(典型題)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 知識點總結(jié) 平面向量

第第頁(典型題)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)知識點總結(jié)平面向量平面對量

從近幾年高考來看，平面對量有以下幾個考查特點：1.向量的加法，主要考查運算法那么、幾何意義；平面對量的數(shù)量積、坐標運算、兩向量平行與垂直的充要條件是命題的重點內(nèi)容，主要考查運算技能和敏捷運用知識的技能；試題以選擇、填空形式涌現(xiàn)，難度中等偏下.2.平面對量與三角函數(shù)、解析幾何相結(jié)合，以解答題形式呈現(xiàn)，難度中等．

1．平面對量中的五個基本概念

(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為|a|(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)．

(4)假如直線l的斜率為k，那么a＝(1，k)是直線l的一個方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．平面對量的兩個重要定理

(1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.(2)平面對量基本定理：假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．

3．平面對量的兩個充要條件

假設(shè)兩個非零向量a＝(*1，y1)，b＝(*2，y2)，那么：(1)a∥ba＝λb*1y2－*2y1＝0.(2)a⊥bab＝0*1*2＋y1y2＝0.4．平面對量的三性格質(zhì)

(1)假設(shè)a＝(*，y)，那么|a|＝aa＝*＋y.(2)假設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，那么→

|AB|2

2

a

*2－*1＋y2－y1.

(3)假設(shè)a＝(*1，y1)，b＝(*2，y2)，θ為a與b的夾角，

ab*1*2＋y1y2

那么cosθ＝2222.

|a||b|*1＋y1*2＋y2

考點一平面對量的概念及線性運算

12→

例1(1)(2022江蘇)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.假設(shè)DE＝

23

→→

λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2為實數(shù))，那么λ1＋λ2的值為________．

→→→→→→→

(2)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，那么向量CA在CB上的投影為

()

A.3B．3C3D．－31

答案(1)(2)A

2

→→→1→2→1→2→→

解析(1)如圖，DE＝DB＋BE＝AB＝AB＋AC－AB)

23231→2→121

＋AC，那么λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝63632→→→

(2)由OA＋AB＋AC＝0，→→→得AB＋AC＝AO.

又O為△ABC外接圓的圓心，OB＝OC，∴四邊形ABOC為菱形，AO⊥BC.→→

由|OA|＝|AB|＝2，知△AOC為等邊三角形．

π→→→

故CA在CB上的投影為|CA|cos∠ACB＝2cos＝

3.

6

在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作字母，其運算就類似于

代數(shù)中合并同類項的運算；有的問題采納坐標化解決更簡約．

(2)運用向量加減法解決幾何問題時，要擅長發(fā)覺或構(gòu)造三角形或平行四邊形，運用三角形法那么時要特別留意“首尾相接”．運用平行四邊形法那么時兩個向量的起點需要重合．

→→→→→→

已知△ABC和點M滿意MA＋MB＋MC＝0.假設(shè)存在實數(shù)m使得AB＋AC＝mAM成

立，那么m的值為A．2

()

B．3C．4D．5

→→→→→

(2)如圖，平面內(nèi)有三個向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120，→

OA與OC的夾角為30，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝3，假設(shè)OC＝λOA＋μOB

(λ，μ∈R)，那么λ＋μ的值為________．答案(1)B(2)6

→→→

解析(1)∵MA＋MB＋MC＝0，∴點M是△ABC的重心．→→→

∴AB＋AC＝3AM，∴m＝

3.

→→→→→→→

→→→→→→

(2)方法一如圖，OC＝OB1＋OA1，|OB1|＝2，|OA1|＝|B1C|＝4，→→→∴OC＝4OA＋2OB.∴λ＋μ＝6.

→→→→→2→→

方法二由OC＝λOA＋μOB，兩邊同乘OC，得OC＝λOAOC＋0，∴λ＝4.→→→→∴OC＝4OA＋μOB，兩邊同乘OA，→→→→得OCOA＝4＋μOAOB，1

即3＝4＋()μ.∴μ＝2.

