2015年全國各地中考數(shù)學壓軸題集錦及答案解析

2015年全國各地中考數(shù)學壓軸題集錦答案

1.（北京模擬）已知拋物線y=—x?+lx+m-Z與y軸交于點Z（0,2/M-7）,與直線y=2r

交于點8、C（8在C的右側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點為E,在拋物線的對稱軸上是否存在一點尸，使得NBFE=NCFE,若

存在，求出點尸的坐標，若不存在，說明理由；

（3）動點P、Q同時從原點出發(fā)，分別以每秒小個單位長度、每秒2小個單位長度的速

度沿射線OC運動，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于

坐標軸），設(shè)運動時間為/秒.若與拋物線歹=—x'+lc+a-2有公共點，求才的取值

范圍.

解：（1）把點/（0,2機一7）KA^=-X2+2X+W-2,得機=5

/.拋物線的解析式為y=-X2+2X+3

y——x2+2x+3"產(chǎn)木（X=--\[3

2-

（2）由f解得<rr

[y=2xlh=2木質(zhì)=一2小

：.B（小，2小），C（-小，-273）

y=—x+2x+3=—（x—1）+4

二拋物線的對稱軸為x=l

設(shè)尸（1,y）

VZBFE=ZCFE,：?tan/BFE=tan/CFE

當占廠在占8上方時，于一{-=小+{_

仕八CJWy-2小y+2y/3

解得y=6,...尸（1,6）

當點F在點B下方忖，黑=坐號

解得y=6（舍去）

?,?滿足條件的點尸的坐標是尸（1,6）

（3）由題意，OP=?OQ=2?：.PQ=^5t

:尸、。在直線直線y=2x上

，設(shè)尸（x,2x）,則0（2x,4x）（x<0）

yjx2-\-4x2=4/,.\x=—t

?9?P(―/,—2r),Q(—2/,—41)

：.M(-2/,-2z)

當-2/)在拋物線上時，有-2/=-4/-4/+3

解得右藝一,（舍去負值）

當尸（T,-2t）在拋物線上時，有一2f=—/-2/+3

解得/=?。ㄉ崛ヘ撝担?/p>

的取值范圍是：亞甘W/W小

2.（北京模擬）在平面直角坐標系中，拋物線弘=?/+3x+c經(jīng)過原點及點/（1,2）,與

x軸相交于另一點艮

（1）求拋物線功的解析式及B點坐標；

（2）若將拋物線巾以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一條新的拋物線為，已知拋物線”

與x軸交于兩點，其中右邊的交點為C點.動點P從。點出發(fā)，沿線段0C向C點運動，

過尸點作x軸的垂線，交直線。力于。點，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF.

①當點E落在拋物線力上時，求0P的長；

②若點尸的運動速度為每秒1個單位長度，同時線段0C上另一點0從C點出發(fā)向。點運

動，速度為每秒2個單位長度，當。點到達。點時P、。兩點停止運動.過。點作x軸的

垂線，與直線NC交于G點，以QG為邊在0G的左側(cè)作正方形0GIW.當這兩個正方形

分別有一條邊恰好落在同一條直線上時，求f的值.（正方形在x軸上的邊除外）

解：（1）I?拋物線%=冰2+3*+。經(jīng)過原點及點力（1,2）

c=2p=—1

解得\c=0

〃+3+c=2

**?拋物線y\的解析式為巾=-X2+3X

令y=0,得-J+3x=0,解得勺=0,必=3

：.B(3,0)

(2)①由題意，可得C(6,0)

過4作47_Lx軸于〃，設(shè)。尸=a

np4H

可得△ODPSA(MH,???7^=7S77=2

5Uri

：.DP=2OP=2a

???正方形PDEF,：.E(3a,2a)

'：E(3a,2a)在拋物線弘=一萬2+3》上

77

?\2a=-9a+9^,解得。］=0(舍去)，。2=至

7

???。夕的長為5

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

2=k+b212

解得人=一彳，b=w

0=6左+b

??.直線AC的解析式為y=~^2x+y12

4

山題意，OP=t,PF=2l,0C=21,GQ=M

當小與MV重合時，貝IJ。/+CN=6

430

/.3/4-2/+y/=6,.\t=而

當斯與G0重合時，WJOF+QC=6

，31+2z=6,.,.r=y

當。夕與MV重合時，則OP+CN=6

f+2什wf=6,；?f=鉆

□1y

當DP與G0重合時，則OP+CQ=6

?**/+2/=6,/?/=2

3.(北京模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o/+6x+4經(jīng)過/(-3,0)、B

