2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1全冊(cè)教學(xué)案

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版

選修1-1全冊(cè)教學(xué)案

目錄

1.1.1命題

1.1.2四種命題-1.1.3四種命題間的相互關(guān)系

1.2.1充分條件與必要條件

1.2.2充要條件

1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.4.1全稱(chēng)量詞-1.4.2存在量詞

1.4.3含有一個(gè)量詞的命題的否定

2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一）

2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（二）

2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.1.1變化率問(wèn)題-3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-3.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)

的運(yùn)算法則（一）

3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

3.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)

3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

章末復(fù)習(xí)提升1

章末復(fù)習(xí)提升2

章末復(fù)習(xí)提升3

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第一道常用邏輯用語(yǔ)

§1.1命題及其關(guān)系

1.1.1命題

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.了解命題的概念2會(huì)判斷命題的真假，能夠把命題化為“若p,則q”的形式.

聲知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一命題的定義

(1)用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.

(2)判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題.

(3)判斷為限的語(yǔ)句叫做假命題.

思考(1)“x>5”是命題嗎？

(2)陳述句一定是命題嗎？

答案(1)“x>5”不是命題，因?yàn)樗荒芘袛嗾婕?

(2)陳述句不一定是命題，因?yàn)椴恢婕?只有可以判斷真假的陳述句才叫做命題.

知識(shí)點(diǎn)二命題的結(jié)構(gòu)

從構(gòu)成來(lái)看，所有的命題都由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成.在數(shù)學(xué)中,命題常寫(xiě)成“若D，貝3/'

的形式.通常，我們把這種形式的命題中的。叫做命題的條件,〃叫做命題的結(jié)論.

聲題型探究重點(diǎn)突破

題型一命題的判斷

例1(1)下列語(yǔ)句為命題的是()

A.x—1=0B.2+3=8

C.你會(huì)說(shuō)英語(yǔ)嗎？D.這是一棵大樹(shù)

(2)下列語(yǔ)句為命題的有.

①一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；

②梯形是不是平面圖形呢？

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③2235是一個(gè)很大的數(shù)；

?4是集合｛2,3,4｝的元素；

⑤作△/BC&B'C.

答案(1)B⑵①④

解析(1)A中x不確定，x—1=0的真假無(wú)法判斷；B中2+3=8是命題，且是假命題；C

不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無(wú)法判斷真假.

(2)①是陳述句，且能判斷真假；②不是陳述句；③不能斷定真假；④是陳述句且能判斷真

假；⑤不是陳述句.

反思與感悟并不是所有的語(yǔ)句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題.命題首先是

“陳述句”，其他語(yǔ)句如疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題；其次是“能判斷真假”，

不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x22”、“小高的個(gè)子很高”等都不能判斷真假，故

都不是命題.因此，判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①是否為陳述句；②能否判斷

真假.

跟蹤訓(xùn)練1判斷下列語(yǔ)句是不是命題.

(1)求證小是無(wú)理數(shù)；

(2)x2+2r+l>0；

(3)你是高二學(xué)生嗎？

(4)并非所有的人都喜歡蘋(píng)果；

(5)一個(gè)正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)；

(6)若xdR,則f+4x+7>0；

(7)x+3>0.

解(1)(3)⑺不是命題,⑵(4)⑸⑹是命題.

題型二命題真假的判斷

例2判斷下列命題的真假：

(1)已知a,b,c,dCR,若“Wc,b乎d,則a+6Wc+d；

(2)若xGN,則x3>x2成立；

(3)若機(jī)>1,則方程f—2x+機(jī)=0無(wú)實(shí)數(shù)根；

(4)存在一個(gè)三角形沒(méi)有外接圓.

解(1)假命題.反例：1/4,5￥2,而1+5=4+2.

(2)假命題.反例：當(dāng)x=0時(shí)，欠3R2不成立.

⑶真命題.：”>l=/=4-4"?<0,

方程x2-2x+m=0無(wú)實(shí)數(shù)根.

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(4)假命題.因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，即任何三角形都有外接圓.

反思與感悟要判斷一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證，在判斷時(shí)，要有理

有據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷.而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例

即可.

跟蹤訓(xùn)練2下列命題：

①若孫=1,則X、夕互為倒數(shù)：

②四條邊相等的四邊形是正方形；

③平行四邊形是梯形；

④若ac2>6c2>則a>b.

其中真命題的序號(hào)是.

答案①④

解析①④是真命題，②四條邊相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形，③平行四邊形不

是梯形.

