2024屆江蘇省蘇州市部分高中高三下學期3月適應性考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2江蘇省蘇州市部分高中2024屆高三下學期3月適應性考試數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因為，，得到，所以的真子集個數(shù)為，故選：B.2.設復數(shù)（，為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則復數(shù)虛部為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因為為純虛數(shù)，所以，則，，則復數(shù)的虛部為，故選：A.3.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B.2 C.0.4 D.10〖答案〗B〖解析〗由題有，得到，所以該組數(shù)據(jù)的方差為，故選：B.4.有形狀和大小完全相同的4個球，球的編號分別為1，2，3，4，若從袋中一次隨機摸出2個球，則摸出的2個球的編號之和不小于4的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從袋中一次隨機摸出2個球，共有6種基本事件，其中摸出的2個球的編號之和不小于4的事件為，四種基本事件數(shù)，因此概率為.故選：A.5.已知圓錐的高為6，體積為高的倍，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺高是3，則該圓臺的體積為（）A. B. C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：易知圓錐的高，圓臺的高，設圓錐的底面圓半徑為，則；所以，解得；可得圓臺下底面圓面積為，上底面圓面積為，所以該圓臺的體積為.故選：C.6.在平面直角坐標系中，若直線上存在一點，圓上存在一點，滿足，則實數(shù)的最大值為（）A.0 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，設點，由可得，又點在圓上，可得，即；所以點既在直線上，又在以為圓心，半徑為3的圓上，即直線和圓有公共點，所以圓心到直線距離，解得，所以實數(shù)的最大值為0.故選：A7.在平面直角坐標系中，設直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點都在軸左側(cè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為雙曲線的兩條漸近線方程為，又與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點都在軸左側(cè)，由圖知，，即，所以離心率，又，所以，故選：B.8.已知，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，等號成立當且僅當，從而，令，設，顯然，則，因為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，所以，整理得，即，解得，注意到，從而，等號成立當且僅當，即，所以經(jīng)檢驗的最大值，即的最大值為.故選：D.二、選擇題9.如圖，在直三棱柱中，，點，分別是，的中點.則下列一定成立的是（）A B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由三棱柱性質(zhì)可得，又點，分別是，的中點，所以，即A正確；對于B，由A中的結(jié)論可得，且，所以，因此可得四邊形是平行四邊形，所以，即B正確；對于C，因為直三棱柱，所以平面，又平面，所以；又因為，點是的中點，所以；又平面，可得平面，又平面，所以，若，且，所以平面，又平面，可得，在四邊形中，若，利用三角形相似可得，即，題目中沒有對應的條件，所以C不一定成立；對于D，因為，點是的中點，所以；即D正確.故選：ABD10.如圖，在中，三個內(nèi)角、，成等差數(shù)列，且，.已知點（未畫出），若函數(shù)的圖像經(jīng)過、、三點，且、為該函數(shù)圖像與軸相鄰的兩個交點，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，因為角、、成等差數(shù)列，所以，在中，，，，記由余弦定理得到，即，得到，所以選項A錯誤，對于選項B，，所以選項B正確，由圖知，，所以，即有，，所以選項C錯誤，又、為函數(shù)圖像與軸相鄰的兩個交點，，所以，得到，又，得到，即，又，所以，又因為，所以，得到，所以，故選項D正確，故選：BD.11.已知，且，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A.若該函數(shù)為偶函數(shù)，則其最小值為B.函數(shù)的圖像經(jīng)過唯一的定點C.若關(guān)于方程有且只有一個解，則或D.令為上的連續(xù)函數(shù)，則當時至多存在一個零點〖答案〗BC〖解析〗A：若該函數(shù)為偶函數(shù)，此時由得，所以得，從而，，注意到，A錯誤；B：顯然，若經(jīng)過定點，那么對任意的b成立，從而與b無關(guān)，這意味著，故，B正確.C：顯然，所以必有一解，若，則單調(diào)遞增，從而一定是唯一解，若，則，等號成立當且僅，所以一定是唯一解，如果，則單調(diào)遞增，且有唯一零點，由于，所以，而在遞減，在遞增，且，所以，若，則由，可知在上還有一根t，且，故，若，則由，可知在上還有一根t，且，故.無論怎樣，都有一個不等于0的根t，從而解不唯一，綜上，C正確；D：根據(jù)C選項的過程，如果且，那么一定有兩個根和，D錯誤.故選：BC.三、填空題12.