初中數(shù)學(xué)勾股定理 作業(yè)設(shè)計二

滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊

第18章《勾股定理》

作,

業(yè)

設(shè)

計

目錄

一、單元信息......................................1

二、單元分析.....................................1

(-)課標(biāo)要求....................................1

(-)教材分析...................................2

(三)學(xué)情分析...................................3

三、單元學(xué)習(xí)與作業(yè)目標(biāo)...........................4

(-)單元學(xué)習(xí)目標(biāo)...............................4

(-)單元作業(yè)目標(biāo)...............................4

四、單元作業(yè)整體設(shè)計思路.........................4

五、作業(yè)設(shè)計.....................................6

(1)18.1勾股定理(1)課時作業(yè)及評價分析.........6

(2)18.2勾股定理(2)課時作業(yè)及評價分析.........18

(3)18.2勾股定理的逆定理(1)課時作業(yè)及評價分析.35

(4)18.2勾股定理的逆定理(2)課時作業(yè)及評價分析.53

(5)勾股定理復(fù)習(xí)課時作業(yè)及評價分析.............69

(6)單元檢測作業(yè)及評價分析.....................85

一、單元信息

基本信息學(xué)科年級學(xué)期教材版本單元名稱

數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期滬科版勾股定理

單元組織方自然單元重組單元

式

序號課時名稱對應(yīng)教材內(nèi)容

1勾股定理（1）第18.1(P52-54)

2勾股定理（2）第18.1(P54-56)

課時信息3勾股定理的逆定理（1）第18.2(P58-58)

4勾股定理的逆定理（2）第18.2(P58-59)

5勾股定理復(fù)習(xí)第18章(P52-68)

二、單元分析

（-）課標(biāo)要求（2022版）

勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)

量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)時世界中也有著廣泛的作用。

學(xué)生通過對勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)

識和理解。

在2022版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對勾股定理的要求是：探索勾股定理及其逆定理.

并能運用它們解決一些簡單的實際問題。

內(nèi)容要求部分，在“圖形的性質(zhì)”中強(qiáng)調(diào)通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理

論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎(chǔ)上，從基本事實出發(fā)

推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理；在這一部分還涉及到：理解直角三角形的概念，

探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理；直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形。在

“圖形的變化”中要求能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一

些簡單的實際問題。在“圖形與坐標(biāo)”中強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)方法研究圖形，

在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形上點的位置，用坐標(biāo)法分析和解決實際問

題。

學(xué)業(yè)要求部分，在“圖形的性質(zhì)”中要求：在直觀理解和掌握圖形與幾何

基本事實的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)

邏輯，形成幾何直觀和推理能力；在“圖形的變化”中要求：理解幾何圖形的

對稱性，感悟現(xiàn)實世界中的對稱美，知道可以用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)對稱；知道直

1

角三角形的邊角關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)，能用銳角三角函數(shù)解決簡單的實際

問題；在“圖形與坐標(biāo)”中要求：感悟通過幾何建立直觀、通過代數(shù)得到數(shù)學(xué)

表達(dá)的過程。在這樣的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合的思想，會用數(shù)形結(jié)合的方法分

析和解決問題。

教學(xué)提示部分，在“圖形的性質(zhì)”中提到：要通過生活中的或者數(shù)學(xué)中的

現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟基本事實的意義，經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)和證明的過程，

感悟歸納推理過程和演繹推理過程的傳遞性，增強(qiáng)推理能力，會用數(shù)學(xué)的思維

思考現(xiàn)實世界；在“圖形的變化”中提到：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自然界中的對稱之美，

感悟圖形有規(guī)律變化產(chǎn)生的美，會用幾何知識表達(dá)物體簡單的運動規(guī)律，增強(qiáng)

對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。在“圖形與坐標(biāo)”中提到：要強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)

歷用坐標(biāo)表達(dá)圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移變化的過程，體會用代數(shù)方法表達(dá)圖

形變化的意義，發(fā)展幾何直觀；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷借助平面直角坐標(biāo)系解決現(xiàn)實問

題的過程，感悟數(shù)形結(jié)合的意義，發(fā)展推理能力和運算能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和

創(chuàng)新意識。

（二）教材分析

1、知識網(wǎng)絡(luò)

震第三角形西直南邊的平方和等于

斜邊的平方.如果用a,b和1c分熨

表示直角三角形的溝■角邊和斜達(dá)

2、內(nèi)容分析

直角三角形是一種特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三邊的關(guān)

系它是平面幾何中的一個重要定理。本章主要內(nèi)容有兩個部分:勾股定理的發(fā)現(xiàn)