題型三命題的構(gòu)成形式

例3(1)已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心并且平分弦所對(duì)的弧，若把上述命題改為“若

P，則的形式，則p是,q是.

答案一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦所對(duì)的弧

(2)把下列命題改寫(xiě)成“若p,則夕”的形式，并判斷命題的真假.

①已知x,y為正整數(shù)，當(dāng)產(chǎn)x+1時(shí)，y=3,x=2；

②當(dāng)融c=0時(shí)，a=0且6=0且c=0.

解①已知x,y為正整數(shù)，若y=x+l,則y=3,x=2,假命題.

②若%=0,則0=0且6=0且c=0,假命題.

反思與感悟把一個(gè)命題改寫(xiě)成“若p,則的形式，首先要確定命題的條件和結(jié)論，若

條件和結(jié)論比較隱含，要補(bǔ)充完整，有時(shí)一個(gè)條件有多個(gè)結(jié)論，有時(shí)一個(gè)結(jié)論需多個(gè)條件，

還要注意有的命題改寫(xiě)形式也不惟一.

跟蹤訓(xùn)練3指出下列命題中的條件0和結(jié)論q,并判斷各命題的真假.

(1)若四邊形是平行四邊形，則它的對(duì)角線互相平分；

(2)若a>0,b>0,貝iJ“+fr>0；

(3)面積相等的三角形是全等三角形.

解(1)條件p：四邊形是平行四邊形，結(jié)論/四邊形的對(duì)角線互相平分.真命題.

(2)條件p：a>0,b>0,結(jié)論q：a+b>件真命題.

(3)條件》兩個(gè)三角形面積相等，結(jié)論q：它們是全等三角形.假命題.

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菱當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾

1.下列語(yǔ)句不是命題的個(gè)數(shù)為（）

①2<1；②x<1；③若x<2,則x<l；④函數(shù)_AX）=X2是R上的偶函數(shù).

A.OB.1

C.2D.3

答案C

解析①④可以判斷真假，是命題；②③不能判斷真假，所以不是命題.

2.下列命題為真命題的是（）

A.互余的兩個(gè)角不相等

B.相等的兩個(gè)角是同位角

C.若/=*,則冏=|切

D.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角

答案C

解析由平面幾何知識(shí)可知A、B、D三項(xiàng)都是錯(cuò)誤的.

3.下列命題是真命題的是（）

A.若/=4,則a=2B.若則m=小

C.若｝貝（1a=bD.若a<b,則/<廿

答案C

解析判斷是假命題，只需舉反例，用排除法，得到正確選項(xiàng).

由.2=4得“=±2,排除A；

<a-b——\,排除B；

-2<1,但（-2）2>巴排除D.故選C.

4.給出下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；

②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.②④

答案D

解析當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可以平行于另一個(gè)平面，故①錯(cuò)；由平面

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與平面垂直的判定定理可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交也

可以異面，故③錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平

面垂直，故④正確.

5.下列命題：

①若xy=0,則國(guó)+%=0;②若Ab,則/Me?；③矩形的對(duì)角線互相垂直.

其中假命題的個(gè)數(shù)是.

答案3

解析①當(dāng)x,y中一個(gè)為零，另一個(gè)不為零時(shí)，|x|+[y]W0；②當(dāng)c=0時(shí)不成立；③菱形的

對(duì)角線互相垂直.矩形的對(duì)角線不一定垂直.

「課堂小結(jié)------------------------------------1

1.根據(jù)命題的定義，可以判斷真假的陳述句是命題.命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真

命題需要給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可.

2.任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，可以寫(xiě)成“若p,則的形式.含有大前提的命題寫(xiě)

成“若p,則q”的形式時(shí)，大前提應(yīng)保持不變，且不寫(xiě)在條件p中.

1.1.2四種命題

1.1.3四種命題間的相互關(guān)系

[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解四種命題的概念，能寫(xiě)出某命題的逆命題、否命題和逆否命題2知道四

種命題之間的相互關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系.3.會(huì)利用逆否命題的等價(jià)性解決問(wèn)題.

育知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一四種命題的概念

(1)互逆命題：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,

那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題叫做原命題,另一個(gè)叫做原命題的逆命題.

(2)互否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定

和結(jié)論的否定，這兩個(gè)命題叫做互否命題.其中一個(gè)命題叫做原命題,另一個(gè)叫做原命題的

否命題.

(3)互為逆否命題：對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的紙迨的

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否定和條件的否定,這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.其中一個(gè)命題叫做原命題,另一個(gè)叫做

原命題的逆否命題.

