山西省太原市教育園區(qū)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省太原市教育園區(qū)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn。則滿足不等式|Sn－n－6|<的最小整數(shù)n是

（

）

A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：解析：由遞推式得：3(an+1－1)=－(an－1)，則{an－1}是以8為首項，公比為－的等比數(shù)列，

∴Sn－n=(a1－1)+(a2－1)+…+(an－1)==6－6×(－)n，∴|Sn－n－6|=6×()n<，得：3n－1>250，∴滿足條件的最小整數(shù)n=7，故選C。2.對于任意，函數(shù)的值恒大于零，則的取值范圍是

A．

B．

C．或

D．參考答案：C3.函數(shù)的定義域是

(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D略4.下列不等式正確的是（）A．若a＞b，則a?c＞b?c B．若a?c2＞b?c2，則a＞bC．若a＞b，則＜ D．若a＞b，則a?c2＞b?c2參考答案：B【考點】不等式比較大?。痉治觥緼．當(dāng)c≤0時，ac≤bc；B．利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出；C．取a=2，b=﹣1，不成立；D．c=0時不成立．【解答】解：A．當(dāng)c≤0時，ac≤bc，因此不正確；B．∵a?c2＞b?c2，∴a＞b，正確；C．取a=2，b=﹣1，則不成立；D．c=0時不成立．綜上可得：只有B正確．故選；B．5.設(shè)有一個直線回歸方程為,則變量x增加一個單位時(

)

A.y平均增加1.5個單位

B.

y平均增加2個單位

C.y平均減少1.5個單位

D.

y平均減少2個單位參考答案：C略6.設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為，則三棱錐D-ABC體積的最大值為A. B. C. D.參考答案：B分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的重心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得。詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的重心，E為AC中點，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的重心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結(jié)果，屬于較難題型。7.函數(shù)y=x2（0≤x≤3）的最大值、最小值分別是（）A．9和﹣1 B．9和1 C．9和0 D．1和0參考答案：C【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【解答】解：函數(shù)y=x2在[0，3]遞增，f（x）的最大值是9最小值是0，故選：C．8.一個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，則它的第七項等于（

）

A.22

B.21 C.19

D.18參考答案：解析：設(shè)該數(shù)列有項

且首項為，末項為，公差為

則依題意有

可得

代入(3)有

從而有

又所求項恰為該數(shù)列的中間項，

故選D9.函數(shù)在上滿足，則的取值范圍是（

） A．

B．

C． D．參考答案：D略10.定義行列式運算，將函數(shù)的圖象向左平移t（t＞0）個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則t的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)已知中行列式運算，我們易寫出函數(shù)的解析式，利用輔助角公式，可將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象向左平移t（t＞0）個單位后圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，易得平移后，初相角的終邊落在y軸上，寫出滿足條件的t的取值，即可得到答案．【解答】解：∵，∴=cos2x﹣sin2x=2sin（2x+）將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向左平移t（t＞0）個單位后可以得到函數(shù)f（x）=2sin（2x++2t）的圖象則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則+2t=+kπ，k∈N*當(dāng)k=1時，t取最小值為故選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則

．參考答案：略12.（5分）設(shè)g（x）=x﹣1，已知f（x）=，若關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個互不相等的實根x1，x2，x3，則x12+x22+x32的取值范圍是

．參考答案：（，1）考點： 根的存在性及根的個數(shù)判斷；分段函數(shù)的應(yīng)用．專題： 計算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 化簡f（x）=，從而作出其圖象，結(jié)合圖象可得0＜m＜，從而分別討論x1，x2，x3，再令y=x12+x22+x32=+1﹣2m，化簡并利用換元法求取值范圍即可．解答： ∵g（x）=x﹣1，f（x）=，f（x）=；即f（x）=；作出其圖象如下，若方程f（x）=m有三個根，則0＜m＜，且當(dāng)x＞0時，方程可化為﹣x2+x﹣m=0，易知，x2+x3=1，x2x3=m；當(dāng)x≤0時，方程可化為x2﹣x﹣m=0，可解得x1=；記y=x12+x22+x32=+1﹣2m=﹣m﹣+；令t=∈（1，），則y=﹣t2﹣t+，解得，y∈（，1）．故答案為：（，1）．點評： 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了換元法的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的圖象的交點的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．13.若函數(shù)y=x2+2ax+1在（﹣∞，5]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣5]考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：求函數(shù)y=x2+2ax+1的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的取值范圍．解答：解：原函數(shù)的對稱軸為x=﹣a；∵該函數(shù)在（﹣∞，5]上是減函數(shù)；∴﹣a≥5，a≤﹣5；∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣5]．故答案為：（﹣∞，﹣5]．點評：考查二次函數(shù)的對稱軸，以及二次函數(shù)的單調(diào)性．14.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是．（1）A′C⊥BD；