(4,0)兩點，且與y軸交于點C,點。在x軸的負半軸上，且8D=BC.動點尸從點］

出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時動點。從點C出發(fā)，沿線

段CA以某一速度向點Z移動.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若經(jīng)過，秒的移動，線段尸。被CD垂直平分，求此時,的值；

(3)該拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MA的值最小？若存在，求出點M的

坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)..?拋物線夕=亦2+云+4經(jīng)過/(一3,0)、B(4,0)兩點

9。―36+4=0解得。=_(,b=~j

16a+46+4=0

11

:.所求拋物線的解析式為y^-yx72+jx+4

(2)連接。0,依題意知/P=z

171

二?拋物線卜=一不廣+tx+4與y軸交于點C

：.C(0,4)

又A(-3,0,B(4,0)

可得4c=5,BC=4j,AB=7

?；BD=BC,：.AD=AB-BD=7-4y[2

???C0垂直平分尸。，：.QD=DP,ZCDQ=ZCDP

?；BD=BC,：.ZDCB=ZCDB

：./CDQ=NDCB,：.DQ//BC

AAADDO

??△//)0s△43C,??4R

AD￡>C

.ADDP.7-4也_DP

?布=麗,?7=礪

3217

解得DP=4、「-亍,:"P=AD+DP=7

???線段。。被8垂直平分時，，的值為17號

(3)設(shè)拋物線y=-￡x2+/x+4的對稱軸■與x軸交于點E

由于點4、8關(guān)于對稱軸x=J對稱，連接8。交對稱軸于點〃

則MQ+M4=M0+MB,BPMQ+MA=BQ

當8Q_L/C時，8。最小，此時

3

tanZEBM=tanZACO=~^

?ME3即__=總，解得加

=,

,,■^ET

：.M(y,y)

1?!

在拋物線的對稱軸上存在一點M(方，蕓)，使得〃。+核/的值最小

4.(北京模擬)如圖，在RtZXZBC中，/C=90。，/C=6,BC=8.動點尸從點/出發(fā)，

沿AJCB-BA邊運動，點P在NC、CB、BA邊上運動的速度分別為每秒3、4、5個單位.直

線I從與AC重合的位置開始，以每秒:個單位的速度沿CB方向移動，移動過程中保持

/〃ZC,且分別與C8、AB邊交于點、E、E點P與直線/同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為，秒，

當點P第一次回到點A時，點P和直線/同時停止運動.

(1)當，=秒時，點P與點E重合；當/=秒時，點尸與點尸重合；

(2)當點P在/C邊上運動時，將△PEE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點P的對應(yīng)點P'落在

EF.h,點尸的對應(yīng)點為尸，當EFU/8時，求f的值；

(3)作點P關(guān)于直線EF的對稱點0,在運動過程中，若形成的四邊形PEQF為菱形，求

f的值；

(4)在整個運動過程中，'設(shè)/XPEF的面積為S,直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及S的最

大值.

提示：在RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=6,8c=8

I一2---7..AC3DC4AC3

??AB—yj6+8=10,?.sirt5==三,cosB=.44=§，tan5=

當點P與點E重合時，點尸在C8邊上，CP=CE

-：AC=6,點P在/C、CB邊上運動的速度分別為每秒3、4個單位

.,.點尸在NC邊上運動的時間為2秒，CP=4(f—2)

44

VC￡=y/,.*.4(/-2)=y6解得/=3

當點P與點尸重合時，點尸在胡邊上，BP=BF

：/C=6,8c=8,點P在ZC、CB、比1邊上運動的速度分別為每秒3、4、5個單位

.?.點P在4C、C8邊上運動的時間共為4秒，BF=BP=5(J—4)