知識(shí)點(diǎn)二四種命題的真假性的判斷

原命題為真，它的逆命題不一定為真;它的否命題也不一定為真.原命題為真,它的逆否命

題一定為真.

1題型探究重點(diǎn)突破

題型一四種命題的概念

例1寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.

⑴若WH<0,則方程mx2—x+n=0有實(shí)數(shù)根；

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，且平分弦所對(duì)的??；

(3)若zwWO或"W0,則，〃+〃W0；

(4)在△/8C中,若a>b,則

解(1)逆命題：若方程用x+"=0有實(shí)數(shù)根，則機(jī)”<0,假命題.

否命題：若小?〃》()，則方程mx?—x+〃=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，假命題.

逆否命題：若方程機(jī)/一》+"=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則"八"20,真命題.

(2)逆命題：若一條直線經(jīng)過(guò)圓心，且平分弦所對(duì)的瓠，則這條直線是弦的垂直平分線，真

命題.

否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的弧，真命

題.

逆否命題：若一條直線不經(jīng)過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，

真命題.

(3)逆命題：若加+nWO,則/wWO或“W0,真命題.

否命題：若機(jī)>0且〃>0,則加+”>0,真命題.

逆否命題：若加+〃>0,貝U"?>0且〃>0,假命題.

(4)逆命題：在△/BC中，若N4>NB,則真命題.

否命題：在中，若aWb,則真命題.

逆否命題：在△/8C中，若/ZW/8,則aWb,真命題.

反思與感悟(1)寫(xiě)命題的四種形式時(shí)，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)出命題的條

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件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出所求命題.

(2)在寫(xiě)命題時(shí)，為了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)靥砑右恍┰~語(yǔ)，但不能改變條件和結(jié)論.

跟蹤訓(xùn)練1判斷下列命題的真假，并寫(xiě)出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真

假.

(1)若V+y2=。則x,y全為零;

(2)若在二次函數(shù)卜=0?+川+。(°40)中，*2-4ac<0,則該函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn).

解(1)該命題為真命題.

逆命題：若X,V全為零，則f+y2=0,真命題.

否命題：若則x,y不全為零，真命題.

逆否命題：若x,y不全為零，則f+FWO,真命題.

(2)該命題為假命題.

逆命題：若二次函數(shù)y=or2+6x+c(aW0)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則/-4改<0,假命題.

否命題：若在二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aW0)中，b2—4ac^0,則該函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，

假命題.

逆否命題：若二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aW0)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，則后一4℃20,假命題.

題型二四種命題的關(guān)系

例2下列命題：

①“若個(gè)=1,則x、y互為倒數(shù)”的逆命題；

②“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題；

③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；

④“若改2>歷2,則的逆命題.

其中是真命題的是.

答案①②③

解析①“若號(hào)=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x,y互為倒數(shù)，則中=1"，是真

命題；②“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四條邊不都相等的四邊形不是正方

形"，是真命題；③“梯形不是平行四邊形"本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；

④“若>〉歷2,則a>b”的逆命題是“若a>b,則ac2>bc2,>,是假命題.所以真命題是①②③.

反思與感悟要判斷四種命題的真假：首先，要熟練掌握四種命題的相互關(guān)系，注意它們之

間的相互性；其次，利用其他知識(shí)判斷真假時(shí)，一定要對(duì)有關(guān)知識(shí)熟練掌握.

跟蹤訓(xùn)練2下列命題為真命題的是()

①“正三角形都相似”的逆命題；

②“若心0,則￥+入一皿=0有實(shí)根”的逆否命題；

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③“若X-也是有理數(shù)，則X是無(wú)理數(shù)”的逆否命題.

A.①②③B.②③

C.①②D.①③

答案B

解析①原命題的逆命題為“若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形是正三角形"，故為假命

題.②原命題的逆否命題為“若x?+2x一機(jī)=0無(wú)實(shí)根，則機(jī)W0”.?方程無(wú)實(shí)根，.?.判別式

J—4+4w<0,.,.m<—1,即成立，故為真命題.③原命題的逆否命題為“若x不是無(wú)

理數(shù)，則X—也不是有理數(shù)”.???x不是無(wú)理數(shù)，...X是有理數(shù).又也是無(wú)理數(shù)，...X一啦是無(wú)

理數(shù)，不是有理數(shù)，故為真命題.正確的命題為②③，故選B.

題型三等價(jià)命題的應(yīng)用

例3判斷命題“已知a,x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式￥+(2。+1)^+/+2?0的解集是空

集，則“<2”的逆否命題的真假.