與證明，運用勾股定理解決簡單的實際問題；勾股定理的逆定理，利用勾股定

理的逆定理判定直角三角形。

在本章之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性

質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件。在此基礎(chǔ)上，本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是關(guān)

2

于直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用。本章的第一部分利用

學(xué)生熟悉的方格網(wǎng)為背景通過觀察、分析、一般化等思維活動，引導(dǎo)學(xué)生得到

猜想一一勾股定理，再利用面積計算、數(shù)形結(jié)合的方法證明勾股定理。教科書

利用史實進(jìn)行了愛國主義教育，培養(yǎng)學(xué)生愛國主義情感。課本應(yīng)用勾股定理解

決了兩個簡單的實際問題。本章的第二部分利用兩個情景提出了逆命題（逆定理）

的概念，提出了一個定理的逆命題是否成立的問題;應(yīng)用實例展現(xiàn)利用勾股定理

的逆定理判定三角形是直角三角形。

勾股定理反映了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，也是直角三角形的

一條重要性質(zhì)，勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程體現(xiàn)了一般化的數(shù)學(xué)思想。勾股定理及其

逆定理，把直角三角形中形的特征轉(zhuǎn)化為三邊的數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)了形與數(shù)的密

切聯(lián)系，一般化、形與數(shù)的密切聯(lián)系在數(shù)學(xué)理論上均有重要地位。勾股定理的

證明方法很多，課本是利用面積法給出證明的。學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的面積證法

有一定的困難，其原因主要是：在此之前，學(xué)生沒有見過用面積法證明的示例。

學(xué)生感到陌生；學(xué)生不會利用面積關(guān)系列等式。目前不要求學(xué)生掌握勾股定理

的逆定理的構(gòu)造性證明。本章的教學(xué)重點是勾股定理、勾股定理的逆定理的內(nèi)

容及其應(yīng)用；教學(xué)難點是勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。

課本選取學(xué)生熟悉的方格紙為背景，關(guān)注勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，幫助學(xué)生

克服機(jī)械記憶公式的學(xué)習(xí)方式。教學(xué)內(nèi)容采用“問題情景一探究猜想一解祥、

應(yīng)用與拓展”的形式展開，讓學(xué)生通過觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流

等數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，目的是使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知

識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識和技能，形成有效的學(xué)習(xí)策略，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)

知識的意識與能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。課本在數(shù)學(xué)園地中，設(shè)置了具有挑

戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動探索.給學(xué)生提供探

索與交流的空間，以發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識與實踐能力。課本將圖形與啟發(fā)性問題

相結(jié)合，計算與證明相結(jié)合，數(shù)與形相結(jié)合，充分發(fā)揮圖形的直觀作用，以加

深學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解。

（三）學(xué)情分析

勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網(wǎng)格中的直角三角形。

再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過程。證

明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法求出斜邊偉邊長的正方形的面積，教學(xué)中要注

意引導(dǎo)學(xué)生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得定理的證明。

勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個特殊的結(jié)論。在正方形網(wǎng)格中比較

容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關(guān)系，進(jìn)而得出三邊之

間的關(guān)系，但是從等腰直角三角形過渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理

的猜想，學(xué)生有較大的困難。因此，在教學(xué)中需要先引導(dǎo)學(xué)生觀察網(wǎng)格背景下

的正方形的面積關(guān)系，然后思考沒有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，再將這

種關(guān)系表示成邊長之間的關(guān)系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理。

另外學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、猜想和推理的能力。習(xí)得了一定的幾何

知識，同時他們也學(xué)習(xí)了一些幾何圖形的面積計算方法（包括割補(bǔ)、拼接），

但運用面積法和割補(bǔ)思想來解決問題的意識和能力還不夠。同時同學(xué)們對于算

術(shù)平方根有了一定了解，這對求三角形的邊長有一定作用。

3

三、單元學(xué)習(xí)與作業(yè)目標(biāo)

（-）單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷對問題情景的觀察、分析、一般化等思維活動，提出猜想，體驗勾股

定理的探索過程，豐富學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗和體驗，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合

情推理能力；

2.了解勾股定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣;利用數(shù)學(xué)史話介紹，培養(yǎng)

學(xué)生愛國主義的思想情感；

3.會運用勾旋奎理嬴夬簡單的實際問題，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思

維能力和推理論證的表達(dá)能力；

4.結(jié)合具體情景，了解逆命題（逆定理）的概念;理解勾股定理的逆定理,會用

勾股定理的逆定理判定直角三角形.

