2020-2021學(xué)年玉溪市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含解析)

2020-2021學(xué)年玉溪市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)集合4={久比>3},B={x\^<0},則（CR4）CB=（）

A.（—8,2]B.[3,5]C.[2,3]D.[3,5）

05

2.設(shè)@=log410,b=log23,c=2,,則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

3.設(shè)。是已知的平面向量且aAO,于向量。的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量4總存在向量

C,使a=力+c；②給定向量b和c,總存在實(shí)數(shù)；I和〃，使a=勸+〃c；③給定單位向量b和正

數(shù)〃，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)九使a=4b+〃c；④給定正數(shù)4和〃，總存在單位向量b和單位向

量c,使a=4b+〃c；上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)

是（）

A.1B.2C.3D.4

J工工一

4.設(shè)l>0,y>0,z>0,a=x—,b=y+—,c=z+—,則a,b,c三數(shù)

朋N簟

A.至少有一個(gè)不大于2B,都小于2

C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于2

5.已知函數(shù)/（%）=/+a%的圖象在％=3處的切線與直線》+[開

C-A

2y=0垂直.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的k的值為15,

則判斷框中t的值可以為（）

A13

A?五

/輸呼/

P11

B15由

八15』="用）1

*16

D.-

17

6.若對(duì)于實(shí)數(shù)％,y,有|1一%|41,|y+l|<2,則|2x+3y+l|的最大值為（）

A.9B.8C.4D.3

7.若直線Z：-y—百=0與圓C：/+y2一4久+3=0相交于4B兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

△04B的面積是（）

A.坦B.空C.遺D,咨

4323

8.某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙必須排在

最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）

A.36種B.42種C.48種D.54種

9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為a,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三

視圖，此幾何體的表面積為12+4（或+有），則實(shí)數(shù)a=（）

A.1］區(qū)p二

B.2

C.V2

D.3

10.設(shè)偶函數(shù)/(%)=Asin(a)x+R)Q4>0,a)>0,0<cp<TT)的部分

圖象如圖所示，AKLM為等腰直角三角形，NKML=90°,KL

則/（手的值為（)

ABV2+V6

?8?8。：

D,3

4

11.設(shè)原命題為:“若空間兩個(gè)向量五與3①力6）共線，則存在實(shí)數(shù)九使得方=4引’，則其逆命題、

否命題、逆否命題為真的個(gè)數(shù)（）

A.1B.2C.3D.4

12.焦點(diǎn)在直線X=1上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.y2=2xB.x2=4yC.y2=—4yD.y2=4x

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若角a的終邊落在直線丫=-x上，則1丁+生*的值等于__________.

Vl-sin2acosal

14.某單位年初有兩輛車參加某種事故保險(xiǎn)，對(duì)在當(dāng)年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛車，單位均可獲賠（假

設(shè)每輛車最多只獲一次賠償），設(shè)這輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為高和p且各車是否

發(fā)生事故相互獨(dú)立，現(xiàn)已知一年內(nèi)發(fā)生此種保險(xiǎn)終獲賠的概率為,，貝IJP=（結(jié)果用最簡

分?jǐn)?shù)表示）.

15.設(shè)正數(shù)數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為目,且存在正數(shù)t,使得對(duì)所有的正整數(shù)n，都有質(zhì)=等，則％=

16.若存在a￡[1,2],使得關(guān)于％的方程/-a=^^有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知橢圓京+裔=l（a>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,2為上端t

點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）.十、

（1）若4&14尸2，求橢圓的離心率；—\oFy~

（2）若P（—4,3）且耐?配=0,求橢圓方程；

（3）若存在一點(diǎn)P使乙&PF2為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍.

18.在某單位的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購進(jìn)面包，然后以5元/個(gè)的價(jià)格出

售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，得到

食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購進(jìn)了90個(gè)面包，以久（單位：個(gè)，

60WyW110）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤.

（I）求7關(guān)于久的函數(shù)解析式；

（n）求食堂每天面包需求量的中位數(shù)；

（皿）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于100元的概率.

19.如圖，在梯形ABCD中，已知AD〃BC,AD=1,BD=學(xué),^CAD=ptan/ADC=-3,求:

(l)CZ)的長;

(2)ABC。的面積.

