4g，∵點E的橫坐標(biāo)比點G的橫坐標(biāo)g小2，∴xE＝g﹣2，∵拋物線y＝﹣x2﹣x+4對稱軸為直線x＝﹣3，∴EF＝2[﹣3﹣（g﹣2）]＝﹣2﹣2g，∴EF+2GH＝﹣2﹣2g+2（﹣g2﹣4g）＝﹣g2﹣10g﹣2＝﹣（g+5）2+23，∵﹣1＜0，∴當(dāng)g＝﹣5時，EF+2GH最大值為23，此時xE＝g﹣2＝﹣5﹣2＝﹣7，在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝﹣7得y＝，∴E（﹣7，）；8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（，0），直線y＝x+與拋物線交于C，D兩點，點P是拋物線在第四象限內(nèi)圖象上的一個動點．過點P作PG⊥CD，垂足為G，PQ∥y軸，交x軸于點Q．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)PG+PQ取得最大值時，求點P的坐標(biāo)和PG+PQ的最大值；【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（，0）兩點，∴，解得．∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣．（2）如圖，過點P作PE∥x軸交CD于點E，∴∠DEP＝45°，∴△PGE是等腰直角三角形，∴PE＝PG，設(shè)點P（t，t2﹣t﹣），則Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），∴PQ＝﹣t2+t+，PE＝t﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴PG+PQ＝PE+PQ＝﹣t2+t+3+（﹣t2+t+）＝﹣2（t﹣1）2+，∵﹣2＜0，∴當(dāng)點P（1，﹣3）時，PG+PQ的最大值為．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x＝﹣．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上有一動點M，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，交直線BC于點D；是否存在點M，使得MD+DC取得最大值，若存在請求出它的最大值及點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，∴﹣＝﹣，∴b＝3a，∴y＝ax2+3ax+c，將A（1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+3ax+c，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）存在點M，使得MD+DC取得最大值，理由如下；令y＝0，則﹣x2﹣3x+4＝0，∴x＝﹣4或x＝1，∴B（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+4，設(shè)M（m，﹣m2﹣3m+4），則D（m，m+4），∵M(jìn)N⊥x軸，∴MD＝﹣m2﹣4m，如圖1，過點D作DG⊥y軸交于點G，∵∠DCG＝45°，∴CD2＝2DG2，∴DG＝CD，∵DG＝﹣m，∴MD+DC＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時，MD+DC有最大值，此時M（﹣，）；10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），且拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC下方的拋物線上有一動點P，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，交直線BC于點N，求PN+CN的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）將點A（1，0），C（0，﹣3）分別代入y＝ax2+bx+c得，，解得：b＝﹣a+3，∵函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，即b＝2a，∴﹣a+3＝2a，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3．（2）當(dāng)y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得：x＝1或x＝﹣3，∴B（﹣3，0），過點C作直線PM的垂線，垂足為點H，∵點B（﹣3，0），點C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴△CHN是等腰直角三角形，∴CN＝CH，∴PN+CN＝PN+2CH，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣3，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點N的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），∴PN＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，CH＝﹣x，∴PN+CN＝﹣x2﹣3x+2（﹣x）＝﹣x2﹣5x＝﹣（x+）2+，∴PN+CN的最大值為，此時點P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），且A點坐標(biāo)為，直線BC的解析式為．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為線段BC上方拋物線上的任意一點，過點P作PD∥y軸，交BC于點D，過點D作DE∥AC交x軸于點E．求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵，令x＝0，y＝4；令y＝0，得x＝2，∴B（2，0），C（0，4），將A（，0），B（2，0），C（0，4）代入解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c，得，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4．（2）如圖，延長PD交x軸于點F，設(shè)P（t，﹣t2+t+4），D（t，﹣t+4），∴PD＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，DF＝﹣t+4，在Rt△AOC中，OA＝，OC＝4，∴AC＝3，∴sin∠CAO＝＝＝，∵PD∥y軸，DE∥AC，∴∠DEF＝∠CAO，∴sin∠DEF＝sin∠CAO＝，∴DE＝DF，∴DE＝DF，∴PD+＝（﹣t2+2t）+（﹣t+4）＝﹣t2+t+6＝﹣（t﹣）2+，∴P（，）．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣6，0），B（4，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BD交y軸于點G，作直線OD，點P為線段BD上方的拋物線上任意一點，過點P作PE∥y軸交BD于點E，過點P作PF⊥直線OD于點F．