44

,:CE『t，

BE

在Rt/XBEF中，=cosB

Dr

o匕

8—3，4

?、5(_4)，解得f=4.5

(2)山題意，ZPEF=AMEN

,:EF〃AC,ZC=90°,；.NBEF=90。,ZCPE=ZPEF

■:EN1AB,：.ZB=ZMEN

：.ZCPE=ZB,：.tanZCPE=tanB

..CEAC3

?tanNCPE="QP*9tanB-8c=

CE34

：.CP=jCE

4

9：AP=3t(0<r<2),CE=jt,：.CP=6-3t

4454

.*.6-3/=yxyr,解得，=行

(3)連接尸。交EF于O

,:P、。關(guān)于直線轉(zhuǎn)對稱，???￡/垂直平分P。

若四邊形尸EQF為菱形，則OE=O尸

①當點P在/C邊上運動時

C

易知四邊形尸OEC為矩形，...OE=PC

：.PC=^EF

4434

,:CE=M，:.BE="M，EF=BE-tanB=-^（8-y/）=6—t

164/尸B

.*.6-3/=y（6-r）,解得/

②當點尸在C8邊上運動時，P、E、。三點共線，不存在四邊形尸￡0尸

③當點尸在歷I邊上運動時，則點P在點8、尸之間

4BE5,4.5

-：BE=S-yt,?■?^='^-=7（8-y/）=10-jr

520

\9BP=5(t-4),：.PF=BF-BP=10-jt-5U-4>)=30-y/

?：/POF=NBEF=9G°,：.PO//BE,：?NOPF=/B

OF

在Rt/XPO尸中，#rr=sin^

萬（6一0330

評萬，解得，：

.?.當或/=岑時，四邊形PE。尸為菱形

<22

—亍/+4/(0W/W2)

42

■yz-12/+24(2<r<3)

4

(4)S=0-y/7+12/-24(3V/W4)

o

/-28Z+72(4</W4.5)

Q

、-/+28/-72(4.5</W6)

S的最大值為竽

5.（北京模擬）在等腰梯形/BCD中，AB//CD,AB=\0,CD=6,4D=BC=4.點P仄

點8出發(fā)，沿線段BA向點A勻速運動，速度為每秒2個單位，過點P作直線BC的垂線

PE,垂足為E.設(shè)點P的運動時間為/（秒）.

（1）4=°；

（2）將△P8E沿直線PE翻折，得到△P8'E,記與梯形/8CO重疊部分的面積為S,

求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

（3）在整個運動過程中，是否存在以點D、尸、8'為頂點的三角形為直角三角形或等腰三

角形？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

DCDC

B'

備用圖

解：⑴60°

(2)VZA=ZB=60°,PB=PB'

:.APB'B是等邊三角形

:.PB=PB'=BB'=2t,BE=B'E=t,PE=?

當0<tW2時

S=SAPB,E='B'E?PE='f?2t

當2<fW4時

S—S^PB'E~S^FB'C-t⑵―4)2——^^7?+4小f—4小

當4</W5時

設(shè)「8'、PE分別交DC于點G、H,作GKLPH于K

?.?△P8'8是等邊三角形，AZB'PB=60°=ZA

：.PG//AD,5LDG//AP

??.四邊形/PG。是平行四邊形

，PG=NO=4

"：AB//CD,ZGHP=ZBPH

'：NGPH=NBPH=；/B，PB=30。

：.4GHp=NGPH=30。,:.PG=GH=4

：.GK=yPG=2,PK=KH=PG?cos30。=2事

：.PH=2PK=4y[3,

/.S—S^PGH—JPH-GK—yx4-\/3x2=4小

綜上得，S與/之間的函數(shù)關(guān)系式為：

S=<一坐J+4小/-44(2</^4)

、4小(4W5)

(3)①若NDP8'=90。

VZB'PB=6Q°,：.ZDPA=30°

又N/=60°,二//。尸=90°

：.AP=2AD,...10—2/=8,：.t=l

若NPDB'=90。

APB

作。于A/,DNLB'B于N

則NM=2,DM=2小,NC=3,DN=3小

PA/=|10-2-2/1=18-2/

NB'=13+4—2/=7-2/|

DP2=DM2+PM2=(2-V3)2+(8-2/)2=(8-2/)2+12

DB'2=DN2+NB'=(3小了+(7-2/)2=(7-2/)2+27

777

■:DPXDB'=BP

Z.(8-2/)+12+(7-2r)+27=(2/)

解得4=巴恒＞5（舍去），打=15一回

2

若NDB'P=9。。,則DB'2+B'p2=DP2

A(7-2r)2+27+(2/)2=(8-2/)2+12

解得“=一1(舍去)，/2=0(舍去)

存在以點。、P、8,為頂點的三角形為直角三角形，此時，=1或/=用恒

②若DP=B'P,則(8—2f/+12=(21)

B'

19

解得/=皆C

若B'D=B'P,則(7-2/)2+27=⑵)

解得看號19

若DP=DB',則(8—2/)+12=(7—2/廠+27

解得7=0(舍去)

1919

???存在以點。、P、"為頂點的三角形為等腰三角形，此時或/=三

O/

6.（北京模擬）已知二次函數(shù)尸一坐一+3,內(nèi)一2的圖象與x軸交于點/（2小，0）、點8,

與夕軸交于點C.