（二）單元作業(yè)目標(biāo)

1.通過基礎(chǔ)題的設(shè)計與訓(xùn)練，使學(xué)生能夠初步掌握勾股定理及其逆定理，

并會進(jìn)行簡單的計算和實際運用，會用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

2.通過能力題的設(shè)計與訓(xùn)練，讓學(xué)生初步學(xué)會用代數(shù)計算解決幾何問題的

一種方法，體會數(shù)形結(jié)合的思想；

3.通過素養(yǎng)題的設(shè)計與訓(xùn)練，旨在以題目為媒介，讓學(xué)生在分析與思考中,

培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、應(yīng)用能力及發(fā)展思維能力；

4.激發(fā)國家認(rèn)同、國際理解的社會責(zé)任擔(dān)當(dāng)，增強(qiáng)愛國主義情懷。

四、單元作業(yè)整體設(shè)計思路

學(xué)生作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸和繼續(xù),也是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的一個重要手段.但

過重的作業(yè)負(fù)擔(dān),不僅難以實現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo),而且會產(chǎn)生不可低估的負(fù)面效

應(yīng).根據(jù)國家“雙減”政策,必須優(yōu)化作業(yè)設(shè)計。在全面透徹理解《勾股定理》

教學(xué)內(nèi)容的前提下，把握知識的連貫性，明確教學(xué)內(nèi)容的重點、難點以及對學(xué)

生能力培養(yǎng)的要求.首先要加強(qiáng)“雙基”訓(xùn)練，特別是對基本概念的理解和掌

握是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)思維、提高能力的根本.其次要注重學(xué)習(xí)內(nèi)容重難

點的把握，充分利用學(xué)生作業(yè)的完成促使學(xué)生牢固掌握重點知識，同時把學(xué)習(xí)

中的難點分解于作業(yè)中，循序漸進(jìn)地掌握知識.另外要注意知識的整體性，一

方面注意復(fù)習(xí)鞏固已有知識，與舊知識銜接起來，另一方面為后續(xù)知識做好準(zhǔn)

備，把后面的內(nèi)容或方法滲透到前面的知識中形成良好的知識鏈，保持掌握知

識與培養(yǎng)能力的系統(tǒng)性.基于以上方面的考慮特從以下方面進(jìn)行設(shè)計。

1.作業(yè)編排：在2022版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到：促進(jìn)自主學(xué)習(xí)，加強(qiáng)自我監(jiān)

控、自我評價，提升自主學(xué)習(xí)能力；家校協(xié)同，建立監(jiān)控、指導(dǎo)、評價、激勵

機(jī)制，適時交流和開展個性化指導(dǎo)，營造學(xué)生自主學(xué)習(xí)的良好環(huán)境。所以在作

業(yè)編排方面分別設(shè)置了課前的預(yù)習(xí)作業(yè)和課中的練習(xí)作業(yè)以及課后的課時作業(yè),

其中課前的預(yù)習(xí)作業(yè)均設(shè)置為選擇題和填空題主要為最容易的題目，以鞏固和

識記知識點為主。課中的練習(xí)作業(yè)設(shè)置有選擇題、填空題和解答題當(dāng)堂完成，

4

這些題目全部為容易題。由于課前預(yù)習(xí)作業(yè)和課中練習(xí)作業(yè)比較簡單所以沒有

進(jìn)行分層設(shè)計。由于學(xué)生的學(xué)力有差異所以課后的課時作業(yè)設(shè)置了不同的等級,

雖然設(shè)置了不同的等級但并沒有分別設(shè)計三套難度等級不同的作業(yè)，如果不同

層次的學(xué)生做難度不同、題目不同的作業(yè)，則不利于同學(xué)之間相互交流、相互

幫助。為了培養(yǎng)全面發(fā)展的人，共性寓于個性之中個性又受共性的制約，共性

和個性在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。所以在一套作業(yè)中體現(xiàn)基礎(chǔ)、能力、素養(yǎng)三個

等級，使每個學(xué)生在學(xué)習(xí)中既有共性學(xué)習(xí)又有個性學(xué)習(xí)，既能共同進(jìn)步又能個

性發(fā)展；另外為了鍛煉學(xué)生的實踐能力，在每個課時的最后又設(shè)置了素養(yǎng)發(fā)展

題，旨在鍛煉學(xué)生的實際動手、動腦、分析問題、解決問題的能力；

2.難度設(shè)置：為了切實貫徹落實素質(zhì)教育，培養(yǎng)全面發(fā)展的人，兼顧群體

特點與個體差異，課后的課時作業(yè)題目設(shè)置為基礎(chǔ)、能力、素養(yǎng)三個等級。課

時作業(yè)大致按照6:3:1設(shè)計，單元檢測作業(yè)大致按照7：2：1設(shè)計；

3.題型設(shè)置：為了對接初中學(xué)業(yè)水平考試，在題型設(shè)置方面和學(xué)業(yè)水平考

試一致，設(shè)置為：選擇題、填空題和解答題。為了培養(yǎng)全面發(fā)展的人，在各種

類型的題目里面設(shè)置了培養(yǎng)學(xué)生對基礎(chǔ)知識理解和掌握的題目、培養(yǎng)獲取信息

能力的閱讀分析問題、培養(yǎng)探究能力的探究問題、培養(yǎng)解決問題能力的具有實

際背景的問題等；

4.時間設(shè)置：為切實減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，課前的預(yù)習(xí)作業(yè)時間在10分鐘