2∴λ＋μ＝6.

方法三以O(shè)為原點，OA為*軸建立直角坐標系，

那么A(1,0)，C3cos30，3sin30)，B(cos120，sin120)．13

即A(1,0)，C(3，3)，B(－，)．

221

λ－＝3，2→→→

由OC＝λOA＋μOB得，

32＝3.

μ＝2

∴λ＝4

→

.∴λ＋μ＝6.

考點二平面對量的數(shù)量積

例2(1)(2022江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC＝2，點E為

BC的中點，點F在邊CD上，假設(shè)ABAF＝2，那么AEBF的值是

________．

(2)假設(shè)a，b，c均為單位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，那么|a＋b

－c|的最大值為A.2－1C.2

()

→→→

B．1D．2

答案(1)2(2)B解析(1)方法一坐標法．

以A為坐標原點，AB，AD所在直線為*軸，y軸建立平面直角坐標系，那么

A(0,0)，B

(

2，0)，E2，1)，F(xiàn)(*,2)．

故→AB＝(2，0)，→AF＝(*,2)，→

AE＝(2，1)，→

BF＝(*－2，2)，

∴→AB→

AF＝(2，0)(*,2)＝2*.又→AB→

AF＝2，∴*＝1.∴→

BF＝(1－2，2)．

∴→AE→

BF＝(2，1)(1－2，2)＝2－2＋22.方法二用→AB，→BC表示→AE，→

BF是關(guān)鍵．設(shè)→DF＝*AB→，那么→CF＝(*－1)→AB.

→

ABAF→＝AB→(AD→＋DF→

)

＝→AB(→AD＋*AB→)＝*AB→2

＝2*，又∵→AB→

AF2，∴2*＝2，∴*22.∴→BF＝→BC＋→CF＝→BC＋221→

AB.∴→AE→BF＝(→AB＋→BE)→BC＋2→2－1AB

＝→AB＋1→2→BC＋221→AB

＝22－1→

AB21→22

＝

22－1

1

2＋22.

(2)方法一由題意知a2

＝b2

＝c2

＝1，又ab＝0，

∵(a－c)(b－c)＝ab－ac－bc＋c2

≤0，∴ac＋bc≥c2

＝1，

∴|a＋b－c|2

＝a2

＋b2

＋c2

＋2ab－2ac－2bc＝3－2(ac＋bc)≤1，∴|a＋b－c|≤1.

方法二設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(*，y)，

那么*2

＋y2

＝1，a－c＝(1－*，－y)，b－c＝(－*,1－y)，那么(a－c)(b－c)＝(1－*)(－*)＋(－y)(1－y)＝*2

＋y2－*－y＝1－*－y≤0，即*＋y≥1.

又a＋b－c＝(1－*,1－y)，∴|a＋b－c|＝*－12

1－*＋1－y

＋y－12

＝3－2*＋y≤1.

涉及數(shù)量積和模的計算問題，通常有兩種求解思路：

①徑直利用數(shù)量積的定義；②建立坐標系，通過坐標運算求解．

(2)在利用數(shù)量積的定義計算時，要擅長將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進行計算．

求平面對量的模時，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方．

→→→→→→

(1)(2022山東)已知向量AB與AC的夾角為120，且|AB|＝3，|AC|＝2.假設(shè)AP＝λAB＋→

AC，且AP⊥BC，那么實數(shù)λ的值為________．

→→→→→→→→1

(2)(2022重慶)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.假設(shè)|OP|，那么

2→

|OA|的取值范圍是

()

→→

A.0C.

52

B.D.

75

，22

5

，227

，22

7

答案(1)(2)D

12

→→→→

解析(1)由AP⊥BC知APBC＝0，→→→→→→即APBC＝(λAB＋AC)(AC－AB)→→→2→2

＝(λ－1)ABAC－λAB＋AC

1＝(λ－1)32－－λ9＋4＝0，2

7

解得λ＝.

