2024屆江西省鷹潭市高三第一次模擬考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2江西省鷹潭市2024屆高三第一次模擬考試數學試題第Ⅰ卷選擇題一、單項選擇題1.若復數滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以由，得.故選：B.2.已知集合，集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，或，因為集合，，所以，故選：A.3.南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數量大?。硻C構統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據此圖，以下說法正確的是（）A.2015年至2022年，知識付費用戶數量先增加后減少B.2015年至2022年，知識付費用戶數量逐年增加量2022年最多C.2015年至2022年，知識付費用戶數量的逐年增加量逐年遞增D.2022年知識付費用戶數量超過2015年知識付費用戶數量的10倍〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數量逐年增加，故A錯誤；對于BC，知識付費用戶數量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，；則知識付費用戶數量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數量的逐年增加量不是逐年遞增，故BC錯誤；對于D，由，則2022年知識付費用戶數量超過2015年知識付費用戶數量的10倍，故D正確.故選：D.4.設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，若，，則有可能，故A錯誤；對于B，若，，則直線的方向向量分別為平面法向量，又，即，所以，故B正確；對于C，若，，則有可能，故C錯誤；對于D，若，，則有可能，故D錯誤.故選：B.5.某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機抽樣的方法從800名職工中抽取了一個容量為80的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數之比為，則單位職工體重的方差為（）A.166 B.167 C.168 D.169〖答案〗D〖解析〗依題意，單位職工平均體重為，則單位職工體重的方差為.故選：D.6.已知，，=（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又，即，解得，所以.故選：D.7.已知橢圓：的左焦點為，如圖，過點作傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，橢圓的左焦點為，，過作軸，垂足為，由，得，，則，設，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：B.8.在滿足,的實數對中,使得成立的正整數的最大值為（）A.22 B.23 C.30 D.31〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，設，則，令，則，令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，，，所以，所以，又，，要使得成立，只需，即，所以正整數的最大值為.故選：C.二、多項選擇題9.如圖所示，已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓的交點分別為，為線段的中點，射線與單位圓交于點，則（）A.B.C.點的坐標為D.點的坐標為〖答案〗ABC〖解析〗對于A：因為，，所以，正確；對于B：依題意為線段的中點，則，則，又，所以，正確；對于C：為線段的中點，射線與單位圓交于點，則為的中點，所以，又，所以點的坐標為，正確；對于D：，，所以點的坐標為，錯誤.故選：ABC.10.中，內角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項正確的是（）A.B.若，則只有一解C.若為銳角三角形，則取值范圍是D.若為邊上中點，則的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，所以，則，因為，所以，故A正確；對于B，因為，則，，故只有一解，故B正確；對于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯誤；對于D，若D為邊上的中點，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當且僅當時取得等號，所以，即，故D正確.故選：ABD.11.直四棱柱的所有棱長都為4，，點在四邊形及其內部運動，且滿足，則下列選項正確的是（）A.點軌跡的長度為.B.直線與平面所成的角為定值．C.點到平面的距離的最小值為.D.的最小值為-2．〖答案〗BC〖解析〗直四棱柱的所有棱長都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設與相交于點，由，以為原點，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，點在四邊形及其內部運動，設，，由，有，即，所以點的軌跡為平面內，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點的軌跡的長度為，A選項錯誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項正確；，設平面的一個法向量為，則有，令，得，，所以點到平面的距離，，所以時，，所以點到平面的距離的最小值為，C選項正確；，，其幾何意義為點到點距離的平方減12，由，點到點距離最小值為，的最小值為，D選項錯誤.故選：BC.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.的展開式中的系數為______．〖答案〗〖解析〗的展開式通項為，由題意令，解得，所以的展開式中的系數為.故〖答案〗為：.13.已知拋物線的焦點為，是上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，易知，直線過定點，因為，所以Q在以為直徑的圓上，不妨設其圓心為，顯然半徑，分別過作準線的垂線，垂足為，結合拋物線定義有，當且僅當均在線段上時取得等號.故〖答案〗為：.14.已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，求=______．〖答案〗〖解析〗因為是偶函數，則，兩邊求導得，所以是奇函數，故，由，代入，得，則，所以，又是奇函數，所以，所以是周期函數，且周期為4，又，可知也是以4為周期的周期函數，令，得，故，而所以，令，得，則，而，，又，則，，故〖答案〗為：.四、解答題15.設為數列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數列．（1）求的通項公式;（2）令，為數列的前項積，證明：．（1）解：因為是首項為、公差為的等差數列，故，即，當時，，故，當時，，符合上式，故；（2）證明：由，，故，則，因為，故.16.如圖1，已知正三角形邊長為6，其中，，現沿著翻折，將點翻折到點處，使得平面平面，為中點，如圖2．