之內(nèi)，課中的練習(xí)作業(yè)時間也在10分鐘之內(nèi)，課后的課時作業(yè)時間控制在15-

20分鐘，單元檢測作業(yè)設(shè)置為25-30分鐘；

5.作業(yè)布置：作業(yè)分為基礎(chǔ)題、能力題和素養(yǎng)題，針對班級學(xué)生學(xué)力的不

同將學(xué)生分成三個層級，學(xué)力最低層級的學(xué)生（C級學(xué)生）完成基礎(chǔ)等級的題

目，鼓勵探索能力等級的題目；學(xué)力中等層級的學(xué)生（B級學(xué)生）完成基礎(chǔ)和

能力兩個等級的題目，鼓勵探索素養(yǎng)等級的題目；學(xué)力最高層級的學(xué)生（A級

學(xué)生）至少完成能力和素養(yǎng)兩個等級的題目。

面向全體學(xué)生

知識點的識記

簡單容易題

作

業(yè)

設(shè)

計

體

系

A等學(xué)生至少完成能萬

題和素養(yǎng)題

B等學(xué)生完成基礎(chǔ)超

培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)全和能力題

素養(yǎng)發(fā)展面發(fā)展

5

五、作業(yè)設(shè)計

(1)18.1勾股定理(1)課時作業(yè)及評價分析

課時教學(xué)目標(biāo)

1、數(shù)學(xué)的眼光

通過探索發(fā)現(xiàn)勾股定理并會進(jìn)行證明，能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)研究運用勾股定理進(jìn)行簡

單計算和運用；能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究

2、數(shù)學(xué)的思維

通3航察分析，大膽猜想，并探索勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生動手操作、合作交流、

邏輯推理的能力；在探索勾股定理的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗證”

的數(shù)學(xué)過程，并體會數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

3、數(shù)學(xué)的語言

能夠精確描述勾股定理并用字母表示；會用勾股定理解決分析結(jié)果，形成合理

的判斷或決策；形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識與實踐能力。

課時作業(yè)目標(biāo)

(1)能夠?qū)垂啥ɡ磉M(jìn)行證明，并能夠運用勾股定理進(jìn)行簡單計算;

(2)鞏固對勾股定理的理解、識記及應(yīng)用；

(3)培養(yǎng)學(xué)生動手操作、實際應(yīng)用、邏輯推理的能力。

一、預(yù)習(xí)作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1、直角^ABC的主要性質(zhì)是：zc=9(r(用幾何語言表示)

(1)兩銳角之間的關(guān)系：

(2)若/B=30,則NB的對邊和斜邊的關(guān)系：

2、如果直角三角形的兩條直角邊用a,b表示，斜邊用c表示，那么勾股定理

可以表示為,用文字?jǐn)⑹黾礊橹苯侨切蔚膬蓷l直角

邊的等于斜邊的.

6

3、如圖，字母B所代表的正方形的面積是)

A.12B.13C.144D.194

(2)時間要求：10分鐘。

(3)評價設(shè)計(學(xué)生自評)

習(xí)題評價表

題號等級說明與評價

A能正確寫出兩小問的答案，說明以前所學(xué)關(guān)于直角三角形的知

1識掌握比較牢固.

B能正確寫出其中一個的答案，或者書寫不準(zhǔn)確.

C兩問都不能寫出，說明不能掌握以前所學(xué)的知識點.

A能正確填寫出三空，說明預(yù)習(xí)效果明顯能初步識記勾股定理.

2B只能填出勾股定理的幾何表示，不能填出文字表示。

C三空都不能填出，說明完全沒有理解預(yù)習(xí)內(nèi)容.

A能寫出正確答案，說明不僅能記住勾股定理，并且還能初步進(jìn)

3行應(yīng)用.

B

C不能正確寫出答案，說明沒有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不會應(yīng)用.

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】解：直角AABC中，NC=90°,

(1)兩銳角之間的關(guān)系：NA+NB=90°

(2),??/B=3O°,的對邊和斜邊的關(guān)系是AC=EAB.

1_

故答案為：ZA+ZB=90°；AC=2AB.

7

【設(shè)計意圖】本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性

質(zhì)綜合性較強(qiáng)，但是難度不大.