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為________.〖答案〗〖解析〗因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，所以，得到，即，故〖答案〗為：.13.在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左焦點，直線與橢圓交于，兩點，為橢圓上異于，的點.則橢圓的標準方程為________；若，以為直徑的圓過點，則圓的標準方程為________.〖答案〗〖解析〗∵且，∴，.∴橢圓方程為.設，則，且.①∵以為直徑的圓過點，∴，∴，又∵，∴.②由①②解得：，或（舍），∴.又∵圓的圓心為的中點，半徑為，∴圓的標準方程為.故〖答案〗為：；.14.如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的3條直道，，將廣場分割為6個區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點在半圓弧上，分別與，相交于點，.（道路寬度忽略不計）設，.當為________時，綠化區(qū)域面積之和最大.〖答案〗〖解析〗以所在的直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，可得半圓的方程為，則點，可得直線的方程為，令，可得，直線的方程為，令，可得，所以的長度為，所以區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區(qū)域Ⅱ的面積為，所以，設，則，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.四、解答題15.在中，角所對的邊分別是、、，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由余弦定理以及可得，又，可得；再由并利用正弦定理可得，解得，易知，所以，即；所以，即（2）由（1）中以及可得，所以；可得.16.如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的下頂點為，點是橢圓上異于點的動點，直線分別與軸交于點，且點是線段的中點．當點運動到點處時，點的坐標為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線交軸于點，當點均在軸右側(cè)，且時，求直線的方程．解：（1）由，得直線的方程為．令，得點的坐標為．所以橢圓的方程為．將點的坐標代入，得，解得．所以橢圓的標準方程為．（2）設直線的斜率為，則直線的方程為．在中，令，得，而點是線段的中點，所以．所以直線的斜率．聯(lián)立，消去，得，解得．用代，得．又，所以，得．故，又，解得．所以直線的方程為．17.已知函數(shù)有極值，與函數(shù)的極值點相同，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）直接寫出當時，函數(shù)在處的切線方程；（2）通過計算用表示；（3）當時，若函數(shù)的最小值為，證明：.（1）解：當時，，，從而，，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）解：因為，令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點；又因為，所以，整理得，又當時，，若要使得函數(shù)有極值，則還需，即，綜上所述，，；（3）證明：因為，且由（2）可知，所以，令，則，令，得到，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，從而令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，令，則，記，則，因為，所以，單調(diào)遞增，所以，即.18.已知數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)，使得恒成立；數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)恒成立．（1）求常數(shù)的值；（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若，記，是否存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)恒成立，若存在，求正整數(shù)k的最小值；若不存在，請說明理由．（1）解：因為①，所以②，①－②得，即，又，所以，時，時，.因為為正數(shù)，解得.又因為，且，所以.（2）證明：因為③，當時，④，③－④得，即⑤，證法1又⑥，⑤-⑥得，即，所以為等差數(shù)列．證法2由，得，當時，，所以，所以，因為時，由得，所以，則，所以，對恒成立，所以為等差數(shù)列．（3）解：因為，又，由(2)知為等差數(shù)列，所以，又由（1）知，所以，又，所以，令得，所以，解得，所以時，，即，時，因為，所以，即.此時，即，所以的最大值為，若存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，恒成立，則的最大值，所以，所以正整數(shù)k的最小值為4.19.甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設棱長為，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，定義隨機變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲蝗舯麖恼庵?條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大小（弧度制）.（1）比較三種隨機變量的數(shù)學期望大??