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）取的中點為的中點為，連接，，，因為正三角形中，，，所以，則四邊形為等腰梯形，故；由翻折性質可得，,則，是的中點，，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，以點為坐標原點以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，因為正的邊長為，則為正三角形，邊長為，則，，，在中，由勾股定理得，，則，，異面直線所成角取值范圍為，異面直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）得，，，易得平面一個法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則，，平面與平面夾角的余弦值為.17.2024年春晚為觀眾帶來了一場精彩紛呈的視覺盛宴，同時，也是傳統(tǒng)文化與現代科技完美融合的展現.魔術師劉謙為大家呈現了一個精妙絕倫的魔術《守歲共此時》，小明深受啟發(fā)，在家嘗試對這個魔術進行改良，小明準備了甲、乙兩個一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數分別為2，3，4．乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數均為3，小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左右手完成各取兩球為兩次取球）的成功取法次數的隨機變量，求的分布列．解：（1）記事件為“兩手所取的球不同色”，事件是兩手所取球顏色相同，則，所以.（2）依題意，的可能取值為，左手所取的兩球顏色相同的概率為，右手所取的兩球顏色相同的概率為，，，，所以的分布列為：01218.已知在平面直角坐標系中，：，：，平面內有一動點，過作交于，交于，平行四邊形面積恒為1.（1）求點的軌跡方程并說明它是什么圖形；（2）記的軌跡為曲線，，當在軸右側且不在軸上時，在軸右側的上一點滿足軸平分，且不與軸垂直或是的一條切線，求與，圍成的三角形的面積最小值.解：（1）設點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，點到直線的距離為且，因此，，則或，因此：或，圖形為兩組雙曲線.（2）由題，軸平分，若在上，則由于在漸近線下方，無法與雙曲線相切且在軸右側最多一個交點，故由對稱性，與軸垂直，故舍去，在：上，設，則與斜率和為0，，若斜率不存在時，由題，則與相切，設：，與：聯(lián)立得，由相切，令判別式為0，即，解得，此時，所以：，斜率存在時，由，得，則，整理得，故恒過定點，且其斜率的絕對值大于漸近線的斜率，設：，與交于，與交于，則，，聯(lián)立解得，，則，當且僅當，即斜率不存在時取等，故面積的最小值為.19.設A是由個實數組成的m行n列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”．（1）數表A如表1所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）：123101表1（2）數表A如表2所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數a的所有可能值：a表2（3）對由個實數組成的m行n列的任意一個數表A，能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數？請說明理由．解：（1）法1：123改變第四列123改變第二行123101100法2：123改變第二行123改變第四列12310100法3：123改變第一列23改變第四列2310100（寫出一種即可）（2）數表A每一列所有數之和分別為2，0，，0，每一行所有數之和分別為，1;①如果先操作第三列，則則第一行之和為，第二行之和為，若，則，即，再操作第二行，則此時第四列為負數，不滿足要求；若，則，即，再操作第一行，則由已知，，又a為整數，解得或，若，則若，則所以或滿足要求，②如果先操作第一行，則則第一列的所有數的和為，第二列的所有數的和為，第三列的所有數的和為，第四列的所有數的和為，若，則，與已知矛盾，若，則，與已知矛盾，若，則，又a為整數，由已知，所以或，若，則再操作第三列即可，若，則再操作第三列即可.綜上，或，（3）按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和）由負整數變?yōu)檎麛?，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數陣中個數之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，數表中個數之和必然小于等于，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止,終止之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數，故結論成立.江西省鷹潭市2024屆高三第一次模擬考試數學試題第Ⅰ卷選擇題一、單項選擇題1.若復數滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以由，得.故選：B.2.已知集合，集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，或，因為集合，，所以，故選：A.3.南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數量大?。硻C構統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據此圖，以下說法正確的是（）A.2015年至2022年，知識付費用戶數量先增加后減少B.2015年至2022年，知識付費用戶數量逐年增加量2022年最多C.2015年至2022年，知識付費用戶數量的逐年增加量逐年遞增D.2022年知識付費用戶數量超過2015年知識付費用戶數量的10倍〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數量逐年增加，故A錯誤；對于BC，知識付費用戶數量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，；則知識付費用戶數量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數量的逐年增加量不是逐年遞增，故BC錯誤；對于D，由，則2022年知識付費用戶數量超過2015年知識付費用戶數量的10倍，故D正確.故選：D.4.設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，若，，則有可能，故A錯誤；對于B，若，，則直線的方向向量分別為平面法向量，又，即，所以，故B正確；對于C，若，，則有可能，故C錯誤；對于D，若，，則有可能，故D錯誤.故選：B.5.某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機抽樣的方法從800名職工中抽取了一個容量為80的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數之比為，則單位職工體重的方差為（）A.166 B.167 C.168 D.169〖答案〗D〖解析〗依題意，單位職工平均體重為，則單位職工體重的方差為.故選：D.6.