12→→(2)∵AB1⊥AB2，

→→→→→→∴AB1AB2＝(OB1－OA)(OB2－OA)→→→→→→→2

＝OB1OB2－OB1OA－OAOB2＋OA＝0，→→→→→→→2∴OB1OB2－OB1OA－OAOB2＝－OA.

→→→∵AP＝AB1＋AB2.

→→→→→→∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA，→→→→∴OP＝OB1＋OB2－OA.→→

∵|OB1|＝|OB2|＝1，

→2→2→→→→→→∴OP＝1＋1＋OA＋2(OB1OB2－OB1OA－OB2OA)→2→2→2

＝2＋OA＋2(－OA)＝2－OA，

→1→21→21∵|OP|OP|，∴0≤2－OA

2447→27→

∴OA≤2，即|OA|∈2.42考點三平面對量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

例3已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos*，sin*)，c＝(sin*＋2sinα，cos*

＋2cosα)，其中0α*π.(1)假設(shè)α＝

π

，求函數(shù)f(*)＝bc的最小值及相應(yīng)*的值；4

π

(2)假設(shè)a與b的夾角為，且a

⊥c，求tan2α的值．

3

應(yīng)用向量的數(shù)量積公式可得f(*)的三角函數(shù)式，然后利用換元法將三角

函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)式，由此可解得函數(shù)的最小值及對應(yīng)的*值．

(2)由夾角公式及a⊥c可得關(guān)于角α的三角函數(shù)式，通過三角恒等變換可得結(jié)果．解(1)∵b＝(cos*，sin*)，

c＝(sin*＋2sinα，cos*＋2cosα)，α

∴f(*)＝bc

＝cos*sin*＋2cos*sinα＋sin*cos*＋2sin*cosα＝2sin*cos*＋2(sin*＋cos*)．令t＝sin*＋cos*

2

π4

π*π，

4

那么2sin*cos*＝t－1，且－1t2.那么y＝t＋2t－1＝t∴t＝－

2

223

－，－1t2，22

232時，ymin＝－sin*＋cos*＝－，222

2π即2sin*＋＝－

42πππ5

∵*π*＋π，4244π711π∴*π，∴*＝4612

311π∴函數(shù)f(*)的最小值為－，相應(yīng)*的值為212π

(2)∵a與b的夾角為，

3

πab∴coscosαcos*＋sinαsin*＝cos(*－α)．

3|a||b|π

∵0α*π，∴0*－απ，∴*－α3

∵a⊥c，∴cosα(sin*＋2sinα)＋sinα(cos*＋2cosα)＝0，π∴sin(*＋α)＋2sin2α＝0，即sin2α＋＋2sin2α＝0.3533

∴sin2α＋α＝0，∴tan2α＝－.225

在平面對量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面對量的語言表述三角函

數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面對量問題，在解

決此類問題的過程中，只要依據(jù)題目的詳細要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以依據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題．

3a＝sin*，，b＝(cos*，－1)．

4

(1)當a∥b時，求cos*－sin2*的值；

(2)設(shè)函數(shù)f(*)＝2(a＋b)b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設(shè)a3，b＝2，sinB＝