解原命題的逆否命題為“已知a,x為實(shí)數(shù)，若則關(guān)于x的不等式f+(2a+l)x+

J+2W0的解集不是空集”.

判斷真假如下：

函數(shù)y=*+(2a+l)x+a2+2的圖象開(kāi)口向上，判別式/=(2a+l)2—4(“2+2)=4a—7,

因?yàn)閍22,所以4〃-7>0,即拋物線與x軸有交點(diǎn)，

所以關(guān)于x的不等式x2+(2a+l)x+J+2W()的解集不是空集，故原命題的逆否命題為真.

反思與感悟因?yàn)樵}與它的逆否命題的真假性相同，所以我們可以利用這一點(diǎn)，通過(guò)證

明原命題的逆否命題的真假性來(lái)肯定原命題的真假性.這種證明方法叫做逆否證法，它也是

一種間接的證明方法.

跟蹤訓(xùn)練3判斷命題“若機(jī)>0,則方程f+2x—3m=0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題的真假.

解：加〉。，

/.方程x?+2x—3加=0的判別式zf—12w+4>0.

原命題“若心0,則方程x?+2x—3機(jī)=0有實(shí)數(shù)根”為真.

又因原命題與它的逆否命題等價(jià)，所以“若團(tuán)>0,則方程f+2x-3機(jī)=0有實(shí)數(shù)根”的逆否

命題也為真.

思想方法

化歸思想的應(yīng)用

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例4判斷命題“若f-Jwo,則工一y，x+y中至少有一個(gè)不等于0”的真假.

分析原命題的真假性不容易判斷，可以找出其逆否命題，若其逆否命題的真假性容易判斷，

則根據(jù)互為逆否的兩個(gè)命題的真假性之間的關(guān)系，就可以解決原命題的真假性問(wèn)題了.

解原命題的逆否命題：若x—y,x+y都等于0,

則x2—y2=O.

由x—y=0,x+y=O,得/=（x+y）（x—y）=0.

因此，原命題的逆否命題是真命題.

所以原命題是真命題.

解后反思條件與結(jié)論都含有否定詞的命題在判斷其真假時(shí)，會(huì)有一定的困難，這時(shí)最好轉(zhuǎn)

化為判斷其逆否命題的真假，這種化歸的思想是解題的重要思想方法.

易錯(cuò)點(diǎn)

根據(jù)已知集合求參數(shù)范圍

例5已知p：M={x|x2—2%—80^0},q：N={x*—2x+1—〃/WO,陽(yáng)>0}.如果,若p,則

q”為真，且“若g,則P”為假，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

分析先求不等式的解集，再根據(jù)條件建立不等式組求解即可.

解p：M={X|X2-2X-80<0}={x|-8<x^10},

q：N={x|x2—2x+1—ZH2^0,W>0}

={x|l一mWxW1+〃？,w>0}.

因?yàn)椤叭魀,則夕”為真，且“若q,則p”為假，所以〃N,

加＞0,ni＞0,

所以＜1—/nW—8,或＜］一加V—8,

」+陽(yáng)＞10」+加210,

〃7＞0,777＞0,

即＜或＜加＞9,解得機(jī)＞9,

jn＞9”29,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{間機(jī)>9}.

解后反思由“若p,則g”為真，“若q,則p”為假，得MWN,但限M,故MN,

即u1-m與一8”和“1+機(jī)與10”不能同時(shí)取等號(hào).事實(shí)上，當(dāng)m=9時(shí)，兩個(gè)集合相等.

歹當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾

1.命題“若aM,貝iJbCB”的否命題是（）

9

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1教學(xué)案

A.若四,則陰8

B.若aG/,貝I」

C.若bWB,貝

D.若陰3,則“由4

答案B

解析命題“若p,則/'的否命題是“若^p,則,“G”與“￥互為否定形式.

2.命題“若則NU8=8”的逆否命題是（）

A.若AUB=B,則408="

B.若NCBW/,則/U8W8

C.若4UBWB,則ZAB#/

D.若/U8W8,則/ClB=Z

答案C

解析注意‘708=/"的否定是.

3.命題“若平面向量a,b共線，則a,b方向相同”的逆否命題是，它是命

題（填“真”或"假”）.

答案若平面向量a,5的方向不相同，則a,8不共線假

4,給出以下命題：

①“若a,6都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的否命題；

②“正多邊形都相似”的逆命題；

③''若">0,則f+x一機(jī)=0有實(shí)根”的逆否命題.

其中為真命題的是.

答案③

解析①否命題是“若“，6不都是偶數(shù)，則a+6不是偶數(shù)”.假命題.