（1）求點B坐標；

（2）點尸從點C出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段CO向O點運動，到達點O后停止運

動，過點尸作尸?！?c交。/于點0,將四邊形P04C沿尸。翻折，得到四邊形PQ/'C',

設(shè)點P的運動時間為/.

①當/為何值時，點4恰好落在二次函數(shù)y=—^?x2+3〃7x—2圖象的對稱軸上；

②設(shè)四邊形PQ4C’落在第一象限內(nèi)的圖形面積為S,求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并求出S

的最大值.

解：（1）將工（2小,0）y——~^mx2+3mx—2

得0=—乎（2,）2+3，〃X2小一2,解得，〃=坐

-:/+仍工—2

令y=0,得一小尢-2=0,解得：X]=V3,必=2小

：.B(小，0)

(2)①由y=—：J+小x—2,令x=0,得y=-2

：.C(0,—2)

二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1■小

過Z'作/于〃

在Rt^ZOC中，：0C=2,04=25

ZOAC=30°,ZOCA=60°

：.ZPQA=\50°,ZA/QH=60°,AQ=A'Q=2QH

???點，在二次函數(shù)圖象的對稱軸上

*3

SK解得?！壁?/p>

。。+20〃=2小

：.AQ=y[3,CP=\

②分兩種情況:

i）當0</Wl時，四邊形PQHC'落在第?象限內(nèi)的圖形為等腰三角形QI'D

DQ=A'Q=yf3t

A'H—AQ-sin60°=V3/?乎=yz

cc1133s2

S=SMDQ=/73t.5t=4t

???當0V/W1時，S隨/的增大而增大

.?.當f=l時，S有最大值羋

ii）當1<，<2時,四邊形PQ/'C'落在第一象限內(nèi)的圖形為四邊形E。。'

=[2小—冬2—柳—冬2T才一和

--^^-t2+4y/3f-2yf3

???一等+”2小一平（L“+竽

且1<]<2,...當"時，S有最大值^^

?.?邛〉乎，；.S的最大值是竽

7.（北京模擬）已知梯形N88中，AD//BC,N/=120°,E是

BC

Z8的中點，過E點作射線E/〃8C,交CD于點G,AB、ND的長恰好是方程J-4x+J+

2〃+5=0的兩個相等實數(shù)根，動點P、Q分別從點4、E出發(fā)，點P以每秒1個單位長度的

速度沿48由4向8運動，點。以每秒2個單位長度的速度沿環(huán)由E向/運動，設(shè)點產(chǎn)、

。運動的時間為，（秒）.

（1）求線段48、/￡>的長;

（2）當f>l時，求△OP0的面積S與時間/之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情況，如果存在，求出時間/；如果不存在，請說明

理由.

