解三角形練習題一參考答案

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第一章解三角形練習題一參考答案

學號

一、選擇題：

1、已知△ABC的三個內角之比為A：B：C＝3：2：1，那么對應的三邊之長a：b：c等于(D)

A．3：2：1B.：2：132：1

D．23：1

a＋b＋c

2、在△ABC中，A＝60，a，那么等于(B)

sinA＋sinB＋sinC

823A.B.C.D．23

3333、在△ABC中，假設b＝2asinB，那么A等于(D)

A．30或60B．45或60C．60或120D．30或150cosAbcosBc

4、在△ABC中，假設，且＝，那么△ABC是(D)

cosBacosCb

A．直角三角形

B．等腰三角形D．正三角形

C．等腰三角形或直角三角形

cosAbπcosBcπ

解析:由＝A＝B或A＋B＝；由＝B＝C或B＋C＝∴A＝B＝C，即△ABC為正三角形．

cosBa2cosCb2→→

5、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，那么ABAC(C)

3232

A．－B．－C.D.2323

AB2＋AC2－BC29＋4－101→→→→13

解析:由余弦定理，得cosA＝＝＝∴ABAC＝|AB||AC|cosA＝322ABAC124426、在△ABC中，假設sin∠A＞sin∠B，那么∠A與∠B的大小關系為(A)

A．∠A＞∠BC．∠A≥∠B

B．∠A＜∠B

D．∠A、∠B的大小關系不能確定

asinA

解析：由正弦定理sinA＞sinB，∴a＞b，又在三角形中大邊對大角，∴∠A＞∠B.

bsinB7、在△ABC中，假設a7,b3,c8，那么其面積等于〔D〕

A．12B．

21

C．28D．632

8、已知A船在燈塔C北偏東85且A到C的距離為2km，B船在燈塔C西偏北25且B到

C的距離為

，那么A,B兩船的距離為〔D〕

A．

B．

C

D9、在△ABC中，關于*的方程(1＋*2)sinA＋2*sinB＋(1－*2)sinC＝0有兩個不等的實數(shù)根，那么A為(A)

A．銳角B．直角C．鈍角D．不存在

解析：把已知方程整理得(sinA－sinC)*2＋2sinB*＋(sinA＋sinC)＝0∴Δ＝4sin2B－4(sinA－sinC)(sinA＋sinC)0，即sin2B＋sin2C－sin2A0.

∴b2＋c2－a20，∴cosA0，可知A為銳角．

10、臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區(qū)內的時間為〔B〕A．0.5小時B．1小時C．1.5小時D．2小時

二、填空題：

11、在ABC中,

假設bcA120,那么ABC的外接圓的半徑為_________.

12、三角形一邊長為14，它對的角為60，另兩邊之比為8：5，那么此三角形面積為__40___．64*2＋25*2－142解析:設另兩邊長為8*和5*，那么cos60＝*＝2，另兩邊長為16和10，此三角形面積為

28*5*1

S＝1610sin60＝402

7

13、在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，三角形面積為12，那么cos2C＝______.

25

327113

解析:S＝BCsinC＝58sinC＝12，∴sinC＝∴cos2C＝1－2sin2C＝1－25＝25225

14、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設a＝2，b＝2，sinB＋cosB2，那么角A的大π

小為________．

6

πππ5πB＋＝2，∵0Bπ，∴B＋，∴B＝解析:sinB＋cosB＝2sin44444ba1π

又∵＝，∴sinA＝∵ab，∴AB，故A＝sinBsinA26三、解答題：

15、在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,B

〔Ⅰ〕求sinC的值；〔Ⅱ〕求ABC的面積.

【解析】此題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導公式、三角形的面積公式等基礎知識，主要考查基本運算技能．

〔Ⅰ〕∵A、B、C為△ABC的內角，且B

西

4

，cosA

4

,b5

4

,cosA

4，5

C∴

33

A,sinA，

45

∴sinCsin

3

.AAA

43，,sinC

510

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知

sinA

B又∵

∴a

4

,b在△ABC中，由正弦定理，得

bsinA.

sinB5

∴△ABC的面積S

1163absinC.221050

16、(2022全國卷Ⅰ理，17)已知△ABC的內角A，B及其對邊a，b滿意a＋b＝acotA＋bcotB，求內角C.【解析】本小題主要考查三角恒等變形、利用正弦、余弦定理處理三角形中的邊角關系，突出考查邊角互化的轉化思想的應用．結論所求為角，故將條件中的邊利用正弦定理化為角后再化簡即可．

由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，

ππππ

從而sinAcoscosAsincosBsin－sinBcos

4444ππ

A－＝sin－B，sin44又0A＋Bπ，

ππππ故A－＝－B，A＋B＝C＝.

4422

17、在ABC中，已知acB600，求b及A【解析】∵b2a2c22accosB

=222cos450=1221)=8∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a21

,⑵解法一：∵cosA

∴A600.

asin450,

解法二：∵

sinAsinB2.41.4

3.8,

21.83.6,

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A600.

評述：解法二應留意確定A的取值范圍。

2*

18、(2022重慶理，16)設函數(shù)f(*)＝cos(*＋2cos2*∈R.

32

(1)求f(*)的值域；

(2)記△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，假設f(B)＝1，b＝1，c＝3，求a的值．【解析】此題考查了三角函數(shù)的化簡求值及解斜三角形的有關知識對于(1)先把f(*)化簡為Asin(ω*＋φ)的形式，再進行求值，(2)問可先求出B的值再利用余弦定理解決．

22

(1)f(*)＝cos*cosπ－sin*sin＋cos*＋1

3313

＝－*－*＋cos*＋1

2213

＝cos*－sin*＋1225π

＝sin(*＋)＋1.

6因此f(*)的值域為[0,2]．

5π5ππ

(2)由f(B)＝1得sin(B＋)＋1＝1，即sin(B＋＝0，又因0Bπ，故B＝.

666由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.

第一章解三角形練習題一參考答案

學號

一、選擇題：

1、已知△ABC的三個內角之比為A：B：C＝3：2：1，那么對應的三邊之長a：b：c等于(D)

A．3：2：1B.：2：132：1

D．23：1

a＋b＋c

2、在△ABC中，A＝60，a，那么等于(B)

sinA＋sinB＋sinC

823A.B.C.D．23

3333、在△ABC中，假設b＝2asinB，那么A等于(D)

A．30或60B．45或60C．60或120D．30或150cosAbcosBc

4、在△ABC中，假設，且＝，那么△ABC是(D)

cosBacosCb

A．直角三角形

B．等腰三角形D．正三角形

C．等腰三角形或直角三角形

cosAbπcosBcπ

解析:由＝A＝B或A＋B＝；由＝B＝C或B＋C＝∴A＝B＝C，即△ABC為正三角形．

cosBa2cosCb2→→

5、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，那么ABAC(C)

3232

A．－B．－C.D.2323

AB2＋AC2－BC29＋4－101→→→→13

解析:由余弦定理，得cosA＝＝＝∴ABAC＝|AB||AC|cosA＝322ABAC124426、在△ABC中，假設sin∠A＞sin∠B，那么∠A與∠B的大小關系為(A)

A．∠A＞∠BC．∠A≥∠B

B．∠A＜∠B

D．∠A、∠B的大小關系不能確定

asinA

解析：由正弦定理sinA＞sinB，∴a＞b，又在三角形中大邊對大角，∴∠A＞∠B.

bsinB7、在△ABC中，假設a7,b3,c8，那么其面積等于〔D〕

A．12B．

21

C．28D．632