6ππ

，求f(*)＋4cos(2A＋)(*∈[0，])的取值范圍．363

2

33

解(1)∵a∥b，∴cos*＋sin*＝0，∴tan*44cos*－2sin*cos*1－2tan*8

∴cos*－sin2*＝＝.222

sin*＋cos*1＋tan*5

2

2

π3(2)f(*)＝2(a＋b)b2sin2*＋＋

42由正弦定理

b2π

sinA，∴AsinAsinB24

a

ππ1∴f(*)＋4cos2A＋＝2sin2*＋－642πππ11π

∵*∈[0，]，∴2*＋∈[，．

34412∴

3π1f(*)＋4cos(2A＋)≤2262

1．當向量以幾何圖形的形式涌現(xiàn)時，要把這個幾何圖形中的一個向量用其余的向量線性表

→→→示，就要依據(jù)向量加減法的法那么進行，特別是減法法那么很簡單出錯，向量AB＝OB－OA(其中O為任意一個點)，這個法那么就是終點向量減去起點向量．

2．依據(jù)平行四邊形法那么，對于非零向量a，b，當|a＋b|＝|a－b|時，平行四邊形的兩條

對角線長度相等，此時平行四邊形是矩形，條件|a＋b|＝|a－b|等價于向量a，b相互垂直．

3．兩個向量夾角的范圍是[0，π]，在運用平面對量解決問題時要特別留意兩個向量夾角

可能是0或π的狀況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線．

4．平面對量的綜合運用主要表達在三角函數(shù)和平面解析幾何中，在三角函數(shù)問題中平面對

量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的一些關(guān)系，解題的關(guān)鍵還是三角函數(shù)問題；解析幾何中向量知識只是給出一些幾何量的位置和數(shù)量關(guān)系，在解題中要擅長依據(jù)向量知識分析解析幾何中的幾何關(guān)系.

→1．已知兩點A(1,0)，B(13)，O為坐標原點，點C在第二象限，且∠AOC＝120，設(shè)OC

→→

＝－2OA＋λOB(λ∈R)，那么λ等于A．－1答案C

解析依據(jù)∠AOC＝120，

可知點C在射線y3*(*0)上，設(shè)C(a3a)，那么有(a，－3a)＝(－2,0)＋(λ，3λ)＝(－2＋λ3λ)，即得a＝－2＋λ3a＝3λ，消去a，得λ＝1.

ππ

2．函數(shù)y＝tan(*－*4)的圖象如下圖，A

為圖象與*軸的交

42

()

B．2C．1D．－2

點，

→→→

過點A的直線l與函數(shù)的圖象交于B、C兩點，那么(OB＋OC)OA＝______.答案8

→

解析A點坐標為(2,0)，即OA＝(2,0)，

ππ

由y＝tan(*的圖象的對稱性知A是BC的中點．

42→→→

∴OB＋OC＝2OA，

→→→→→→2

∴(OB＋OC)OA＝2OAOA＝2|OA|＝8.

3．在△ABC中，向量m＝(2cosB,1)，向量n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，且滿意|m＋n|

＝|m－n|.(1)求角B的大??；

(2)求sinA＋sinC的取值范圍．

解(1)由|m＋n|＝|m－n|，可知m⊥nmn＝0.然而m＝(2cosB,1)，n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，所以有mn＝2cosB－sin2B－1＋sin2B＝2cosB－1＝0，1

得cosB＝B＝60.

2

33

(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(120－A)A＋A3sin(A＋30)．

22又0A120，那么30A＋30150，1

sin(A＋30)≤1.23

sinA＋sinC≤3，2

3

，3]．2

即sinA＋sinC的取值范圍是一、選擇題

1．以下命題中正確的選項是

()

A．假設(shè)λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0B．假設(shè)ab＝0，那么a∥b

C．假設(shè)a∥b，那么a在b上的投影為|a|D．假設(shè)a⊥b，那么ab＝(ab)答案D

2

解析依據(jù)平面對量基本定理，需要在a，b不共線的狀況下，假設(shè)λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0；選項B顯著錯誤；假設(shè)a∥b，那么a在b上的投影為|a|或－|a|，平行時分兩向量所成的角為0和180兩種；a⊥bab＝0，(ab)＝0.

2．(2022四川)設(shè)a、b都是非零向量，以下四個條件中，使成立的充分條件是

|a||b|()

A．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)＝2b答案C

解析利用向量的相等與共線知識解決．

B．a(chǎn)∥b

D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|

2

ab

aba表示與a表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有|a||b||a|

＝

b

，觀測選擇項易知C滿意題意．|b|

→→

3．(2022湖北)已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，那么向量AB在CD方向上

的投影為()A.32

2

315B.