第2題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理計算；

【解答過程】直角三角形三邊之間的關(guān)系為：a2+b2=c，故答案為：a2+b2=c2；

平方和；平方

【設(shè)計意圖】本題考查的是勾股定理，如果真角福角形的兩條直角邊長分別是

a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

第3題：

【作業(yè)分析】外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方，實際上是求另一

直角邊的平方，用勾股定理即可解答.

【解答過程】解：根據(jù)勾股定理我們可以得出：a2+b2=c2,a?=25,M=

169,b2=169-25=144,因此B的面積是144.故選：C.

【設(shè)計意圖】本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用.只要搞清

楚直角三角形的斜邊和直角邊本題就容易多了.

二、練習(xí)作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1.?下列說法中正確的是()

A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2

B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方

C.在RtZ\ABC中，ZC=90°,所以BC?+AC2=AB2

D.在RSABC中，ZB=90°,BC2+AC2=AB2

8

2.求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長度：

3.如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.已

知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩

直角邊(x>y),下歹IJ四個說法：①x2+y2=49；②x-y=2；③2xy+4=49；

④x+y=9,其中說法正確的有()個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.已知在RtZXABC中，NC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.如果c=26,a：

b=5：12,求a、b的值.

(2)時間要求：10分鐘。

⑶評價設(shè)計(學(xué)生互評、教師總評)

習(xí)題評價表

題號等級說明與評價

A能寫出正確答案，說明不僅能記住勾股定理，并且還能正確區(qū)

1別對邊與對角.

B

C不能正確寫出答案，說明沒有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不能正確區(qū)分對邊與對角.

9

A全部都能正確寫出，說明不僅能記住勾股定理，并且還能初步

2進(jìn)行應(yīng)用.

B不能全部寫對，說明能記住勾股定理，但運用上還有問題.

C全部錯誤，說明沒有記住勾股定理或者雖然記住了勾股定理但

是不會應(yīng)用.

A能寫出正確答案，說明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

3結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對知識的掌握還不夠靈活.

A能夠正確做出，過程完整條理清楚.

4B能夠正確做出但過程不完整.

C不能做出，無過程.

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】以a,b,c為三邊的三角形不一定是直角三角形，得出A不正確；

由直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，得出B不正

確；由勾股定理得出C正確，D不正確；即可得出結(jié)論.

【解答過程】解：A不正確；二?以a,b,c為三邊的三角形不一定是直角三角

形，，A不正確；

B不正確「.?直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，

；.B不正確；

C正確,.,NC=90°,，AB為斜邊，/.BCZ+AC2=ABZ,；.C正確；

D不正確；???/B=90°,，AC為斜邊，.,.AB2+BC2=AC2,AD

不正確；故選：C.

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理的運用；熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理

論證是解決問題的關(guān)鍵.

第2題：

【作業(yè)分析】直接利用勾股定理得出已知圖形的面積和未知邊長.

【解答過程】解：如圖1,正方形的面積為：100+225=325；

如圖2,x=172-152—8；

如圖3,y=yj132-52=%；

22

如圖4,z=^g+g=10.

【設(shè)計意圖】此題主要考查了勾股定理，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

10

第3題：

【作業(yè)分析】利用大正方形面積和小正方形面積可得出大正方形和小正方形的

邊長，利用勾股定理可判斷①，利用線段和差可判斷②，利用大

正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和可判斷

③，利用①③可判斷④.

【解答過程】解：???大正方形面積為49,...大正方形邊長為7,在直角三角形

中，x2+y2=72=49,故說法①正確；

???小正方形面積為4,...小正方形邊長為2,.,.x-y=2,故說法

②正確?大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面

積之和，，4xNxy+4=49,...2xy+4=49,故說法③正確；

V2xy+4=49,.,.2xy=45,Vx2+y2=49,Z.x2+y2+2xy=49+45,

(x+y)2=94,.*.x+y=V94,故說法④錯誤；故選：C.

【設(shè)計意圖】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用大正方形面積和小

正方形面積得出大正方形和小正方形的邊長.

第4題：

【作業(yè)分析】在Rt^ABC中，ZC=90°,根據(jù)勾股定理可得AB2=ACZ+BC2,

根據(jù)題目給出的已知條件可以求第三個邊的長.

【解答過程】解：???Rt^ABC中，ZC=90°,c=26,a：b=5：12,可設(shè)a二

5x,貝ljb=12x,(5x)2+(12x)2=262；解得x=2,.,.a-10,

b=24.