②逆命題是“若兩個(gè)多邊形相似，則這兩個(gè)多邊形為正多邊形”.假命題.

③?.2=1+4"?,加>0時(shí),/>0,

.?.f+x—"7=0有實(shí)根，即原命題為真.

.?.逆否命題為真.

5.“若sina=4,則a=”的逆否命題是“"，逆否命題是命

題（填“真”或"假”）.

答案若反京則sina#；假

解析逆否命題是''若a制，

10

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1教學(xué)案

則sina#；”是假命題.

「課堂小結(jié)------------------------------------1

1.寫(xiě)四種命題時(shí)，可以按下列步驟進(jìn)行：

(1)找出命題的條件p和結(jié)論q;

(2)寫(xiě)出條件p的否定和結(jié)論q的否定

(3)按照四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出所求命題.

2.每一個(gè)命題都由條件和結(jié)論組成，要分清條件和結(jié)論.

3.判斷命題的真假可以根據(jù)互為逆否的命題真假性相同來(lái)判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ).

常用邏輯用講

充分條件與必要條件

1.2.1充分條件與必要條件

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.理解充分條件、必要條件的意義.2.會(huì)求(判定)某些簡(jiǎn)單命題的條件關(guān)系.3.通

過(guò)對(duì)充分條件、必要條件的概念的理解和運(yùn)用，培養(yǎng)分析、判斷和歸納的邏輯思維能力.

聲知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)充分條件與必要條件

一般地，“若p,則/'為真命題，是指由0通過(guò)推理可以得出g.這時(shí)，我們就說(shuō)，由夕可

推出4,記作并且說(shuō)〃是〃的充分條件,。是D的必要條件.

(l)p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，只是說(shuō)法不同火是q的

充分條件只反映了p=4,與4能否推出p沒(méi)有任何關(guān)系.

(2)注意以下等價(jià)的表述形式：①pnq；②0是g的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p

的必要條件；⑤p的必要條件是外

(3)“若p,則為假命題時(shí)，記作“p#q”，則p不是q的充分條件，夕不是p的必要條

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1教學(xué)案

件.

思考(1)數(shù)學(xué)中的判定定理給出了結(jié)論成立的什么條件？

(2)性質(zhì)定理給出了結(jié)論成立的什么條件？

答案(1)充分條件(2)必要條件

產(chǎn)題型探究重點(diǎn)突破

題型一充分條件、必要條件

例1給出下列四組命題：

(l)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；

(2)門(mén)一個(gè)四邊形是矩形，/四邊形的對(duì)角線相等；

(3)p：A^B,q：AClB=A；

(4)p：a>b,q-ac>bc.

試分別指出p是夕的什么條件.

解(1)；兩個(gè)三角形相似分兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等=兩個(gè)三角形相似，

?'?P是q的必要不充分條件.

(2)：矩形的對(duì)角線相等，...p=q,

而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，

:.p是q的充分不必要條件.

(3)；p=g,且q=p,

???p既是q的充分條件，又是q的必要條件.

(4)；p》q,且

:.p是q的既不充分也不必要條件.

反思與感悟本例分別體現(xiàn)了定義法、集合法、等價(jià)法.一般地，定義法主要用于較簡(jiǎn)單的

命題判斷，集合法一般需對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，等價(jià)法主要用于否定性命題.要判斷p是不是q

的充分條件，就要看p能否推出夕，要判斷p是不是g的必要條件，就要看夕能否推出p.

跟蹤訓(xùn)練1指出下列哪些命題中p是4的充分條件？

(1)在△/8C中，p-.q：BOAC.

(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,p：x+y#8,q：x#2或k6.

(3)在△/BC中，p：siivl>sinS,q：XanA>tanB.

(4)已知x,yGR,p-x=l,q：(x—l>(x—2)=0.

解(1)在△NBC中，由大角對(duì)大邊知，ZA>ZB=^BOAC,

所以p是4的充分條件.

(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,因?yàn)閤=2且y=6=x+y=8,

所以由x+yW8=xW2或xW6,

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1教學(xué)案

故p是4的充分條件.

(3)在△/BC中，取/4=120°,Z5=30°,

則sirL4>sinS,但tan?l<tan5,

故p#q,故p不是q的充分條件.

(4)由x=1=>(x-l)(x-2)=0,

故p是g的充分條件.

故命題⑴⑵(4)中p是q的充分條件.

題型二充分條件、必要條件與集合的關(guān)系

例2是否存在實(shí)數(shù)p,使4x+p<0是x—2>0的充分條件？如果存在，求出p的取值范

圍；否則，說(shuō)明理由.

