湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校”考試聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷(含答案)

年春“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高二期中聯(lián)考數(shù)學試題考試時間：2024年4月22日考試用時：120分鐘試卷滿分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知點，若直線與直線垂直，則實數(shù)（）A． B．2 C．3 D．42．現(xiàn)有來自荊州、荊門、襄陽、宜昌四市的4名學生，從四市的七所重點中學中，各自選擇一所學校參觀學習，則不同的安排參觀學習方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．若直線與曲線相切，則實數(shù)（）A． B． C． D．4．已知向量，其中在同一平面的是（）A． В．C． D．5．已知數(shù)列的前項和（為常數(shù)），則“為遞增的等差數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．如圖，是一個由棱長為的正四面體沿中截面所截得的幾何體，則異面直線與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知點是曲線上不同的兩點，且滿足，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知對存在的，不等式恒成立，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．函數(shù)在原點處的切線方程是 B．是函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上有3個極值點 D．函數(shù)在上有3個零點10．雙曲線的左，右頂點分別為，右焦點到漸近線的距離為為雙曲線在第一象限上的點，則下列結(jié)論正確的有（）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的離心率為C．設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則為定值D．若直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，且，則11．如圖，已知二面角的平面角為，棱上有不同的兩點．若，則下列結(jié)論正確的是（）A．點到平面的距離是2 B．直線與直線的夾角為C．四面體的體積為 D．過四點的球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線恒過定點，則點到直線的距離為_________．13．若，則正整數(shù)的值為_________．14．如圖，已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于第一象限的兩點，若，則直線的斜率_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)，且在點處的切線與直線垂直．（1）求的值；（2）當時，求的導函數(shù)的最小值．16．（15分）已知數(shù)列中，，且．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設為數(shù)列的前項和，求使成立的正整數(shù)的最大值．17．（15分）在中，，點分別為邊的中點，將沿折起，使得平面平面．（1）求證：；（2）在平面內(nèi)是否存在點，使得平面平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．18．（17分）帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：．（注：，為的導數(shù)）已知在處的階帕德近似為．（1）求實數(shù)的值；（2）證明：當時，；（3）設為實數(shù)，討論方程的解的個數(shù)．19．（17分）已知橢圓的離心率為，直線截橢圓所得的弦長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與軸交于點為粗圓上的兩個動點、且均位于第一象限（不在直線上），直線分別交橢圓于兩點，直線分別交直線于兩點①設，試用表示的坐標；②求證：為線段的中點．2024年春“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟高二期中聯(lián)考數(shù)學試題參考答案及評分細則題號1234567891011答案BADBADBCADACDBCD1．B【分析】由兩直線垂直可得，求出即可得出答案．【詳解】直線的斜率為：，因為直線與直線垂直，所以，解得：．故選：B．2．A【分析】每人都有7種選法，結(jié)合分步計數(shù)原理即可求解．【詳解】由題可知，每名同學都有7種選法，故不同的選擇方式有種，經(jīng)檢驗只有A選項符合．