【設(shè)計意圖】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直

角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

11

三、課時作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1.(基礎(chǔ)題)在RtZ\ABC中，ZC=90°.若a=6,b=8,貝c的值是(

A.10B.2734C.2A/7D.4.8

2.（能力題）（原創(chuàng)題）如圖，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩

形AB'C'D',連接CC'.已知AB=5,BC=12,通過計算我們可以得

出CL的長度是（）

A.13B.13V2C.1373D.13V5

3.（基礎(chǔ)題）在RtZ^ABC中，斜邊BC=3,則AB^+BCZ+ACZ的值為

4.（能力題）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,

C都在格點上，若BD是AABC的高，則BD的長為.

5.(基礎(chǔ)題)在R或\ABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的對邊分別是a,

b,c.

(1)已知a=40,c=41,求b；

(2)已知a=5,b=12,求c.

12

6.（改編）

（基礎(chǔ)題）（1）已知甲往東走了6km,乙往南走了8km,求此時甲乙兩人的距

兩I

（能力題）（2）已知直角三角形的兩邊長分別為6和8,求第三邊長的平方；

（素養(yǎng)題）（3）已知直角三角形的兩邊長分別為6和8,求斜邊上的高。

7.如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b,

斜邊長為c.請你開動腦筋，用它們拼出正方形圖案，要求拼圖時直角三角

形紙片不能互相重疊.

（能力題）（1）請你畫出拼成的這個圖形的示意圖；

（素養(yǎng)題）（2）利用（1）中畫出的圖形證明勾股定理.

素養(yǎng)發(fā)展

勾股定理是平面幾何中最重要的定理！它是歷史上第一個將數(shù)與形聯(lián)系起

來的定理，開啟了論證幾何的開端，甚至引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，勾股定理的

發(fā)現(xiàn)使人們加深了對數(shù)的理解，發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)。勾股定理也是歷史上第一個給

出完全解答的不定方程，并引出了費馬大定理。而勾股定理的證明目前約有

500種，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。請同學(xué)們利用課余時間收集

整理勾股定理的證明方法并加以分類，看誰收集的又多又好！

13

(2)時間要求：

A級學(xué)生做能力題和素養(yǎng)題20分鐘,

B級學(xué)生做基礎(chǔ)題和能力題20分鐘,

C級學(xué)生做基礎(chǔ)題20分鐘。

(3)評價設(shè)計(教師評價)

習(xí)題評價表

題號等級說明與評價

A能寫出正確答案，說明能夠掌握了勾股定理并且能夠進(jìn)行簡單

、-m

1運用.

B

C不能寫出正確答案，還不能夠掌握定理.

A能寫出正確答案，說明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

2結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對知識的掌握還不夠靈活運用.

A能寫出正確答案，說明能夠掌握了勾股定理并且能夠進(jìn)行簡單

3計算.

B

C不能寫出正確答案，對知識沒有掌握并且不能運用.

A能寫出正確答案，說明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

4結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對知識的掌握還不夠靈活.

A能夠正確做出，過程完整條理清楚.

5B能夠正確做出但過程不完整.

C不能做出，無過程.

A能夠正確做出，過程完整條理清楚考慮全面，能與其它知識相

6結(jié)合.

B能夠正確做出但過程不完整；考慮不全面.

C不能做出，無過程.

A能夠畫出示意圖并完成證明過程.

7B能夠畫出示意圖不能完成證明.

C不能夠畫出示意圖.

14

作業(yè)整體評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

答題的準(zhǔn)A等，答案正確，過程正確。

確性B等，答案正確，過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)

確，過程錯誤、或無過程。

答題的規(guī)A等，過程規(guī)范，答案正確。

范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

解法的創(chuàng)A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價AAA,AAB綜合評價為A等；

等級ABB、BBB、AAC綜合評價為B等；

其余情況綜合評價為C等。

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【解答過程】解：在R1AABC中，NC=90°,a=6,b=8,由勾股定理得：c

=Va2+b2=7G2+82=10,故選：A.

【設(shè)計意圖】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是

a,b,斜邊長為c,那么aZ+b2=c"

第2題：

【作業(yè)分析】兩次利用勾股定理，先求出AC長，再根據(jù)ACAL是等腰直角

三角形求出CC的長

【解答過程】解：???四邊形ABCD為矩形，AB=5,BC=12

,AC=AMB2+BC2=32+122=13又：NCAC，=90。AC=ACZ

.?.CC，=AMC2+AC“2不32+132/故選擇R

【設(shè)計意圖】此題是勾股定理，考查了勾股定理的運用和特殊的直角三角形。

15

第3題：

【作業(yè)分析】由直角三角形結(jié)合勾股定理得到AB2+AC2的值，即可得出結(jié)果.

【解答過程】解：?.?RtZSABC中，斜邊BC=3,.\AB2+AC2=BC2=32=9,

，AB2+BC2+AC2=2BC2=2X9=18,故答案為：18.