20.在正方體中，G是C/1的中點(diǎn)，”是&&的中點(diǎn)

(1)求異面直線與BC]所成角的余弦值;

(2)求證：BC]〃平面BiDG.

22____________

21.給定橢圓C：琶=l(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)。、半徑是舊不笆的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”

已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(或,0),其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離為

(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

(2)過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線小%,使得%，%與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，求團(tuán)

%的方程；

(3)若點(diǎn)2是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD1久軸，求宿.

同的取值范圍.

22.已知函數(shù)/'(%)=ax2+§(aeR).

Q)判斷/'(x)奇偶性;

(2)當(dāng)f(x)在(l,+8)遞增，求a的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：因?yàn)榧?={x\x>3),

所以CR4={x\x<3},

又B={x\三<0}={x\x<2或%>5],

故(CRA)CB=(-?,2],

故選：A.

先利用分式不等式的解法求出集合B,然后由補(bǔ)集和交集的定義求解即可.

本題考查了集合補(bǔ)集與交集的求解，分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：解：a=log410=log2V10>b=log23>log22y/2=1,5>V2,

c=205=V2,

a>b>c.

故選：C.

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

的合理運(yùn)用.

3.答案:B

解析：對(duì)于①，由向量加法的三角形法則知正確；對(duì)于②，由平面向量基本定理知正確；對(duì)于③,

以a的終點(diǎn)作長度為4的圓，這個(gè)圓必須和向量勸有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，故③不正確；對(duì)于④，

利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即必須|4"+=4+〃2|a|,故

④不正確.

4.答案:C

解析：試題分析：根據(jù)題意，由于x>0,y>0,z>0,a=x+—,b=y+—,c=z+—,在

朋,s宴

II,"I

可知久+」逆酷，y-\■—迎嘿，z+二反塞，那么將a,be,相加可知得到a+b+c反面，則可知至少有

一個(gè)不小于2,故可知答案為C.

考點(diǎn)：不等式的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了均值不等式求解最值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。

5.答案：B

解析:解:/(X)=x2+ax,

f(x)=2x+a,則f(x)的圖象在x=渺切線的斜率為=l+a,

???切線與直線x+2y=0垂直，

-1

??.(―刁)(1+a)=-1，解得Q=1，

ill

???/(%)=x7z+x=%(x+l),而=［一行

11111

.-.5=(1

???輸出的k的值為15,

?-5=(1-+(冷)+…+《-<)=1-.=.故t的值可以為2

故選:B.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量k的值，模擬程序的運(yùn)行過

程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩直線的位置關(guān)系，數(shù)列的求和，以及程序框圖的應(yīng)用，需要學(xué)生

較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題.

6.答案：B

解析：解：由不等式|1一光|<1,|y+1|<2,

得0<x<2,-3<y<1,

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分)：

設(shè)z=2x+3y+1,

則y=_|+：z_5平移直線y=_|x+：z_/

由圖象可知當(dāng)直線y=一|%+“號(hào)，過點(diǎn)a時(shí)，

直線y=-gx+1z—：的截距最小，此時(shí)z最小，

由圖形知4(0,-3),代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y+1,得z=-8；

當(dāng)直線y=+過點(diǎn)B時(shí)，

直線y=—|久+》z—￡的截距最大，此時(shí)z最大，

由圖形知8(2,1),代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y+1,得z=6,

即一8<z<6,則0W|z|W8,則|2x+3y+l|的最大值為8.

故選：B.

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.

7.答案：A

解析：解：由圓c：%2+y2-4%+3=0,得(x—2)2+y2=1,

則圓心C(2,0),半徑r=1,圓心C到直線珀勺距離d=喘曾=爭

?1.\AB\=2Vr2—d2=2Jl-：=1,

又原點(diǎn)。到直線］的距離九=雪=宜，

<3+12

'''S^AOB=|\A^\,^=^xlxy=Y-

故選：A.

由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理

求弦長，再求出。到直線/的距離，代入三角形面積公式得答案.