（2）∠BA′C=90°；（3）CA′與平面A′BD所成的角為30°；（4）四面體A′﹣BCD的體積為．參考答案：（2）（4）考點： 平面與平面之間的位置關(guān)系．專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 根據(jù)題意，依次分析命題：對于（1），可利用反證法說明真假；對于（2），△BA'D為等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根據(jù)線面垂直可知∠BA′C=90°；對于（3）由CA'與平面A'BD所成的角為∠CA'D=45°知真假；對于（4），利用等體積法求出所求體積進行判定即可，綜合可得答案．解答： 解：∵四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，則由A′D與BD不垂直，BD⊥CD，故BD與平面A′CD不垂直，則BD僅于平面A′CD與CD平行的直線垂直，故（1）不正確；由題設(shè)知：△BA'D為等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正確；由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD為等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，則CA′與平面A′BD所成的角為45°，知（3）不正確；VA′﹣BCD=VC﹣A′BD=，故（4）正確．故答案為：（2）（4）．點評： 本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及三棱錐的體積的計算，同時考查了空間想象能力，論證推理能力，解題的關(guān)鍵是須對每一個進行逐一判定．15.若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為____________參考答案：略16.設(shè)集合,,且，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：

解析：，則得17.已知集合A={2,m}，B={2m,2}.若A=B，則實數(shù)m=__________.參考答案：0由集合相等的性質(zhì)，有，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知全集，若，，求實數(shù)、的值。參考答案：解：因為，，所以，3分

由已知得，6分

解得

9分

因此，或，。10分19.函數(shù)f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范圍．參考答案：考點： 奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題： 綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，由此求得k值．（2）由f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上單調(diào)遞減，不等式化為f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，由△＜0求得t的取值范圍．解答： 解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．當(dāng)k=2時，f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∴f（﹣x）=﹣f（x）成立∴f（x）是定義域為R的奇函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，∵a＞0，∴1＞a＞0．由于y=ax單調(diào)遞減，y=a﹣x單調(diào)遞增，故f（x）在R上單調(diào)遞減．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，可化為f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．點評： 本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．20.（12分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2）．（1）設(shè)=4+，求；（2）若+與垂直，求λ的值；（3）求向量在方向上的投影．參考答案：考點： 平面向量數(shù)量積的運算；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： （1）由已知中向量=（1，2），=（2，﹣2），=4+，可得向量的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積公式可得的值，再代入數(shù)乘向量公式，可得答案．（2）若+與垂直，則（+）?=0垂直，進而可構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程可得λ的值．（3）根據(jù)向量在方向上的投影為||cosθ=，代入可得答案．解答： （1）∵向量=（1，2），=（2，﹣2）．∴=4+=（6，6），∴=2×6﹣2×6=0∴=…3分（2）+λ=（1，2）+λ（2，﹣2）=（2λ+1，2﹣2λ），由于+λ與垂直，∴2λ+1+2（2﹣2λ）=0，∴λ=．…（6分）（3）設(shè)向量與的夾角為θ，向量在方向上的投影為||cosθ．∴||cosθ===﹣=﹣．…（10分）點評： 本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算，數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，向量的投影，熟練掌握向量運算的基本運算法則是解答的關(guān)鍵．21.已知函數(shù)f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）當(dāng)m=2時，判斷f（x）在（﹣∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明．（2）若對任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范圍；（3）討論f（x）零點的個數(shù)．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)零點的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)m=2時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在（﹣∞，0）的單調(diào)性，并用定義證明．（2）利用參數(shù)分離法將不等式f（2x）＞0恒成立，進行轉(zhuǎn)化，求m的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)m=2，且x＜0時，是單調(diào)遞減的．證明：設(shè)x1＜x2＜0，則===又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故當(dāng)m=2時，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減的．（2）由f（2x）＞0得，變形為（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2而，當(dāng)即x=﹣1時，所以．（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），變?yōu)閙=﹣x|x|+x（x≠0）令作y=g（x）的圖象及直線y=m，由圖象可得：當(dāng)或時，f（x）有1個零點．當(dāng)或m=0或時，f（x）有2個零點；當(dāng)或時，f（x）有3個零點．【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問題的求解，利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的基本方法．22.已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數(shù)k的范圍；（Ⅲ）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的范圍．參考答案：【考點】函數(shù)與方程的綜合運