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

第4題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積,

由三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

解：由勾股定理得：22

【解答過程】AC=72+3=V13,

24-xIX2-yXIX3-yX2X3=3.5

VSAABC

177V13

ACBD=

.-.2'2.,.VT3-BD=7,ABD=13,故答案為：13

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

第5題：

【作業(yè)分析】(1)由勾股定理求出直角邊b即可；

(2)由勾股定理求出斜邊c即可.

【解答過程】解⑴VZC=9ff,."=式中=北工不=9；

)

(2)???NC=90,.?.c=ApT^=V^IP=13.

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵，注

意c是斜邊.

第6題：

【作業(yè)分析】(1)由勾股定理直接可得；

(2)由于直角邊不確定，所以不止一種情況

(3)在第二小題的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步增加知識的考查，利用面積

求斜邊上的高

16

【解答過程】（1）甲乙兩人之間的距離=0+82=iokm

（2）當(dāng)6和8為兩個直角邊時，第三邊長的平方=62+82=100

當(dāng)6和8為直角邊和斜邊時，第三邊長的平方=82-6=28

2

（3）設(shè)斜邊上高為h,當(dāng)6和8為兩個直角邊時，斜邊

=V62+82=10,由三角形面積可得：gx6x8=10/i,得

h=Y

當(dāng)6和8為直角邊和斜邊時，另一直角邊=府=^2g由

三角形面積可得：gx2V7x6=：x8/i,得h=（

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理的運用，分類討論是解題的關(guān)鍵。

第7題：

【作業(yè)分析】（1）把四個全等的直角三角形的斜邊首尾相接，可拼成所需圖案，

如圖所示（答案不唯一）；

（2）分別用兩種方法計算大正方形的面積，從而可得（a+b）2=

J,

c2+4xEab,化簡即可得證.

【解答過程】解：（1）（答案不唯一）如圖；

（2）證明：???大正方形的面積可表示為（a+b）2,大正方形的面

,12

積也可表示為：c2+4xEab,（a+b）2=c2+4X2ab,即

a2+b2+2ab=c2+2ab,/.a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方.

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是拼出熟知的勾股圖.

17

(2)18.1勾股定理(2)課時作業(yè)及評價分析

課時教學(xué)目標(biāo)

1、數(shù)學(xué)的眼光

感悟數(shù)學(xué)的審美價值；體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，形成積極參與數(shù)學(xué)活動的意

識，再一次感受勾股定理的應(yīng)用價值，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；培

養(yǎng)學(xué)生交流與合作的協(xié)作精神。

2、數(shù)學(xué)的思維

通過法股定理實際問題的分析與解決，通過學(xué)生動手操作，培養(yǎng)學(xué)生的

探究能力、質(zhì)疑能力，提高用勾股定理來解決實際問題的能力；幫助學(xué)生感受

到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系；

3、數(shù)學(xué)的語言

能進(jìn)一￡總用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題；欣賞數(shù)學(xué)語言

的簡潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流的習(xí)慣。

課時作業(yè)目標(biāo)

(1)能夠運用勾股定理進(jìn)行簡單計算以及解決實際問題；

(2)進(jìn)一步加強(qiáng)對勾股定理的理解、識記及應(yīng)用；

(3)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、邏輯推理的能力；

(4)鍛煉學(xué)生實際動手操作能力。

一、預(yù)習(xí)作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a,b和c分別表示

直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么+=.

用圖形表示為：

勾a2+b2=c'2

股b

2、如圖，一棵大樹在暴風(fēng)雨中被臺風(fēng)刮倒，在離地面3米處折斷，測得樹頂端

距離樹根4米，已知大樹垂直地面，則大樹高約多少米？()

C.9米D.25

18

3、如圖是一個外輪廓為長方形的機(jī)器零件的平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸(單

位：cm),計算兩個圓孔中的A和B的距離為cm.

(2)時間要求：10分鐘。

(3)評價設(shè)計(學(xué)生自評)

習(xí)題評價表

題號等級說明與評價

A能正確填寫結(jié)果，說明能夠記住勾股定理.

1B

C不能填出正確結(jié)果，說明沒有能夠記住勾股定理.

A能正確選出答案，說明能夠運用勾股定理解決簡單的實際問

2題.

B

C不能寫出正確答案，說明沒有掌握勾股定理或者不能進(jìn)行實際

應(yīng)用.

A能正確填寫結(jié)果，說明能夠解決實際問題.

3B

C不能填出正確結(jié)果，說明沒有理解預(yù)習(xí)內(nèi)容.

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答過程】解：如果用a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那

么a2+t)2=c2.故答案為：a4b2,cz.