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

①節(jié)目甲必須排在前兩位，則節(jié)目甲有2種排法，

②節(jié)目乙必須排在最后一位，節(jié)目乙有1種排法，

③剩下的4個(gè)節(jié)目安排到其他4個(gè)位置，有用=24種排法，

則有2xlx24=48種編排方案；

故選：C.

根據(jù)題意，分3步依次分析節(jié)目甲、乙和其他4個(gè)節(jié)目的編排方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：C

解析：

本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的表面積；關(guān)鍵是正確還原幾何體.

由題意，幾何體是放倒的四棱錐，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)得到關(guān)于a的方程解之.

解：由題意幾何體如圖四棱錐P-4BCD：

(2x2+|x2x2+1x2xV5x2+|x2x2V2)a2=12+4(V2+V5),

解得a=V2;

故選：c.

10.答案：B

解析：解：由題意可得：?—=KL=1,：.co=n,KM=—=l(-)2+A2f/=》,.?.f(x)=^sin(7rx+

zco2,\l2zz

再結(jié)合/(x)為偶函數(shù)，以及所給的圖象，可得0=],.,./(%)=|cos(兀X).

|7|||0/I、1/■兀、1/a兀、1r7TTC.TC.7T-i1「1"^2"^3^2^-1

貝11/(一)=-cos(-)=-?cos(----)=-cos-cos-+sin-sin-=--------1------=------，

Jv1272v1272、3”2L3434J2L2222J8

故選：B.

由條件利用等腰直角三角形求出4由周期求出必由函數(shù)的奇偶性求出9的值，可得/(%)的解析式，

再利用兩角差的余弦公式，求得/(2)的值.

本題主要考查由函數(shù)y=4s譏(3久+9)的部分圖象求解析式，由條件利用等腰直角三角形求出4由

周期求出3,由函數(shù)的奇偶性求出0的值，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：C

解析：解：原命題為：“若空間兩個(gè)向量1與3④K6)共線，則存在實(shí)數(shù)人使得力=入百：則原命

題正確，

則根據(jù)逆否命題的等價(jià)性質(zhì)知，逆否命題為真命題，

命題的逆命題為若空間兩個(gè)向量方與3出力6),若存在實(shí)數(shù)人使得云=2聲'，則兩個(gè)向量五與3出力

d)共線，根據(jù)共線定理得正確，則逆命題為真命題，

則命題的否命題為真命題，

故其逆命題、否命題、逆否命題都為真命題，

故選：C

根據(jù)四種命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查四種命題的真假判斷，根據(jù)逆否命題的等價(jià)性是解決本題的關(guān)鍵.

12.答案：D

解析：解：焦點(diǎn)在直線x=l上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)可設(shè)拋物線的方程為必=2px

...v1

,2

p=2

■■y2=4x

故選：D.

由焦點(diǎn)在直線x=l上，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的方程為必=2px,可求p,即可求出拋物線的標(biāo)

準(zhǔn)方程.

本題主要考查了由拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程，解題的關(guān)鍵是由拋物線的焦點(diǎn)確定拋物線的開

□方向，屬于基礎(chǔ)試題.

13.答案：0

2

解析：解：原式=since+Vl-cosctsince+|sina|

Vl-sin2acosa|cosa|cosa

,??角a的終邊落在直線y=-%上,

???角a是第二或第四象限角.

sina,sina八

當(dāng)a是第二象限角時(shí)，潦親+鬻+—=0,

-cosacosa

sina,Isinalsina,-sina

當(dāng)a是第四象限角時(shí),砌+打=加+應(yīng)

故答案為：0.

14.答案：(

解析：解：設(shè)這輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為高和p且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立,

現(xiàn)已知一年內(nèi)發(fā)生此種保險(xiǎn)終獲賠的概率為卷，

則依題意得高=1—(1一點(diǎn))(1—P),

解得p=g

故答案為：3

利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式列出方程，能求出p.

本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.答案:tn2

2

解析：解：由,嗎=中2,得,Sn=^-(t+an),

當(dāng)幾=1時(shí)，Si=W(t+ai)2,

解得，=t;

當(dāng)71>2時(shí),由。九=S九一s九T=—(t+a九)2—J(t+a九_(tái)力得，

a九—%1T=2t；

???{a"是首項(xiàng)為如公差為2t的等差數(shù)列，故時(shí)=(2九一l)t.