2315D．－2

32C.－

2答案A

→→

解析AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，

→→

ABCD25＋15→→

∴AB在CD方向上的投影為＝22

→5＋5|CD|＝

32

25215

→→

4．(2022福建)在四邊形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，那么該四邊形的面積為()

A.5答案C

→→

解析∵ACBD＝0，∴AC⊥BD.

1→→1

∴四邊形ABCD的面積S＝|AC||BD|＝525＝5.

22

B．25C．5D．10

5．(2022湖南)已知a，b是單位向量，ab＝0，假設(shè)向量c滿意|c－a－b|＝1，那么|c|的

取值范圍是

()

B．2－12＋2]

A．2－12＋1]C．[1，2＋1]答案A

D．[12＋2]

解析∵ab＝0，且a，b是單位向量，∴|a|＝|b|＝1.又∵|c－a－b|＝c－2c(a＋b)＋2ab＋a＋b＝1，∴2c(a＋b)＝c＋1.

∵|a|＝|b|＝1且ab＝0，∴|a＋b|＝2，∴c＋1＝22|c|cosθ(θ是c與a＋b的夾角)．又－1≤cosθ≤1，∴0c＋1≤22|c|，∴c－2|c|＋1≤0，∴2－1≤|c|≤2＋1.

→→→

6．假設(shè)點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿意5AM＝AB＋3AC，那么△ABM與△ABC的面積比

為

D.

925

()

2

2

2

22

2

2

2

1

A.5答案C

2

B.53

C.5

解析設(shè)AB的中點為D，

→→→→→→→由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，→→即3CM＝2MD.

如下圖，故C，M，D三點共線，→3→且MD＝，

5

也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5，3

那么△ABM與△ABC的面積比為.

5二、填空題

7．(2022安徽)假設(shè)非零向量a，b滿意|a|＝3|b|＝|a＋2b|，那么a與b夾角的余弦值為________．

1

答案－

3

解析由已知條件得a＝(a＋2b)，即ab＝－|b|，

2

2

2

ab1

cos〈a，b＝－|a||b|3

8．(2022北京)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如下圖，假設(shè)

c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，那么________.

答案4

解析以向量a和b的交點為原點建直角坐標系，那么a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，依據(jù)c＝λa＋μb(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋1λ

2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故4.

2μ

→→

9．給定兩個長度為1的平面對量OA和OB，它們的夾角為90.如下圖，

→→→

點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運動．假設(shè)OC＝*OA＋yOB，其中*、y∈R，那么*＋y的最大值是________．答案

2

λμ

解析設(shè)∠AOC＝α，那么∠COB＝90－α，

*＝cosα→→→

∴OC＝cosαOA＋sinαOB，即

y＝sinα

.

π∴*＋y＝cosα＋sinα＝2sinα＋≤2.4→→

10．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，ABBC＝1，那么BC＝________.

答案

3

→→

解析∵ABBC＝1，且AB＝2，

→→→→

∴1＝|AB||BC|cos(π－B)，∴|AB||BC|cosB＝－1.在△ABC中，AC＝AB＋BC－2ABBCcosB，即9＝4＋BC－2(－1)．∴BC3.三、解答題

11．(2022江蘇)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.

(1)假設(shè)|a－b|2，求證：a⊥b；

(2)設(shè)c＝(0,1)，假設(shè)a＋b＝c，求α，β的值．

(1)證明由|a－b|＝2，即(cosα－cosβ)＋(sinα－sinβ)＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，

2

2

2

2

2

2

即ab＝0，因此a⊥b.

cosα＋cosβ＝0

(2)解由已知條件

sinα＋sinβ＝1

，

又0βαπ，

cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，那么β＝π－α，sinα＋sin(π－α)＝1，1π5π

sinα＝，α或α＝，

266π5π

當α＝時，β＝(舍去)

665ππ

當α＝時，β＝.

66

12．(2022湖北)已知向量a＝(cosω*－sinω*，sinω*)，b＝(－cosω*－