解：（1）由題意，△二年―4（。+2。+5）=-4（。+1）=0

—1

原方程可化為》2-4+4=0,解得.,.X|=X2=2

：.AB^AD=^2

（2）作/41.8c于“，交EG于O,DKLEF于■K,PAM,D4交D4的延長線于初

,JAD//BC,N4=120°,AB=4D=2

：.ZB=60°,AH=yf3

是中點，SLEF//BC,：.AO=DK=^-

"：AP=t,:.PM=S

?>>1,...點尸在點E下方

延長尸￡■交尸M于S,設(shè)DP與EF交于點、N

則PS=S邛

'JAD//BC,EF//BC,：.EF//AD

?ENPE.ENLl

??布=西'?F=~T

2（/-l）2（-1）

:,EN=---：.QN=2t-

⑵--謠冶嗎

即5=坐-坐什坐（/>1）

又。02=QK2+KQ2=（坐）2+（2/-：-2）2=4/-10f+7

PQ2=PS?+SQ2=（坐/一坐）2+（2什號）2=7/-4/+1

①若NPD°=90。，則

222

：.t+2t+4+4t-Wt+7=7t-4/+1

解得/=#—1（舍去負值）

②若NDPQ=9Q。,則

222

???Z+2什4+77-4什1=4/-10/4-7

解得/=乎—1（舍去負值）

③若NQQP=90。，則。02+?！?=。。2

222

???々-10什7+7,一4什1=，+27+4

解得,=矢但

綜上所述，存在△。尸。是直角三角形的情況，此時f=黃—1,f=坐—1,，=芍逅

8.（天津模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直y=-x+4錯誤！未找到引用源。交x軸于

點4交y軸于點8.在線段04上有一動點P,以每秒錯誤！未找到引用源。個單位長度

的速度由點O向點力勻速運動，以O(shè)P為邊作正方形OPQM交y軸于點連接QA和QB,

并從QA和08的中點C和。向AB作垂線，垂足分別為點F和點E.設(shè)尸點運動的時間為

t秒，四邊形CDEF的面積為與，正方形OP0M與四邊形CDEF重疊部分的面積為S2.

（1）直接寫出A點和B點坐標及t的取值范圍；

（2）當/=1時，求&的值；

（3）試求S2與/的函數(shù)關(guān)系式

（4）直接寫出在整個運動過程中，點C和點。所走過的路程之和.

解：（DZ（4錯誤！未找到引用源。，0）、B（0,4錯誤！未找到引用源。），0W/W4

（2）過。作于"

y

VC.。分別是3和08的中點

.'.CD//AB,錯誤！未找到引用源。x錯誤！未

'JCFYAB,DELAB,J.CF//DEH

四邊形CDEF是平行四邊形

又^CFYAB,：.四邊形CDEF是矩形MQ

'：CFLAB,QHLAB,J.CF//QHVi

1OPA\X

又是0”中點，

連接OQ

?.,正方形0尸。河，；./1=/2,OP=PQ=QM=MO

'：OA=OB,：.PA=MB

Rt^QPA^Rt^QMB,：.QA^QB,NPQA=NMQB

U

：QH1.AB9AZ3=Z4

???N1+NM03+N3=18O。，???O、0、”三點共線

：.QH=OH-OQ

???，=1,點尸的運動速度為每秒錯誤！未找到引用源。個單位長度

錯誤！未找到引用源。，：.O2=2

又???04=4錯誤！未找到引用源。，.?.0，=4

：.QH=OH-OQ=4-2=2,：.CF=\

.,.Si=CZ)-C/=4xl=4

(3)當點。落在上時，OQLAB,△0。4是等腰直角三角形

.?"=2錯誤！未找到引用源。+錯誤！未找到引用源。=2

當0W/W2時，$2=0

當點E落在上，點尸落在尸0上時，

△CFK和ADEG都是等腰直角三角形

過C作C7_LP0于T

則CT=3"=}(4錯誤！未找到引用源。-錯誤!

??.3=錯誤！未找到引用源。CT=4T

連接。。，分別交彳2、CD于N、R

貝|叩=坐。4=坐*4錯誤！未找到引用源。二

；0P=錯誤!未找到引用源。t,：.OQ=2t,：.

:.CF=』QN=t-2

??4—t—t—2,/.t=3

當2</W3時，重疊部分為等腰梯形G///K

△QGK和△0〃/都是等腰直角三角形

,：QN=2t-4,RN=CF=t-2,：.QR=t-2

:.GK=2QR=2t-4,〃/=20N=4f-8

2

：.S2=-^(GK+HI')-/W=y(2/-4+4r-8)(r-2)=3(Z-2)

當3</W4時，重登部分為六邊形GHEF/K

易知RtZ\C7K絲RtZ\O〃G,.?.GH=K/=2CT=錯誤！未找到引用源。(4一力

**?S?=S矩形CDEF—2s△C/K=CD?CF-KI?CT

=4(/-2)-錯誤!未找到引用源。(I)?坐

(4-/)=

綜上得S2關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：

ro(ow/<2)

3。-2)2(2C/W3)

【一J+⑵-24(3C/W4)

X

(4)8

提示：點C和點D走過的路程分別為以O(shè)P為邊的正方形的對角線的一半

9.(上海模擬)如圖，正方形/8CO中，Z8=5,點E是8c延長線上一點，CE=BC,連

接8D動點朋1從2出發(fā)，以每秒地個單位長度的速度沿8。向。運動；動點N從E出發(fā),

以每秒2個單位長度的速度沿E8向8運動，兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點后另一點

也停止運動.設(shè)運動時間為，秒，過/作8。的垂線A/P交8E于尸.