2

將a九=(2n-1)七代入立=2(七+。九產(chǎn)得，Sn=tn.

故答案為：加2.

2

由原遞推式化簡可得%=i(t+a?),分類討論求得的=3an-an_1=2t,從而求其通項(xiàng)公式代

入可得S”=tn2.

本題考查數(shù)列遞推式，考查了學(xué)生的化簡運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的性質(zhì)的判

斷與應(yīng)用，是中檔題.

16.答案：(-9,0)

解析：解：由/一。=年普，

得(M+a)t=(%2—a)x=\X；。居%>0,

1一%J+ax,%<0

令/

I—+ax,x<0

當(dāng)x>0時(shí)，1(x)=3%2—a,當(dāng)xe(O,J|)時(shí)，f(x)<0,當(dāng)xe(J|,+8)時(shí)，/(久)>0,

???f(x)在(0,J|)上為減函數(shù)，在+8)上為增函數(shù)；

當(dāng)％<0上，=-3x2+ax,當(dāng)xe(-_J|,0)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xe(―8,—時(shí)，f'[x}<0

???/(x)在(―8,—旨)上為減函數(shù)，在(-6,0)上為增函數(shù).

a、273。

則=/(、?)=(',尸-?(?=一』?

作出函數(shù)/(%)的圖象如圖:

由圖可知，要是關(guān)于X的方程/-a=弊乎有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

則需y=(a2+a)t與y=/(%)的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn)，

貝U—tZ2v(a2+a)t<0,

即存在ae[1,2],有t>考上

a2+a

令9(砌=學(xué)!，貝物⑷=《.嗎二220.

a、'a2+a9az+a

,**g(a)在[1,2]上為增函數(shù),則gQQmin=g(l)=

又t<0,

.??實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-?,()).

故答案為：(一手,0).

令;?(%)=尸；3”>°把關(guān)于％的方程/一a=笄”有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為y=0+

a)t與y=/Q)的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究/Q)的單調(diào)性并畫簡圖，得到一等涓<(a?+

a)t<0,即存在a6[1,2],有[〉至，再由導(dǎo)數(shù)得到q(a)=昌!的單調(diào)性，求得最小值即可求

得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了

利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬難題.

17.答案：解：⑴如圖，若1AF2,據(jù)對(duì)稱性，A&4尸2為等腰直角三角形，即4。=0F2,即b=c,

故e=-=/2c2=

ay/b2+c22

(2)設(shè)尻(―c,0),F2(C,0),

則有嗝=(―c+4,-3),配=(c+4,-3),

??1PF；-PF；=0>

???(4-c)(4+c)+9=0,即c2=25,

16.90

我+記=14,解得e=,，

(a2=b2+c20=15

即橢圓方程為E+竺=1；

4015

(3)設(shè)P(Xo，y()),JUOkol<a>即0<瞪(a?,

又上92e(0,兀).

若NaPF2為鈍角，當(dāng)且僅當(dāng)西?恒<0有解,

2

即。2>詔+%有解,BPc>(詔+y^)min.

又率+普=1，

???yo=以,

c

?.?好+/=爐+港器€［爐42),

即(據(jù)+韜)恒譏=爐.

故c2>b2,c2>a2-c2,

又0<e<1,

解析：(1)由據(jù)對(duì)稱性，AFiaa為等腰直角三角形，即4。=。尸2，從而得到匕=以結(jié)

22

合Q2=b+C

可求橢圓的離心率；

(2)由點(diǎn)的坐標(biāo)求得的，房的坐標(biāo)，代入戶耳?電=0求得c的值，再由P(-4,3)在橢圓上聯(lián)立方程

組求得。2,爐的值，則橢圓方程可求；

(3)由乙F1PF2為鈍角，得到兩?同＜0有解，轉(zhuǎn)化為c2＞瞪+據(jù)有解，求出以+指的最小值后求

得橢圓離心率的取值范圍.

本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量數(shù)量積在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想

方法，解答此題的關(guān)鍵在于把存在一點(diǎn)P使NaPF2為鈍角轉(zhuǎn)化為西?朋＜0有解，是壓軸題.