故選：A3．D【分析】利用導數(shù)的幾何意義計算即可．【詳解】設切點為，則由題意可知，所以．即.故選：D4．B【分析】利用共面向量基本定理逐項判斷可得出正確的選項．【詳解】對于A選項，設，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設，所以，，無解；對于D選項，設，所以，，矛盾．故選：B．5．A【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的前項和，類比表達式，有．當為遞增等差數(shù)列時，有；反之，當時，此時可得；，此時數(shù)列從第二項開始才為遞增等差數(shù)列．故選：A6．D【分析】根據(jù)異面直線的定義，利用平移得到角，即可利用三角形邊角關系求解．【詳解】取的中點，連接．由題意知幾何體為正三棱臺．由于，所以四邊形為平行四邊形，，則或其補角（為鈍角時）的余弦值即為所求．由側(cè)面均為底角為等腰梯形，故，且，因此，故，在中，，則異面直線與的夾角的余弦值為．故選：D．7．B【分析】將曲線方程變形可知曲線為半圓弧，將等式關系變形為斜率關系，進而轉(zhuǎn)化為過點的直線與圓弧有兩不同交點，結(jié)合圖形可求直線斜率的范圍．【詳解】由得，所以曲線為以為圓心，2為半徑的上半圓?。蔀椴煌瑑牲c，且可轉(zhuǎn)化為，則過點的直線與半圓弧有兩個不同的交點．如圖，直線的斜率為．當過點的直線與圓相切于點時，設直線方程為，即：，由圓心到直線的距離，解得（舍），或，即直線的斜率為．如圖可知，要使直線與半圓弧有兩個不同的交點，則直線斜率的取值范圍為，即．故選：B．8．C【解析】（利用同構+切線不等式+保值性）（1）由基本切線不等式可得：，故．即．由（1）式得，當且僅當，故答案為C．9．【答案】AD解：，又，所以在原點處的切線方程是，A正確；因為在和上都遞增，在上遞減，因此是極小值點，B錯誤；，在上遞增，在和上遞減，因此與的圖象有3個交點，即有3個零點，D正確；設，令，則設，則恒成立，即是增函數(shù)，而，時，時，，所以在上遞減，在上遞增，，易知，所以存在兩個零點，由的單調(diào)性知這兩個零點就是的兩個極值點，C錯．故選：AD．10．【答案】ACD解：由于焦點到漸近線的距離等于，知漸近線方程為，A正確；由，得，所以B錯誤；，設為定值，C正確；因為，所以是的中點，所以D正確．11．【答案】BCD解：在平面內(nèi)過作與平行且相等的線段，連接，在平面內(nèi)過作與平行且相等的線段，連接，補成一個正三棱柱是邊長為2的正三角形，所以到平面的距離為，所以A錯誤；因為，直線與直線的夾角即直線與直線的夾角，又是正方形，所以夾角為，B正確；，所以C正確；正三棱柱的兩個底面中心連線的中點為球心，半徑，，所以D正確．12．【答案】解：由直線化為，令，解得，于是此直線恒過點．由點到直線的距離公式得到直線的距離．13．【答案】5【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)：，可得，則，所以或，解得或（舍）．故答案為：514．【答案】解析：由題意得，，當直線的斜率為0時，直線與拋物線只有1個交點，不合要求，故設直線的方程為，聯(lián)立，可得，易得，即，設，則，則，由正弦定理得，因為，所以，即，又由焦半徑公式可知，則，即，即，解得，滿足，于是，解得，所以．15．解：（1）因為，所以因為直線的斜率為，所以，解得（2）令．，在上單調(diào)遞增．的最小值是．16．解：（1）由已知得，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列．所以．當時，．累加得，當時滿足上式，．（2）由（1）知．，，作差得，．由得，即．所求正整數(shù)的最大值為5．17．（1）證明：中，且．又平面平面，平面平面平面．又平面．（2）由（1）知，．以點為原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系．則．設為平面的一個法向量，則，取，則．假設在平面內(nèi)存在點，使得平面平面．連接．若，則設．設平面的一個法向量為．由，取，則．平面的法向量．由知，此情況不成立．若與不共線，設，連接．設，則．當，即時，．又平面，即平面平面，也即平面平面．所以在平面內(nèi)存在點，當點在直線（點在直線上且）上時，平面平面．（用幾何法同等給分）18．【詳解】（1）由，有，可知，由題意，，所以，所以．（2）由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，時，；得證．（3）的定義域是，．①當時，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上存在1個零點；②當時，令，由，得．又因為，所以．+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當時，因為，所以在上存在1個零點，且；當時，因為，，而在單調(diào)遞增，且，而，故，所以在上存在1個零點；當時，因為，，而在單調(diào)遞增，且，而，所以，所以在上存在1個零點．從而在上存在3個零點．綜上所述，當時，方程有1個解；當時，方程