(1)當/W=2時，求運動時間f；

(2)是否存在這樣的/,使△朋PN為等腰三角形？若存在，求出/的值；若不存在，請說

明理由；

(3)設(shè)與△88重疊部分的面積為S,直接寫出S與f的函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)的定義

域.

解：(1)；正方形Z8C。，.?.ND8C=45°

.?.△8MP是等腰直角三角形

?：BM=@t,:.BP=^BM=2t

又PN=2,NE=2t

當0<7<2.5時，BP+PN+NE=BE

：.2t+2+2t=\0,：.t=2

當2.5<t<5時，BP-PN+NE=BE

.\2z-2+2/=10,：.t=3

(2)過M作MH_L3C于〃

馳ANQCs/\NMH,：.嗡=果

2

.QC_t.57-2/

??5—2/_1OT-27'??》c_10-3/

2

_,5/—2/

令A或=力則n了=年需

整理得2J-(3y+5)f+10y=0

為實數(shù)，［—(3y+5)『一4x2xl0y>0

5

即9歹?一50丁+2520,解得y25(舍去)或yWg

線段2c長度的最大值為春

(3)當0</<2.5時

*/4MPN=NQ8C+/8g=45。+90。=135°

???NMPN為鈍角，:,MN>MP,MN>PN

若PM=PN,則5/=10—4/

解得7=，(4一娘)

BNCPE

當2.5</<5時

■:/MNP>/MBP=NMPB,：.MP>MN

若MN=PN,則ZPMN=ZMPN=45°

:.NMNP=9Q°,即

：.BN=NP,BP=2BN

???2，=2(10—2，)，解得，=￥

若PM=PN

■:PN=BP-BN=BP—(BE—NE)=BP+NE-BE

/.^2/—2/4-2/—10,解得，=5(4+W)

???當￡=/（4一近），/=￥，，=5（4+啦）時，為等腰三角形

32

8f—50/+75/

(0<r<2.5)

20-6/

(4)S=

5z-y(2.5</<5)

10.（重慶模擬）如圖，已知△4BC是等邊三角形，點。是/C的中點，OB=\2,動點P

在線段上從點/向點8以每秒立個單位的速度運動，設(shè)運動時間為/秒.以點P為頂

點，作等邊△尸MV,點M,N在直線OB上，取OB的中點。，以O(shè)D為邊在△408內(nèi)部作

如圖所示的矩形ODER點E在線段48匕

（1）求當?shù)冗叀魇琹W的頂點M運動到與點O重合時/的值；

（2）求等邊△PMV的邊長（用含/的代數(shù)式表示）；

（3）設(shè)等邊△尸腦V和矩形ODE尸重疊部分的面積為S,請直接寫出S與/的函數(shù)關(guān)系式及

自變量/的取值范圍；

（4）點P在運動過程中，是否存在點M,使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的

/的值；若不存在，請說明理由.

解：（1）當點M與點O重合時，

'：/\ABC.△尸MV是等邊三角形，。為ZC中點

乙40P=30。，乙4尸。=90。

'：OB=[2,：.AO=4yf3=2AP=2yf3t\7

解得，=2—oLDW

C

...當/=2時，點M與點。重合

(2)由題設(shè)知NN8M=30。，N8=85，AP=/t

.?.尸8=8小-小/,PM=P8-tan30°=8一/

即等邊△P/MV的邊長為8-/

,2小/+6小(0W/W1)

—2小/+附什4小(1C/W2)

(3)S=<一孚J+iM(2VfW4)

2小『-2Mf+5M(4?W5)

<0(5<f<8)

提示：

①當0W/W1時，PM經(jīng)過線段/尸

設(shè)尸/交/產(chǎn)于點/PN交EF于氤G,則重疊部分為直角梯形/CWG

,:AP=?：.AJ=2^t,JO=4小-24

MO=4—2f,CW=8-f-(4-2f)=4+f

作GHLON于H

貝ijGH=FO=2事,HN=2,尸G=O”=4+f—2=2+f

???S=StWFONG=g(尸G+ON)。尸。

=y(2+/+4+/)-2-\/3=2-\/3/+6^/3

②當1</W2時，PM經(jīng)過線段尸O

設(shè)PM交EF于點/,則重疊部分為五邊形IJONG

FJ=AJ—AF=2品一2季,FI=2t-2

.'?S-Sse?FONG_S^p/j—2yf3t+~(2y/31—2-^3)(2/—2)