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

19

第2題：

【作業(yè)分析】設(shè)大樹高約有x米，再由勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答過程】解：設(shè)大樹高約有x米，由勾股定理得：(x-3)2=32+4幺解得：

x=8,答：大樹高約8米.故選：B.

【設(shè)計意圖】此題是勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

問題來解決.

第3題：

【作業(yè)分析】根據(jù)圖形標(biāo)出長度，可以知道AC和BC的長度，從而構(gòu)造直角

三角形，根據(jù)勾股定理就可求出A和B的距離.

【解答過程】解：??'AC=10-4=6(cm),BC=12-4=8(cm),

AAB=VAC2+BC2=V62+82=10(cm).故答案為：10.

【設(shè)計意圖】本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)

好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

三、練習(xí)作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1..如圖，做一個寬80厘米，高60厘米的長方形木框，需在相對角的頂點加

一根加固木條，則木條的長為()

A.90厘米B.100厘米C.105厘米D.110厘米

20

2.如圖，小李準(zhǔn)備建一個蔬菜大棚，棚寬4米，高3米，長20米，棚的斜面

用塑料布遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積.

4米2蛛

3.如圖，是一棵美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，若最大的正方

形E的邊長為10,則正方形A,B,C,D的面積之和為.

4.閱讀并解答問題

明朝數(shù)學(xué)家程大位在數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》中以《西江月》詞牌敘述了

一道“蕩秋千”問題：

原文：平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索有幾？

譯文：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺

（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的

繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？（注古代5尺為1步）

21

建立數(shù)學(xué)模型，如圖，秋千繩索0A靜止的時候，踏板離地高一尺（AC=1

尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB=10尺），此時踏板升高離地五尺（BD=5

尺），已知OC_LCD于點C,BD_LCD于點D,BEJ_OC于點E,OA=OB,

求秋千繩索（0A或0B）的長度.

請解答下列問題：

（1）直接寫出四邊形ECDB是哪種特殊的四邊形；

⑵求0A的長.

（2）時間要求：10分鐘。

⑶評價設(shè)計（學(xué)生互評、教師總評）

習(xí)題評價表

題號等級說明與評價

A能寫出正確答案，說明不僅能記住勾股定理，并且還能實際應(yīng)

1用.

B

C不能正確選出答案，說明沒有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不會解決實際問題.

A能正確寫出答案，說明不僅能記住勾股定理，并且還能初步進(jìn)

2行應(yīng)用.

B

C不能寫出正確答案，說明沒有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不會應(yīng)用.

22

A能寫出正確答案，說明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

3結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對知識的掌握還不夠靈活.

A能夠正確做出兩問，過程完整條理清楚.

4B能夠正確做出兩問但過程不完整.

C只能做出第一問或者其它情況.

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】由于長方形木框的寬和高與所加固的木板正好構(gòu)成直角三角形，

故可利用勾股定理解答.

【解答過程】解：設(shè)這條木板的長度為x厘米，由勾股定理得：x2=802+602,

解得x=100厘米.故選：B.

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，屬較簡單題目，注意

細(xì)心運算即可.

第2題：

【作業(yè)分析】此題只需根據(jù)勾股定理計算直角三角形的斜邊，即矩形的寬.再

根據(jù)矩形的面積公式計算.

【解答過程】解：根據(jù)勾股定理，得直角三角形的斜邊是序不=5,所以陽

光透過的最大面積是5X20=100(平方米).故答案為：io。平

方米；

【設(shè)計意圖】此題運用了勾股定理，注意陽光透過的最大面積，即是矩形的面

積.

第3題：

【作業(yè)分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫稳?，B

C口的面積和即為最大正方形的面積.

23

【解答過程】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為Si,C、D

的面積和為S2,S1+S2=S31于是S=S1+S，即S3=A+B+C+D=

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.能夠發(fā)現(xiàn)正方形A,B,C,D的邊

長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠

證明正方形A,B,C,D的面積和即是最大正方形的面積.

第4題：

【作業(yè)分析】(1)根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形，可得結(jié)論；

(2)設(shè)繩索有x尺長，此時繩索長，向前推出的10尺，和秋千

的上端為端點，垂直地面的線可構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定

理可求解.

【解答過程】解：⑴四邊形ECDB是矩形，理由是：???OCLCD,BD±CD,

BE10C,AZECD=ZCDB=ZBEC=90°,四邊形ECDB是

矩形；

(2)設(shè)0A的長為x尺，；EC=BD=5尺，AC=1尺

，EA=EC-AC=5-1=4尺在Rt/XOEB中，0E=(x-4)尺，

0B=x尺，EB=10尺，由勾股定理得：1。2+(x-5+1)2=x