解由x—2>0解得x>2或1,

令/={x\x>2或1},

由4x+p<0,得B—[x\x<—^],

當(dāng)8az時(shí)，即一臺(tái)一1,即p》4,

此時(shí)x<一號(hào)W—1=》2—X—2>0,

當(dāng)pN4時(shí)，4x+p<0是x?—x—2>0的充分條件.

反思與感悟(1)設(shè)集合A={x\x滿足p},B={x\x滿足q},則p=q可得4￡B;q=>p可得

BQA;若p是夕的充分不必要條件，則NB.

(2)利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍的關(guān)鍵就是找出集合間的包含關(guān)系，要注意

范圍的臨界值.

跟蹤訓(xùn)練2已知〃={x|(x—a)2vl},N={XM-5X-24<0},若"是N的充分條件，求a

的取值范圍.

解由(x—a尸<1得f—2ax+(a—l)(a+1)<0,

；?Q—l<x<a+1.

又由X2-5X~24<0得一3Vx<8.

是N的充分條件，

a-1^-3,

解得一2<aW7.

a+lW8,

故a的取值范圍是一2WaW7.

易錯(cuò)點(diǎn)

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根據(jù)必要條件（充分條件）求參數(shù)的范圍

例3已知尸={x|a—4<t<?+4},0={x[l<x<3},ux^Pn是“xG°”的必要條件，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

錯(cuò)解因?yàn)椤皒ep”是“xe?！钡谋匾獥l件，所以0UP.

a—4<1,a<5,

所以即

a+4>3,a>—1,

所以一l<a<5.

錯(cuò)解分析錯(cuò)誤的根本原因是忽視了集合中的不等式的等號(hào)，實(shí)際上本題中的不等式中的等

|Q-4W1,

號(hào)能取到即

a+423.

正解因?yàn)椤癤WP”是“xw。”的必要條件，所以0GP,

。一4W1,QW5

所以

。+423,—1

所以一lWaW5.

答案

聲當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾

1.i>-2<x<\"是ux>\或x-1”的（）

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.既不是充分條件，也不是必要條件

D.既是充分條件，也是必要條件

答案C

解析V—2<x<l^x>l或x<—1,且x>l或1分—2<x〈l,a—2<x<l"是"x>l或x<

一1”的既不充分也不必要條件.

2.ud>bn是ud>\b\n的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既是充分條件，也是必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由a>\b\=>a>b,而a>b推不出a>\b\.

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3.若“CR,則“a=l”是“同=1”的()

A.充分條件

B.必要條件

C.既不是充分條件也不是必要條件

D.無(wú)法判斷

答案A

解析當(dāng)。=1時(shí)，⑷=1成立，

但同=1時(shí)，a-±\,所以。=1不一定成立.

“。=1"是“同=1”的充分條件.

4.是“函數(shù)/(x)=|3—1用在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既充分也必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析外)=|(亦一l)x|在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增等價(jià)于外)=0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)無(wú)實(shí)根,

即。=0或卜0,也就是aWO,“aWO”是“函數(shù)兀0=|("-1閃在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞

增”的既是充分也是必要條件.故選C.

5.若'&<加”是“(x—l)(x—2)>0”的充分不必要條件，求機(jī)的取值范圍.

解由Q—1)。-2)>0可得x>2或x<1,

由已知條件，知{x|x〈/n}{x|x>2或x<l}.

.,.機(jī)Wl.

「課堂小結(jié)------------------------------------1

1.充分條件、必要條件的判斷方法：

(1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷.

(2)等價(jià)法：利用逆否命題的等價(jià)性判斷，即要證只需證它的逆否命題4=^p即

可；同理要證q=p,只需證4即可.

(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

2.根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，主要根據(jù)充分條件、必要條件與集合間的

關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行

求解.

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1.2.2充要條件

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.理解充要條件的意義2會(huì)判斷、證明充要條件3通過(guò)學(xué)習(xí)，明白對(duì)充要條件

的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.

科知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一充要條件

一般地，如果既有p=g,又有g(shù)=p就記作pCq.

此時(shí)，我們說(shuō)，p是4的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.顯然,如果p是q的充要條件，那么

q也是p的充要條件.

概括地說(shuō)，如果那么。與。互為充要條件.

思考(1)若p是q的充要條件，則命題p和g是兩個(gè)相互等價(jià)的命題.這種說(shuō)法對(duì)嗎？

(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？

答案(1)正確.若p是夕的充要條件，則即p等價(jià)于故此說(shuō)法正確.