=-2小/+64+4立

③當2</W4Ebj,PN經(jīng)過線段ED

設(shè)PN交ED于點K,則重疊部分為五邊形IMDKG

'：AP=y[3t,:.PE=4事一事f

：.IG=GE=4-t,EK=4小—小f

，KD=2小一(4小-小力=木/-2小，DN=t-2

?'?S=S低形IMNG-S4KDN

=y(4-/+8-r)-2-\/3-y(V3/-2^/3)(z-2)

=-坐J+

④當4</<5時，PM經(jīng)過線段ED

設(shè)PM交ED于點、R,則重疊部分為△HMD

,:AP=?:.EP=4-4小

：.ER=2EP=2小L8小

，RD=2小-（2吸/-8?。?10\/5-24

MD=10—2f

；?S=Szx&M￡)=彳(10-2/)(10\[3—2y[3t)

=2于/-2()7^+5即

⑤當5V/W8時，5=0

(4)*：MN=BN=PN=8—t,：.MB=]6-2t

①若月則/為中點

???OM=3

9：OM+MB=OB,???3+16—2/=12

.*./=3.5

②若FM=FE=6,則OM=96?-(2小9=29

?：OM+MB=OB,.>.2^6+16-2/=12

t=2+y[i>

③若EF=EA/=6,點M在。。或上

則DM=76-2事)2=2y[6

：.DB+DM=MB或者DB—DM=MB

.?.6+2而=16-2/或6-2加=16-2/

，/=5-,或t=5+y[6

綜上所述，當f=3.5、2+乖、5—乖、5+加時,

11.(浙江某校自主招生)如圖，正方形O/8C的頂點。在坐標原點，且CM邊和48邊所

在直線的解析式分別為尸3力和尸Jx4+年25.

(1)求正方形O48C的邊長；

(2)現(xiàn)有動點P、。分別從C、A同時出發(fā)，點P沿線段CB向終點8運動，速度為每秒1

個單位，點0沿折線4-O-C向終點C運動，速度為每秒4個單位，設(shè)運動時間為2秒.當

人為何值時，將ACP。沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形？

(3)若正方形以每秒1?個單位的速度沿射線40下滑,直至頂點B落在x軸上時停止下滑.設(shè)

正方形在x軸下方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時間，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量

，的取值范圍.

解：⑴聯(lián)立廠25

x=4

解得

y=3

：.A(4,3),：.OA=yj42+32=5

正方形0/8C的邊長為5

(2)要使△CP0沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的

四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需△CP。為等腰三角形即可

當f=2秒時

???點P的速度為每秒1個單位，，?！付?

分兩種情況：

①當點。在。力上時，.?.只存在一點°,使QC=QP

作QNLCP于N,則CN=yCP=OQ=1

4

QA=5—\=4,?,?左=s=2

②當點。在OC上時，同理只存在一點。，使CP=C0=2

.,.OQ+OZ=10-2=8,/.A：=y=4

綜上所述，當，=2秒時:以所得的等腰三角形CP。沿底邊翻折,

翻折后得到菱形的k值為2或4

(3)①當點/運動到點O時，，=3

當0<fW3時，設(shè)O'C'交x軸于點。

則tanNOOO』本3即D淺O'=伊DO='亳3，"。三力5

3Z

.\S=^DO'?±?y/=琶J

4s

②當點C運動到x軸上時，，=(5X])+§=4

當3V/W4時，設(shè)交x軸于點E

,

\'AO=^t—59；?A'E=—"彳15

???S=/(HE+O'Q)?5=^^

zzqqo

45

③當點5運動到x軸上時，，=(5+5義])+]=7

當4<fW7時，設(shè)8'C交x軸于點廠

5/-155Z-1535-5/

?：A'E=彳，:B'E=5-

?44

???8戶=《名1=35；5/

?。_42135-5/35-5/_252175625

..S―5-?4

2324’+12’24

綜上所述，S關(guān)于滑行時間，的函數(shù)關(guān)系式為:

<25?