；（參考數(shù)據(jù)）（2）現(xiàn)單獨研究棱長，記（且），其展開式中含項的系數(shù)為，含項的系數(shù)為.①若，對成立，求實數(shù)，，的值；②對①中的實數(shù)，,用數(shù)字歸納法證明：對任意且，都成立.（1）解：如圖所示：由題意設為正四棱錐的高，為中點，由于正四棱錐的底面邊長和高都是2，所以，所以，由對稱性以及三線合一可知，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，則的所有可能取值為，且，所以，若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)，得，若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，所以.（2）①解：因為中項的系數(shù)為，一般地，從中的第個因式中取一個，其余因式中取常數(shù)即可得到一個項，而這一項的系數(shù)為，，因為中項的系數(shù)為，一般地，從中的第個因式中各取一個，其余因式中取常數(shù)即可得到一個項，而這一項的系數(shù)為，從而，從而，，由題意得，解得；②證明：用數(shù)學歸納法證明：且時，.當時，，故結(jié)論對成立，假設結(jié)論對成立，即，則，所以結(jié)論對也成立，故，對任意成立.江蘇省蘇州市部分高中2024屆高三下學期3月適應性考試數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因為，，得到，所以的真子集個數(shù)為，故選：B.2.設復數(shù)（，為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則復數(shù)虛部為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因為為純虛數(shù)，所以，則，，則復數(shù)的虛部為，故選：A.3.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B.2 C.0.4 D.10〖答案〗B〖解析〗由題有，得到，所以該組數(shù)據(jù)的方差為，故選：B.4.有形狀和大小完全相同的4個球，球的編號分別為1，2，3，4，若從袋中一次隨機摸出2個球，則摸出的2個球的編號之和不小于4的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從袋中一次隨機摸出2個球，共有6種基本事件，其中摸出的2個球的編號之和不小于4的事件為，四種基本事件數(shù)，因此概率為.故選：A.5.已知圓錐的高為6，體積為高的倍，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺高是3，則該圓臺的體積為（）A. B. C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：易知圓錐的高，圓臺的高，設圓錐的底面圓半徑為，則；所以，解得；可得圓臺下底面圓面積為，上底面圓面積為，所以該圓臺的體積為.故選：C.6.在平面直角坐標系中，若直線上存在一點，圓上存在一點，滿足，則實數(shù)的最大值為（）A.0 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，設點，由可得，又點在圓上，可得，即；所以點既在直線上，又在以為圓心，半徑為3的圓上，即直線和圓有公共點，所以圓心到直線距離，解得，所以實數(shù)的最大值為0.故選：A7.在平面直角坐標系中，設直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點都在軸左側(cè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為雙曲線的兩條漸近線方程為，又與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點都在軸左側(cè)，由圖知，，即，所以離心率，又，所以，故選：B.8.已知，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，等號成立當且僅當，從而，令，設，顯然，則，因為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，所以，整理得，即，解得，注意到，從而，等號成立當且僅當，即，所以經(jīng)檢驗的最大值，即的最大值為.故選：D.二、選擇題9.如圖，在直三棱柱中，，點，分別是，的中點.則下列一定成立的是（）A B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由三棱柱性質(zhì)可得，又點，分別是，的中點，所以，即A正確；對于B，由A中的結(jié)論可得，且，所以，因此可得四邊形是平行四邊形，所以，即B正確；對于C，因為直三棱柱，所以平面，又平面，所以；又因為，點是的中點，所以；又平面，可得平面，又平面，所以，若，且，所以平面，又平面，可得，在四邊形中，若，利用三角形相似可得，即，題目中沒有對應的條件，所以C不一定成立；對于D，因為，點是的中點，所以；即D正確.故選：ABD10.如圖，在中，三個內(nèi)角、，成等差數(shù)列，且，.已知點（未畫出），若函數(shù)的圖像經(jīng)過、、三點，且、為該函數(shù)圖像與軸相鄰的兩個交點，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，因為角、、成等差數(shù)列，所以，在中，，，，記由余弦定理得到，即，得到，所以選項A錯誤，對于選項B，，所以選項B正確，由圖知，，所以，即有，，所以選項C錯誤，又、為函數(shù)圖像與軸相鄰的兩個交點，，所以，得到，又，得到，即，又，所以，又因為，所以，得到，所以，故選項D正確，故選：BD.11.