已知，，=（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又，即，解得，所以.故選：D.7.已知橢圓：的左焦點為，如圖，過點作傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，橢圓的左焦點為，，過作軸，垂足為，由，得，，則，設，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：B.8.在滿足,的實數對中,使得成立的正整數的最大值為（）A.22 B.23 C.30 D.31〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，設，則，令，則，令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，，，所以，所以，又，，要使得成立，只需，即，所以正整數的最大值為.故選：C.二、多項選擇題9.如圖所示，已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓的交點分別為，為線段的中點，射線與單位圓交于點，則（）A.B.C.點的坐標為D.點的坐標為〖答案〗ABC〖解析〗對于A：因為，，所以，正確；對于B：依題意為線段的中點，則，則，又，所以，正確；對于C：為線段的中點，射線與單位圓交于點，則為的中點，所以，又，所以點的坐標為，正確；對于D：，，所以點的坐標為，錯誤.故選：ABC.10.中，內角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項正確的是（）A.B.若，則只有一解C.若為銳角三角形，則取值范圍是D.若為邊上中點，則的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，所以，則，因為，所以，故A正確；對于B，因為，則，，故只有一解，故B正確；對于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯誤；對于D，若D為邊上的中點，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當且僅當時取得等號，所以，即，故D正確.故選：ABD.11.直四棱柱的所有棱長都為4，，點在四邊形及其內部運動，且滿足，則下列選項正確的是（）A.點軌跡的長度為.B.直線與平面所成的角為定值．C.點到平面的距離的最小值為.D.的最小值為-2．〖答案〗BC〖解析〗直四棱柱的所有棱長都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設與相交于點，由，以為原點，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，點在四邊形及其內部運動，設，，由，有，即，所以點的軌跡為平面內，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點的軌跡的長度為，A選項錯誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項正確；，設平面的一個法向量為，則有，令，得，，所以點到平面的距離，，所以時，，所以點到平面的距離的最小值為，C選項正確；，，其幾何意義為點到點距離的平方減12，由，點到點距離最小值為，的最小值為，D選項錯誤.故選：BC.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.的展開式中的系數為______．〖答案〗〖解析〗的展開式通項為，由題意令，解得，所以的展開式中的系數為.故〖答案〗為：.13.已知拋物線的焦點為，是上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，易知，直線過定點，因為，所以Q在以為直徑的圓上，不妨設其圓心為，顯然半徑，分別過作準線的垂線，垂足為，結合拋物線定義有，當且僅當均在線段上時取得等號.故〖答案〗為：.14.已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，求=______．〖答案〗〖解析〗因為是偶函數，則，兩邊求導得，所以是奇函數，故，由，代入，得，則，所以，又是奇函數，所以，所以是周期函數，且周期為4，又，可知也是以4為周期的周期函數，令，得，故，而所以，令，得，則，而，，又，則，，故〖答案〗為：.四、解答題15.設為數列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數列．（1）求的通項公式;（2）令，為數列的前項積，證明：．（1）解：因為是首項為、公差為的等差數列，故，即，當時，，故，當時，，符合上式，故；（2）證明：由，，故，則，因為，故.16.如圖1，已知正三角形邊長為6，其中，，現沿著翻折，將點翻折到點處，使得平面平面，為中點，如圖2．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）取的中點為的中點為，連接，，，因為正三角形中，，，所以，則四邊形為等腰梯形，故；由翻折性質可得，,則，是的中點，，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，以點為坐標原點以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，因為正的邊長為，則為正三角形，邊長為，則，，，在中，由勾股定理得，，則，，異面直線所成角取值范圍為，異面直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）得，，，易得平面一個法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則，，平面與平面夾角的余弦值為.17.2024年春晚為觀眾帶來了一場精彩紛呈的視覺盛宴，同時，也是傳統(tǒng)文化與現代科技完美融合的展現.魔術師劉謙為大家呈現了一個精妙絕倫的魔術《守歲共此時》，小明深受啟發(fā)，在家嘗試對這個魔術進行改良，小明準備了甲、乙兩個一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數分別為2，3，4．乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數均為3，小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左右手完成各取兩球為兩次取球）的成功取法次數的隨機變量，求的分布列．解：（1）記事件為“兩手所取的球不同色”，事件是兩手所取球顏色相同，則，所以.（2）依題意，的可能取值為，左手所取的兩球顏色相同的概率為，右手所取的兩球顏色相同的概率為，，，，所以的分布列為：01218.已知在平面直角坐標系中，：，：，平面內有一動點，過作交于，交于，平行四邊形面積恒為1.（1）求點的軌跡方程并說明它是什么圖形；（2）記的軌跡為曲線，，當在軸右側且不在軸上時，在軸右側的上一點滿足軸平分，且不與軸垂直或是的一條切線，求與，圍成的三角形的面積最小值.解：（1）設點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，點到直線的距離為且，因此，，則或，因此：或，圖形為兩組雙曲線.（2）由題，軸平分，若在上，則由于在漸近線下方，無法與雙曲線相切且在軸右側最多一個交點，故由對稱性，與軸垂直，故舍去，在：上，設，則與斜率和為0，，若斜率不存在時，由題，則與相切，設：，與：聯(lián)立得，由相