18.答案：解：(I)由題意，當(dāng)60WXW90時(shí)，利

潤T=5x+1X(90-%)-3X90=4%-180,

當(dāng)90<%<110時(shí)，禾J潤IT=5x90-3x90=

180,

T關(guān)于%的函數(shù)解析式T

4%-180,(60<x<90)

.180,(90<%<110)-“(40

(n)設(shè)食堂每天面包需求量的中位數(shù)為3

1

則10X0.025+10X0.015+(t-80)X0.020=

解得t=85,

故食堂每天面包需求量的中位數(shù)為85個(gè).…(8分)

(/〃)由題意，設(shè)利潤T不少于100元為事件4

由(I)知，利潤T不少于100元時(shí)，

即4%—1802100,???x>70,BP70<x<110,

由直方圖可知，當(dāng)7owx〈iio時(shí)，利潤r不少于loo元的概率:

PQ4)=1-PQ4)=1-0,025X(70-60)=0.75....(12分)

解析：(I)當(dāng)60<%<90時(shí)，利潤T=5x+1X(90-%)-3X90,當(dāng)90<x<110時(shí)，利潤T=5X

90-3X90,由此能求出T關(guān)于x的函數(shù)解析式.

(H)設(shè)食堂每天面包需求量的中位數(shù)為3利用頻率分布直方圖能求出食堂每天面包需求量的中位數(shù).

(/〃)由題意，設(shè)利潤r不少于100元為事件4當(dāng)利潤T不少于100元時(shí)，求出70<%<110,由直方

圖能求出當(dāng)70<%<110時(shí)，利潤7不少于100元的概率.

本題考查函數(shù)解析式、中位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖、中位數(shù)、概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

19.答案：解：(1)???tan^ADC=-3,

??.sin〃DC=需coszXDC=-^

???sinZ.ACD=sin(zCi4D+Z.ADC)=sinZ.CADcosZ.ADC+cosZ-CADsinZ.ADC=~x(—呼)+￥乂

3V10V5

105

A]-)r-r)___1_CD

???在立久中，由正弦定理得罰而=而而，可得：序=穹

...解得CD二竺

2

(2)-AD//BC,

??.AADC+2BCD=180°,

smZ-BCD=smZ-ADC=coszBCD=—cosZ-ADC=—,

1010

???ABCD中，由余弦定理得BZ)2=CD2+BC2-2BC-CDcos乙BCD,即BC?-BC-2=0,解得BC=2

或BC=-1(#).

SHBCD=-BC-CDsin乙BCD=-x2x—x—=~.

222102

解析：⑴由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin4WC=^,cos4WC=-粵.利用兩角和

的正弦函數(shù)公式可求sinNACD的值，在△2CD中，由正弦定理可求CD的值.

(2)由題意乙4DC+NBC。=180。，禾U用誘導(dǎo)公式可求sin/BCD=sin乙4DC=耳黑，cosNBCD=

-cosNADC=叵，在△BCD中，由余弦定理解得BC的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解.

10

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三

角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

20.答案：解：(1)連結(jié)2%,HD1,

■:AB//C1D1,AB=C1D1

??.四邊形ZBQDi為平行四邊形,

???AD1//BC19

AD14H為異面直線4"與BQ所所成的角,

設(shè)正方體棱長為1,

在△4。"中，AD1=>/2,AH=DiH喂,

D1H2+AH2-D1H2V10

???cosZ-DrAH=

2D1HAH5

.??異面直線a”與BQ所成角的余弦值為半

(2)證明：連結(jié)BA交瓦。于點(diǎn)0,

連結(jié)。G,易知。為BDi的中點(diǎn),

在△864中，0G為中位線，0G//BCr

又0Gu平面B/G且SR，平面B/G,

BG〃平面B/G.

解析：本題考查直線與平面平行的判定定理以及異面直線所成角的求法，考查計(jì)算能力.

⑴連結(jié)2%HD「說明功通”為異面直線4H與BG所所成的角，在△4。/中，求解COSN%4H的

值即可.

(2)證明：連結(jié)BO1交于點(diǎn)0,連結(jié)。G,證明。G//8G，然后證明BC"/平面/DG

22

21.答案：解：(1)由題意可得：a