新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)考研數(shù)學(xué)模擬題-溫田丁

2010年新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)碩士研究生數(shù)學(xué)考前輔導(dǎo)班模擬試卷〔數(shù)學(xué)三〕之〔11〕參考解答及點(diǎn)評(píng)考生注意：〔1〕本試卷共23大題，總分值150分.〔2〕根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，試卷中正切函數(shù)、余切函數(shù)、反正切函數(shù)、反余切函數(shù)分別用tanx，cotx，arctanx，arccotx表示.〔3〕本試卷考試時(shí)間為180分鐘.一、選擇題〔此題共8小題，每題4分，總分值32分，在每題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)〕1．方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，那么b的取值滿足.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解：令，那么，所以當(dāng)極小值小于零時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).由，得是唯一的零點(diǎn)，且，那么極小值為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故，〔A〕入選.2．設(shè)是以，和為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，是在第一象限局部，那么.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕解：連接原點(diǎn)和，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱的區(qū)域?yàn)椋试谏?，的二重積分為零；再設(shè)的第三象限局部為，與關(guān)于軸對(duì)稱的局部為.在上，的積分為零.所以，選〔A〕.3．設(shè)那么以下級(jí)數(shù)中肯定收斂的是.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解:由可得，而級(jí)數(shù)是P=2的P-級(jí)數(shù)因此收斂，從而絕對(duì)收斂.4．微分方程的特解形式可設(shè)為.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解：因?yàn)?，，所以，的特解為?故應(yīng)選〔A〕.5．設(shè)為同階可逆矩陣，那么.〔A〕；〔B〕存在可逆矩陣，使；〔C〕存在可逆矩陣和，使；〔D〕存在可逆矩陣，使.解：因?yàn)榫仃嚨某朔](méi)有交換律，故〔A〕不正確.而兩個(gè)可逆矩陣不一定相似，因?yàn)樘卣髦悼梢圆灰粯?故〔B〕不正確.兩個(gè)可逆矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)可不同，因而不一定合同.故〔D〕不正確.由于與同階等秩，那么與等價(jià).于是，〔其中：和是初等矩陣〕.因?yàn)槌醯染仃嚳偸强赡娴?，亦即存在可逆矩陣和使得成?綜合以上：應(yīng)選取〔C〕6．設(shè)三階矩陣的特征值為，，，矩陣與相似，那么以下矩陣中可逆的是.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解：由題意知，的特征值也是，，.從而由知，是可逆矩陣，且.據(jù)此，由可知的特征值為；的特征值為；的特征值為.進(jìn)而可知，的特征值為；的特征值為；的特征值為；的特征值為.因?yàn)?，所以可逆，?yīng)選〔C〕.7．設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么.〔A〕服從正態(tài)分布；〔B〕服從分布；〔C〕和都服從分布；〔D〕服從F分布.解：由于的聯(lián)合分布是否為二維正態(tài)分布未知，不能確定服從正態(tài)分布，又因?yàn)閄與Y是否獨(dú)立未知，因而不能確定服從正態(tài)分布，也不能確定服從分布，也不能確定服從F分布.故，只能選〔C〕.進(jìn)一步分析，因，故，同理，因此選〔C〕.8．設(shè)與相互獨(dú)立，且均服從，那么以下正確的選項(xiàng)是.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解：.同理可求得：二、填空題：〔此題共6小題，每題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.〕1．設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，那么.解：由，知，于是.2．.解：設(shè)，那么，且，從而，故.3．微分方程滿足的特解為.解：對(duì)應(yīng)的齊次方程組之特征方程為，特征值為.于是，的通解為：.以下求的一個(gè)特解.于是，的通解為：.又由，知，代入上式得：，故所求特解為：.4．設(shè)，那么.解：當(dāng)時(shí)，，，那么.5．設(shè)二次型的正負(fù)慣性指數(shù)都是，那么.解：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，因?yàn)槠湔?fù)慣性指數(shù)都是，那么該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的秩為，從而，因此，得或.假設(shè)，那么，，顯然不合題意.假設(shè)，那么，，且得特征值為：，于是該二次型的正負(fù)慣性指數(shù)均為，符合題意，故.6．隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，那么和的相關(guān)系數(shù)為.解：因?yàn)椋?，所?三、解答題：〔此題共9小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解容許寫出說(shuō)證明過(guò)程或演算步驟.〕1.〔此題總分值10分〕設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，又設(shè)連接兩點(diǎn)的直線和曲線相交于點(diǎn)。求證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。證明：對(duì)函數(shù)分別在和上應(yīng)用拉格朗日中值定理：存在，使得存在，使得由題設(shè)，共線；從而因此，，對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理可得：存在，使得。2．〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，，證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證明：在處用Taylor公式，得，其中：介于和之間，而.分別令和，得，，兩式相減，得.由于的連續(xù)性，知在上有最大值和最小值，設(shè)它們分別為和，那么有，再由連續(xù)函數(shù)的介值定理，知至少存在一點(diǎn)，使.3．〔此題總分值10分〕計(jì)算，其中.解：令，那么或，如圖：，且.，..4．〔此題總分值10分〕判斷的斂散性，假設(shè)收斂，求出和.解：設(shè)，，那么.從而有，于是.由，知級(jí)數(shù)收斂，且和為.5．〔此題總分值10分〕解微分方程.解：特征方程為，那么，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：.非齊次方程的特解為：.因?yàn)槭堑膶?shí)部，所以先求，再取實(shí)部,即得.,,.故原方程的通解為：.6．〔此題總分值11分〕三階矩陣與三維向量，使得向量組線性無(wú)關(guān)，且滿足.〔1〕記求三階矩陣，使得；〔2〕計(jì)算行列式.解：由于，即，所以.因?yàn)?，所以，從而，于?7．〔此題總分值11分〕三元二次型經(jīng)正交變換化為，又知，其中，為的伴隨矩陣，求及所用正交變換矩陣.解：由知，的特征值為：，且，再由知，，即，也即，說(shuō)明是屬于特征值的特征向量.設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為：，那么，即， 解得，.由，知.再求所用正交變換矩陣.先將正交化，得，.再將單位化，得，，.那么令即為所求的正交矩陣.8．〔此題總分值11分〕隨機(jī)變量，隨機(jī)變量且與獨(dú)立，求的分布函數(shù).解：設(shè)的分布函數(shù)為，利用全概率公式和，的獨(dú)立性有：.故，.其中：.此時(shí)不是離散型，也不是連續(xù)型隨機(jī)變量，沒(méi)有概率密度.9．〔此題總分值11分〕設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù).為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記為樣本值中小于1的個(gè)數(shù).求〔I〕的矩估計(jì)；〔II〕的最大似然估計(jì).解：〔I〕由于.令，解得，所以參數(shù)的矩估計(jì)為：.〔II〕似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)，得