五「（0V/W3）

50/-751,、

——（3V/W4）

s=<O

252.175625”―、

牙+7T—N（4<，W7）

12.(浙江某校自主招生)如圖，正方形Z8CO的邊長為8cm,動點P從點/出發(fā)沿邊

以1cm/秒的速度向點8勻速移動(點P不與點工、8重合)，動點。從點8出發(fā)沿折線BC

-CD以2cm/秒的速度勻速移動.點、P、。同時出發(fā)，當點P停止時，點。也隨之停止.連

接工。交8。于點E.設(shè)點P運動時間為，(秒).

(1)當點。在線段8c上運動時，點尸出發(fā)多少時間后，NBEP=NBEQ?

(2)設(shè)的面積為S(cn?),求s關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

(3)當4<f<8時，求△4PE的面積為S的變化范圍.

解（1）4尸=xcm,BQ=2xcm

?：4BEP=4BEQ,BE=BE,/PBE=NQBE=45。

:.△PBE"AQBE,：.PB=BQ

o

即8—x=2x,

8

???點P出發(fā)了秒后，NBEP=NBEQ

(2)①當0VxW4時，點。在5c上，作ENJL48于N,EM工BC于M

,AEAD__8__￡

,:AD〃BC,??面=畫=不=7

AE_4,AE_4

E0=7,??詬=x+4

.NE_AE.心匹—8x

?,麗=瓦，??NE=aq=。+4

2

/.S=\AP-NE—4-%?-4x

22x+4x+4

即S=E(0VZ4)

②當4VxV8時，點0在8上，QFLABF,交BD于H

AE_AD_8_4

~EQ=7{Q=16-2X=8-x

pn^g_4.NE_4_4

1EQ~8-x*??力Q—8-x+4-12-x

NFAF

作ENU8于N,則適=而

.AE-FQ32

??'E-F012-x

；?S=4Ap-NE=?—2.16x

2212—x12-x

即S=fL(4<x<8)

12—x

(3)當4Vx<8時，由S=7^=，得x=-^\

12—xlo+o

12s

V4<x<8,：.4<,<8

16+3c

V5>0,.,.16+S>0,/.4(16+5)<125<8(16+5)

解得8Vs<32

13.（浙江模擬）如圖，菱形/BCD的邊長為6且/。/3=60。，以點4為原點、邊所

在直線為x軸且頂點D在第一象限建立平面直角坐標系.動點尸從點。出發(fā)沿折線D-C-

8向終點8以每秒2個單位的速度運動，同時動點。從點力出發(fā)沿x軸負半軸以每秒1個

單位的速度運動，當點尸到達終點時停止運動.設(shè)運動時間為3直線尸0交邊/。于點E.

（1）求出經(jīng)過4D、C三點的拋物線解析式；

（2）是否存在時刻，，使得PQLBD?若存在，求出/值，若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)NE長為y,試求y與7之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）若尸、G為。C邊上兩點，且點。尸=bG=l,試在對角線。8上找一點“、拋物線對

稱軸上找一點N,使得四邊形FMNG周長最小并求出周長最小值.

解：（1）由題意得：D（3,3?。?、C（9,3?。?/p>

設(shè)經(jīng)過力、。、C三點的拋物線解析式為了=冰2+旅

把。、C兩點坐標代入上式，得：

9a+3b=3小V34y[3

解得：〃=9,bl=3

.81a+9b=3小

???拋物線的解析式為：尸_唱入唱

(2)連接ZC

?.?四邊形Z8CZ)是菱形，.?./C_L8。

若PQLBD,則尸0〃ZC

當點P在。C上時

,JPC//AQ,PQ//AC,.?.四邊形PQ4C是平行四邊形

：.PC=AQ,即6-2/=/,

.1=2

當點P在C8上時，P0與NC相交，此時不存在符合要求的才值

(3)①當點尸在DC上，即00W3時

'：DP//AQ,:.叢DEPs叢AEQ

.DEDPIt?.

??y~AQ~t~2,"y-3Al

②當點尸在C8上，即3</W6時

,:AE〃BP,:.叢QEAs叢QPB

AEA

-_0PH-V_<

"BP~QB'K|12-2r—6+t

12-2/

-y^~6+r

綜上所述，j，與，之間的函數(shù)關(guān)系式為:

(2(00W3)

12-2/

尸1(3<K6)

6+t

(4)作點廠關(guān)于直線2。的對稱點尸，由菱形對稱性知尸'在。/上，且。F'=￡>F=1

作點G關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點G',易求。G'=4y

連接F'G'交。8于點