湖南省邵陽市教育學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省邵陽市教育學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在正三角形△ABC內(nèi)任取一點P，則點P到A，B，C的距離都大于該三角形邊長一半的概率為（）A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣參考答案：A【考點】幾何概型．【分析】先求出滿足條件的正三角形ABC的面積，再求出滿足條件正三角形ABC內(nèi)的點到三角形的頂點A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案．【解答】解：滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：設(shè)邊長為2，其中正三角形ABC的面積S三角形=×4=．滿足到正三角形ABC的頂點A、B、C的距離至少有一個小于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其加起來是一個半徑為1的半圓，則S陰影=π，則使取到的點到三個頂點A、B、C的距離都大于1的概率是：P=1﹣．故選：A．2.已知向量，則等于A、0B、－1C、D、參考答案：A3.給出下列三個命題①若,則②若正整數(shù)m和n滿足,則③設(shè)為圓上任一點，圓O2以為圓心且半徑為1.當(dāng)時,圓O1與圓O2相切其中假命題的個數(shù)為

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B4.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，P是雙曲線在第一象限上的點且滿足|PF1|=2|PF2|，直線PF2交雙曲線C于另一點N，又點M滿足=且∠MF2N=120°，則雙曲線C的離心率為（）A．B． C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°，即可求出雙曲線C的離心率．【解答】解：由題意，|PF1|=2|PF2|，由雙曲線的定義可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四邊形PF1MF2為平行四邊形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故選：B．5.設(shè)、表示兩條不同的直線，、表示兩個不同的平面，下列命題中真命題是

(

)． A．若，則 B．若 C．若 D．若參考答案：C6.某錐體三視圖如右，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，該錐體的各側(cè)面中，面積最大的是（）

A.3B.2

C.6D.8參考答案：C

【知識點】由三視圖求面積、體積．G2解析：因為三視圖復(fù)原的幾何體是四棱錐，頂點在底面的射影是底面矩形的長邊的中點，底面邊長分別為4，2，后面是等腰三角形，腰為3，所以后面的三角形的高為：=，所以后面三角形的面積為：×4×=2．兩個側(cè)面面積為：×2×3=3，前面三角形的面積為：×4×=6，四棱錐P﹣ABCD的四個側(cè)面中面積最大的是前面三角形的面積：6．故選C．【思路點撥】三視圖復(fù)原的幾何體是四棱錐，利用三視圖的數(shù)據(jù)直接求解四棱錐P﹣ABCD的四個側(cè)面中面積，得到最大值即可．7.已知點滿足則的最大值為(

)A.0

B.

C.6

D.不存在參考答案：C8.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是A．

B．

C．

D．

參考答案：C10.設(shè)是實數(shù)，若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f(x)=的定義域是R則實數(shù)k的取值范圍是

.參考答案：[0,1]12.如圖在三棱錐S﹣ABC中，SA=SB=SC，且，M、N分別是AB和SC的中點．則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為

，直線SM與面SAC所成角大小為

．參考答案：，．【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．【分析】連接MC，取MC中點為Q，連接NQ，BQ，則NQ和SM平行，∠QNB（或其補(bǔ)角）即為SM和BN所成的角，利用余弦定理可得結(jié)論；由題意，∠ASM為直線SM與面SAC所成角，即可求解．【解答】解：連接MC，取MC中點為Q，連接NQ，BQ則NQ和SM平行，∠QNB（或其補(bǔ)角）即為SM和BN所成的角．設(shè)SA=SB=SC=a，則AB=BC=CA=a因為，△ABC是正三角形，M、N、Q是中點所以：NQ=SM=a，MC=a，QB=a，NB=a∴cos∠QNB=，∴異面直線SM與BN所成角的余弦值為，由題意，∠ASM為直線SM與面SAC所成角，∵SA=SB，∠ASB=，∴∠ASM=故答案為，．13.若向量滿足，則實數(shù)x的取值范圍是____________.參考答案：(－3,1)【分析】根據(jù)題意計算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計算能力.14.已知，，，則的最小值為

▲

．參考答案：415.某籃球隊6名主力隊員在最近三場比賽中投進(jìn)的三分球個數(shù)如下表所示：隊員i123456三分球個數(shù)下圖（右）是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應(yīng)填

.參考答案：16.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足，且，則

．參考答案：18解得，即，則

17.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為cm2．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P﹣ABC．該幾何體可以看成是兩個底面均為△PCD，高分別為AD和BD的棱錐形成的組合體，進(jìn)而可得答案．【解答】解：如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P﹣ABC．該幾何體可以看成是兩個底面均為△PCD，高分別為AD和BD的棱錐形成的組合體，由幾何體的俯視圖可得：△PCD的面積S=×4×4=8cm2，由幾何體的正視圖可得：AD+BD=AB=4cm，故幾何體的體積V=×8×4=cm3，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分15分）動圓過定點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過作曲線兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點分別為、.（1）求曲線的方程；（2）求證：直線必過定點.參考答案：解：（1）設(shè)，則有，化簡得…………6分（2）設(shè)，代入得，，,故………………10分因為，所以將點坐標(biāo)中的換成，即得。則

，整理得,故不論為何值，直線必過定點.………………15分19.已知等差數(shù)列{an}的首項為1，公差為d，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且對任意的，恒成立．（1）如果數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，證明數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列；（2）如果數(shù)列為等比數(shù)列，求d的值；（3）如果，數(shù)列{cn}的首項為1，，證明數(shù)列{an}中存在無窮多項可表示為數(shù)列{cn}中的兩項之和．參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，①，②①-②得，③

即，所以為常數(shù)，所以為等差數(shù)列．

（2）由③得，即，所以是與n無關(guān)的常數(shù)，所以或為常數(shù)．

①當(dāng)時，，符合題意；

②當(dāng)為常數(shù)時，在中令，則，又，解得，…8分所以，此時，解得．綜上，或．

（3）當(dāng)時，，

由（2）得數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，即．

當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以．

設(shè)，則，即，如果，因為為3的倍數(shù)，為3的倍數(shù)，所以2也為3的倍數(shù)，矛盾．

所以，則，即．所以數(shù)列中存在無窮多項可表示為數(shù)列中的兩項之和．

20.（本小題滿分12分）箱子里裝有10個大小相同的編號為1、2、3的小球，其中1號球有2個，2號球有m個，3號球有n個，且m<n，從箱子里一次摸出兩個球，號碼是2號和3號各一個的概率是.(1)求m,n的值；

（2）從箱子里一次任意摸出兩個球，設(shè)得到小球的編號數(shù)之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考答案：(1)解：由已知有，∴，

2分

又，，∴

4分(2)解：的可能取值為2，3，4，5，6

5分

10分

的分布列為

的數(shù)學(xué)期望為：

12分略21.某公園準(zhǔn)備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為元．假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為元．（Ⅰ）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（Ⅱ）當(dāng)米時，試確定座位的個數(shù)，使得總造價最低？參考答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）當(dāng)座位個數(shù)為個（Ⅱ）當(dāng)時，令，則，22.近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的風(fēng)分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

“廚余垃圾”箱“可回收物”