已知，且，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A.若該函數(shù)為偶函數(shù)，則其最小值為B.函數(shù)的圖像經(jīng)過唯一的定點C.若關(guān)于方程有且只有一個解，則或D.令為上的連續(xù)函數(shù)，則當時至多存在一個零點〖答案〗BC〖解析〗A：若該函數(shù)為偶函數(shù)，此時由得，所以得，從而，，注意到，A錯誤；B：顯然，若經(jīng)過定點，那么對任意的b成立，從而與b無關(guān)，這意味著，故，B正確.C：顯然，所以必有一解，若，則單調(diào)遞增，從而一定是唯一解，若，則，等號成立當且僅，所以一定是唯一解，如果，則單調(diào)遞增，且有唯一零點，由于，所以，而在遞減，在遞增，且，所以，若，則由，可知在上還有一根t，且，故，若，則由，可知在上還有一根t，且，故.無論怎樣，都有一個不等于0的根t，從而解不唯一，綜上，C正確；D：根據(jù)C選項的過程，如果且，那么一定有兩個根和，D錯誤.故選：BC.三、填空題12.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為________.〖答案〗〖解析〗因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，所以，得到，即，故〖答案〗為：.13.在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左焦點，直線與橢圓交于，兩點，為橢圓上異于，的點.則橢圓的標準方程為________；若，以為直徑的圓過點，則圓的標準方程為________.〖答案〗〖解析〗∵且，∴，.∴橢圓方程為.設，則，且.①∵以為直徑的圓過點，∴，∴，又∵，∴.②由①②解得：，或（舍），∴.又∵圓的圓心為的中點，半徑為，∴圓的標準方程為.故〖答案〗為：；.14.如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的3條直道，，將廣場分割為6個區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點在半圓弧上，分別與，相交于點，.（道路寬度忽略不計）設，.當為________時，綠化區(qū)域面積之和最大.〖答案〗〖解析〗以所在的直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，可得半圓的方程為，則點，可得直線的方程為，令，可得，直線的方程為，令，可得，所以的長度為，所以區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區(qū)域Ⅱ的面積為，所以，設，則，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.四、解答題15.在中，角所對的邊分別是、、，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由余弦定理以及可得，又，可得；再由并利用正弦定理可得，解得，易知，所以，即；所以，即（2）由（1）中以及可得，所以；可得.16.如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的下頂點為，點是橢圓上異于點的動點，直線分別與軸交于點，且點是線段的中點．當點運動到點處時，點的坐標為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線交軸于點，當點均在軸右側(cè)，且時，求直線的方程．解：（1）由，得直線的方程為．令，得點的坐標為．所以橢圓的方程為．將點的坐標代入，得，解得．所以橢圓的標準方程為．（2）設直線的斜率為，則直線的方程為．在中，令，得，而點是線段的中點，所以．所以直線的斜率．聯(lián)立，消去，得，解得．用代，得．又，所以，得．故，又，解得．所以直線的方程為．17.已知函數(shù)有極值，與函數(shù)的極值點相同，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）直接寫出當時，函數(shù)在處的切線方程；（2）通過計算用表示；（3）當時，若函數(shù)的最小值為，證明：.（1）解：當時，，，從而，，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）解：因為，令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點；又因為，所以，整理得，又當時，，若要使得函數(shù)有極值，則還需，即，綜上所述，，；（3）證明：因為，且由（2）可知，所以，令，則，令，得到，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，從而令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，令，則，記，則，因為，所以，單調(diào)遞增，所以，即.18.已知數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)，使得恒成立；數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)恒成立．（1）求常數(shù)的值；（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若，記，是否存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)恒成立，若存在，求正整數(shù)k的最小值；若不存在，請說明理由．（1）解：因為①，所以②，①－②得，即，又，所以，時，時，.因為為正數(shù)，解得.又因為，且，所以.（2）證明：因為③，當時