(2)①p是q的充要條件說(shuō)明p是條件，q是結(jié)論.

@p的充要條件是q說(shuō)明q是條件，p是結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)二常見(jiàn)的四種條件與命題真假的關(guān)系

如果原命題為“若p,則,逆命題為“若夕，貝Up”，那么p與4的關(guān)系有以下四種情形:

原命題逆命題p與q的關(guān)系

p是q的充要條件

真真

q是p的充要條件

p是q的充分不必要條件

真假

q是p的必要不充分條件

p是q的必要不充分條件

假真

q是p的充分不必要條件

p是4的既不充分也不必要條件

假假

夕是夕的既不充分也不必要條件

知識(shí)點(diǎn)三從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件

若4UB,則p是4的充分條件，若48,則p是q的充分不必要條件

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若BUA,則夕是夕的必要條件，若BA,則p是夕的必要不充分條件C3

若4=B,則p,q互為充要條件

若4寸B且B，,則p既不是g的充分條件，也不是q的必要條件0CD

其中p：4=｛功?(乃成立｝,q：3=｛%"(%)成立｝.

營(yíng)題型探究重點(diǎn)突破

題型一充要條件的判斷

例1(1)設(shè)x>0,則是的()

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析分別判斷x>y=x>[y]與x>?|=x>y是否成立，從而得到答案.

當(dāng)x=l,歹=—2時(shí)，x>y9但x>Ly|不成立；

若x>[y],因?yàn)樗?/p>

所以x>y是的必要而不充分條件.

(2)判斷下列各題中，p是否為g的充要條件？

①在△48。中，p：NA>NB,q：sinJ>sinB；

②若a,b￡R,p：a2+b2=0,q：a=b=0；

@p：|x|>3,q：X2>9.

解①在△ZBC中，顯然有N4>NBQsin4>sin&

所以夕是夕的充要條件.

②若/+/=0,則a=b=0,即p=q、,

若a=6=0,則/+/=0,即g=p,故p0q,

所以p是4的充要條件.

③由于p：沖>3=夕：X2>9,所以p是q的充要條件.

反思與感悟判斷p是q的充分必要條件的兩種思路

(1)命題角度：判斷p是g的充分必要條件，主要是判斷夕=[及q=P這兩個(gè)命題是否成立.

若夕=夕成立，則〃是g的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；若夕=,成立，則,是夕的必

要條件，同時(shí)q是p的充分條件；若二者都成立，則夕與g互為充要條件.

(2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當(dāng)不容易判斷p=q及q=p的真假時(shí)，

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也可以從集合角度去判斷，結(jié)合集合中“小集合=大集合”的關(guān)系來(lái)理解，這對(duì)解決與邏輯

有關(guān)的問(wèn)題是大有益處的.

跟蹤訓(xùn)練1(1>,h中至少有一個(gè)不為零的充要條件是()

A.ab=QB.aZ>>0

C.a2+/>2=0D.a2+62>0

(2)“函數(shù)2x—。沒(méi)有零點(diǎn)”的充要條件是.

答案(1)D(2)a<-1

解析(1)。2+/>0,則a、6不同時(shí)為零；a,6中至少有一個(gè)不為零，則/+人2>0.

(2)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，即方程x2—2x—。=0無(wú)實(shí)根，所以有/=4+4”0,解得a<—1.反之，若

a<—1,則/v0,方程x2-2x~~a=0無(wú)實(shí)根，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).

故“函數(shù)2x—a沒(méi)有零點(diǎn)”的充要條件是。<一1.

題型二充要條件的證明

例2求證：方程》2+(2%—1我+爐=0的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k<-2.

證明①必要性：

若方程X?+(2左一1,+好=。有兩個(gè)大于1的根，不妨設(shè)兩個(gè)根為X”X2,則

]/=(24一1)2—4”20,

Ux—1)+(%2-1)>0,

t(%!+%2)—2>0,

[(Xi—1)(X2—1)>0,

^X\X2—(X|+工2)+1>°

回，

即j-(2A-l)-2>0,

、川+(2-1)+1>0,

解得k<一2.

②充分性：當(dāng)左<一2時(shí)，4=(2攵一1尸一4后=1-4上>0.

設(shè)方程f+(2左一l)x+〃=0的兩個(gè)根為X],X2.

—

則(X]—l)(x2-l)=xix2(^i+M)+1

=斤+2左一1+1=k(k+2)>0.

又(X1-1)+(X2_1)=(X1+X2)-2

=一(2左一1)一2=—21>0,

/?X[—1>0,X2—1>0.