當(dāng)PE+PF為最大時，求這個最大值及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣6，0），B（4，0），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝x2x+4；（2）在y＝x2x+4中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），∵拋物線y＝x2x+4的對稱軸為直線x＝﹣1，且點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴D（﹣2，4），設(shè)直線BD的解析式為y＝k（x﹣4），把D（﹣2，4）代入得，k（﹣2﹣4）＝4，解得：k＝﹣，∴直線BD的解析式為y＝x+，同理，直線OD的解析式為y＝﹣2x，設(shè)P（m，m2m+4），∵PE∥y軸，∴E（m，m+），∴PE＝m2m+4﹣（m+）＝m2+m+，如圖1，過點D作DW⊥x軸于點W，延長PE交直線DO于點H，∵PH∥DG，∴∠PHF＝∠ODW，∵D（﹣2，4），∴OW＝2，DW＝4，在Rt△ODW中，OD＝＝＝2，∵sin∠ODW＝＝＝，∴sin∠PHF＝sin∠ODW＝，∴＝，∴PF＝PH，∵H（m，﹣2m），∴PH＝m2m+4﹣（﹣2m）＝m2+m+4，∴PF＝（m2+m+4），∴PE+PF＝m2+m++×（m2+m+4）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，∵點P為線段BD上方的拋物線上任意一點，∴﹣2＜m＜4，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝時，PE+PF的值最大，最大值為，此時，點P的坐標(biāo)為（，）；13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，連接AC（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，連接BC，點P為第一象限拋物線上一動點，過點P作PM∥x軸交直線BC于點M，過點P作PN∥AC交x軸于點N，求PN+PM的最大值及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+x+4；（2）設(shè)P（t，t2+t+4）（0＜t＜4），如圖，過點P作PG⊥x軸于點G，則∠PGN＝90°，PG＝t2+t+4，∵拋物線y＝x2+x+4與y軸交于點C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵OA＝2，∴AC＝＝＝2，∵PN∥AC，∴∠PNG＝∠CAO，∵∠PGN＝∠COA＝90°，∴△PNG∽△CAO，∴＝＝＝，∴PG＝PN，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，∵PM∥x軸，∴點M的縱坐標(biāo)為t2+t+4，∴﹣x+4＝t2+t+4，解得：x＝t2﹣t，∴M（t2﹣t，t2+t+4），∴PM＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+2t，∴PN+PM＝PG+PM＝t2+t+4+（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，∵﹣1＜0，0＜t＜4，∴當(dāng)t＝時，PN+PM有最大值，最大值為，此時點P的坐標(biāo)為（，）；14．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是直線上方拋物線上的一點，過點P作PD∥AC交BC于E，交x軸于點D，求PE+BE的最大值以及此時點P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）如圖，過點E作x軸的平行線，過點P作PJ⊥x軸于J，并與過E點的平行線交點H，過點B作BK⊥EH的延長線于K，則可得四邊形HKBJ為矩形，由（1）可得C（0，3），則有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，∵AC∥DP，EK∥x軸，KB⊥x軸，CO⊥x軸，∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，∴，，∴，，∴PH＝，，∴+＝PH+BK＝PH+HJ＝PJ，∵當(dāng)P在拋物線的頂點時，有PJ的最大值，∴當(dāng)P在拋物線頂點時，有+最大值，∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，求得拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，4），∵當(dāng)P點坐標(biāo)為（1，4）時，PJ＝4，∴當(dāng)+最大時，P點坐標(biāo)為（1，4），∴＝2?（+）＝8，此時點P的坐標(biāo)為（1，4）．考點三線段之差的最大值15．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PD∥AC交x軸于點D，交BC于點E，求BE的最大值及點P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵C（0，6），＝tan∠CAB＝3，∴AO＝＝2，A（﹣2，0），B（6，0），∴，解得，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x+6．（2）如圖1，作PH⊥x軸于點H，交BC于點J，作EI⊥PH于點I、EK⊥x軸于點K．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+6，則6k+6＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+6；設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝px+6，則﹣2p+6＝0，解得p＝3，∴y＝3x+6．設(shè)P（m，m2+2m+6），由PD∥AC，設(shè)直線PD的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x+n，則m2+2m+6＝3m+n，解得n＝m2﹣m+6，∴y＝3xm2﹣m+6．由，得，∴E（，）．∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，∴PE＝EI，∴PE＝10EI＝10（m﹣﹣）＝m﹣m2，∵BE＝BK，∴BE＝2BK＝2（6﹣﹣）＝12﹣﹣，∴BE＝m﹣m2﹣（12﹣﹣）＝﹣m2+8m﹣12＝﹣（m﹣4）2+4，∴當(dāng)m＝4時，BE的最大值，最大值為4，此時P（4，6）．16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知A（﹣1，0），直線BC的解析式為y＝x﹣3．（1）求拋物線的解析式；（2）在線段BC上有一動點D，過點D作DE⊥BC交拋物線于點E，過點E作y軸的平行線交BC于點F．求EF﹣DE的最大值，以及此時點E的坐標(biāo)；【解答】解：（1）對y＝x﹣3，當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，當(dāng)y＝0時，x＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點C（0，﹣3）代入得，﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴二次函數(shù)的解析式為y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；（2）∵點B（3，0），點C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∵EF∥y，∴∠EFD＝∠OCB＝45°，∵ED⊥BC，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝EF，∴EF﹣＝EF﹣×EF＝EF，∴當(dāng)EF取最大時，EF﹣DE取得最大值，設(shè)點E的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則點F的坐標(biāo)為（x，x﹣3），∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）+，∴x＝時，EF的最大值為，∴EF﹣DE的最大值為×＝，點E的坐標(biāo)為（，﹣）；考點四