多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)

關(guān)于多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)一些定義：若干個平面多邊形圍成的幾何體叫多面體。圍成多面體的各個多邊形叫多面體的面(Face)。兩個面的公共邊叫多面體的棱(Edge)。若干個面的公共頂點叫多面體的頂點(Vertex)。多面體的面數(shù)F4，棱數(shù)E6，頂點數(shù)V4。一個多面體至少有個面，條棱，個頂點．464回顧知識第2頁,共13頁，2024年2月25日，星期天問題一：問題二：我們知道正多邊形有無限多種，前面我們學習過，正多面體只有5種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。這是為什么呢？小明想用90根相同火柴棒拼出一個形如足球的多面體，他連續(xù)拼了N次,仍然沒有合理地拼出此多面體.你能幫助他設(shè)計出來嗎？多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)之間有什么關(guān)系呢？瑞士數(shù)學家歐拉早在1750年就研究過這個問題，并得出自己的結(jié)論，下面我們就沿著歐拉的足跡來探索這個關(guān)系。

第3頁,共13頁，2024年2月25日，星期天1、觀察下面有5個多面體，分別數(shù)出它們的頂點數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E，并填出下表；圖形編號頂點數(shù)V

面數(shù)F

棱數(shù)E(1)(2)(3)(4)(5)

(1)(2)(3)(4)(5)468126898159916觀察表中填出的各組數(shù)據(jù)中，V、F和E之間有什么規(guī)律嗎？4612VFE+_+_=2第4頁,共13頁，2024年2月25日，星期天圖形編號頂點數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E(1)(2)(3)5581212247812觀察表中數(shù)據(jù)，這些圖形的V、F和E符合前面所找出的規(guī)律嗎？出現(xiàn)這些區(qū)別的原因是什么？下面有3個多面體，分別數(shù)出它們的頂點數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E。第5頁,共13頁，2024年2月25日，星期天比較前面問題1和問題2中的圖形，如果這些多面體的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它們內(nèi)部充氣，那么其中哪些多面體能夠連續(xù)(不破裂)變形，最后其表面可變?yōu)橐粋€球面？第6頁,共13頁，2024年2月25日，星期天定義：表面經(jīng)過連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€球面的多面體叫做簡單多面體．問題1：我們所熟悉的棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體是簡單多面體嗎？問題2：五種正多面體是簡單多面體嗎？圖形頂點數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E正十二面體正二十面體201230122030問題3：五種正多面體都滿足V+F-2=E嗎？問題4：簡單多面體都滿足V+F-2=E嗎？第7頁,共13頁，2024年2月25日，星期天猜想：簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E之間存在規(guī)律：V+F–E=2

。歐拉（公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞爾（Basel）城，13歲就進巴塞爾大學讀書，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，共寫下了886本書籍和論文，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．他是科學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家。這是由歐拉在1750年發(fā)現(xiàn)的，故稱為歐拉公式。歐拉公式的背后是一門新的幾何學，這種新的幾何學只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮圖形尺寸大小，如今這門學科已經(jīng)發(fā)展成數(shù)學的一個重要的分支——拓樸學。第8頁,共13頁，2024年2月25日，星期天歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩．過度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，這時他才28歲．不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明．仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世。歐拉的一生，是為數(shù)學發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的．以歐拉名字命名的數(shù)學公式、定理等在數(shù)學書籍中隨處可見,歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學符號，例如π，i，e，sin和cos，tan，△x，Σ，f(x)等．他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學方面取得了輝煌的成就。1735年，歐拉解決了天文學中計算慧星軌道的問題，這個問題經(jīng)幾個著名數(shù)學家?guī)讉€月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了．第9頁,共13頁，2024年2月25日，星期天基礎(chǔ)知識形成性練習下列說法中正確的是（1）只有正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（2）所有凸多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（3）所有簡單多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（4）所有多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理。A（1）（2）B（1）（4）C（2）（3）D（3）（4）第10頁,共13頁，2024年2月25日，星期天小明想用90根相同火柴棒拼出一個形如足球的多面體，他連續(xù)拼了N次,仍然沒有合理地拼出此多面體.現(xiàn)在你能幫助他設(shè)計出來嗎？解：設(shè)足球中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個和y個，棱數(shù)E=90，面數(shù)F=x+y,根據(jù)歐拉公式，得：另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示由以上兩方程可解出答：這個形如足球的多面體中五邊形和六邊形的面分別有12個和20個。一個頂點有三條棱，一條棱有兩個頂點，得V=60=90第11頁,共13頁，2024年2月25日，星期天練習與測試一個凸多面體的各面都是四邊形，證明它