工2>1?

綜上可知，方程f+(2%—l)x+〃=0有兩個(gè)大于1的根的充要條件為％v—2.

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反思與感悟一般地，證明“p成立的充要條件為夕”時(shí)，在證充分性時(shí)應(yīng)以q為“已知條

件”，p是該步中要證明的“結(jié)論"，即q=p:證明必要性時(shí)則是以p為“已知條件”，q

為該步中要證明的''結(jié)論"，即p=g.

跟蹤訓(xùn)練2求證：一次函數(shù)_Ax)=丘+以后#0)是奇函數(shù)的充要條件是6=0.

證明①充分性：如果6=0,那么/(x)=Ax,

因?yàn)?(—x)=A(—x)=—Ax,

所以火一x)=—

所以/(x)為奇函數(shù).

②必要性：因?yàn)?(x)=H+b%H0)是奇函數(shù)，

所以/(一X)=—/(x)對(duì)任意X均成立，

即k(—x)-\-b——(Ax+Z)),

所以b=0.

綜上，一次函數(shù)人》)=自+6儂戶0)是奇函數(shù)的充要條件是6=0.

守當(dāng)堂檢淵自查自糾

1.對(duì)于非零向量訪b,“a+b=0”是“a〃b”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)。+》=0時(shí)，得a=—b,所以a〃6,

但若a〃b,不一定有a+》=0.

2.已知集合/={1,a},8={1,2,3},則“a=3”是“AJB”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析a=3時(shí)，A={\,3},4UB；當(dāng)4U8時(shí)，0=2或3.

3.已知a：，=士2"：夕：“直線x—y=0與圓x2+&-。)2=2相切"，則a是夕的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

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C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析。=±2時(shí)，直線x—y=0與圓x2+(y±2)2^2相切；當(dāng)直線x-y^0與圓x2+(y-a)2

=2相切時(shí)，得$=啦，.,.a=±2；.a是夕的充要條件.

4.已知直線小x+ay+6=0和直線小(a—2)x+3y+2a=0,則l\//l2的充要條件是a=

答案T

解析由1X3—aX(a—2)=0得。=3或一1,

而。=3時(shí)，兩條直線重合，所以a=-1.

5.命題p：x>0,產(chǎn)0,命題q：x>y,:則p是q的條件.

答案充要

解析當(dāng)x>0,產(chǎn)0時(shí)，x>y且成立，

x-y>0,,

11-fx>0,

當(dāng)x>y且/工時(shí)，得〈X—y=j

xy—^<o,ko.

Ixy

所以p是4的充要條件.

「課堂小結(jié)-----------------------------------1

1.充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價(jià)命題法、集合法.

2.充要條件的證明與探求

(1)充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明.在證明時(shí)要注意兩種敘述方式的區(qū)別：

①p是4的充要條件，則由p=g證的是充分性，由4=0證的是必要性；

②p的充要條件是4,則由p=q證的是必要性，由4=》/?證的是充分性.

(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過(guò)程都

可逆，也可以直接求出充要條件.

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1教學(xué)案

笫-比常用邏輯用詞

V“§1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.了解聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義.2.會(huì)用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)

結(jié)或改寫(xiě)某些數(shù)學(xué)命題，并判斷新命題的真假.3.通過(guò)學(xué)習(xí)，明白對(duì)條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判

斷命題的真假.

聲知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一且

“P且q”就是用聯(lián)結(jié)詞"且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到的新命題，記作皿.

知識(shí)點(diǎn)二或

"0或就是用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題夕聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到的新命題，記作似4.

知識(shí)點(diǎn)三非

一般地，對(duì)一個(gè)命題〃全盤(pán)否定,就得到一個(gè)新命題，記作讀作“非?！被?0的否

定”.

知識(shí)點(diǎn)四含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷

Pqp7qp'qP

真真其*假

真假假暇

假真假真

假假假假

思考（1）邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與生活用語(yǔ)中的“或”的含義是否相同？

（2）命題的否定與否命題有什么區(qū)別？

答案（1）生活用語(yǔ)中的“或”表示不兼有，而在數(shù)學(xué)中所研究的“或”則表示可兼有但不

一定必須兼有.

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1教學(xué)案

(2)命題的否定只否定命題的結(jié)論，而否命題既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論.

菱題型探究重點(diǎn)突破

題型一p八q命題及pVq命題

例1分別寫(xiě)出下列命題構(gòu)成的“pAq”“pVq”的形式，并判斷它們的真假.

(1)/