高三數(shù)學備考沖刺140分問題18等差數(shù)列等比數(shù)列的證明問題含解析

PAGE問題18等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問題一、考情分析等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明是高考熱點，一般出現(xiàn)在解答題第一問，等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明難度雖然不大，但有一定的技巧性，且對規(guī)范性要求較高，解題時要避免會而不對或?qū)Χ蝗?、?jīng)驗分享1.等差數(shù)列證明方法主要有：(1)定義法：an－an－1(n≥2,n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列；(2)等差中項法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列；(3)通項公式法：an＝pn＋q(p,q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：驗證數(shù)列{an}的前n項和Sn＝An2＋Bn(A,B為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列；【點評】證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))成等比數(shù)列的關(guān)鍵是利用已知得出eq\f(an＋2－\f(1,2)an＋1,an＋1－\f(1,2)an)＝eq\f(1,2).【小試牛刀】【安徽省安慶一中、山西省太原五中等五省六校（K12聯(lián)盟）2018屆高三上學期期末】已知數(shù)列滿足，且．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）令，，求數(shù)列的前項和．（2）由（1）知，∴，∴，．(二)運用等差或等比中項性質(zhì)是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,這是證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法．【例2】正數(shù)數(shù)列和滿足：對任意自然數(shù)成等差數(shù)列,成等比數(shù)列．證明：數(shù)列為等差數(shù)列．【點評】本題依據(jù)條件得到與的遞推關(guān)系,通過消元代換構(gòu)造了關(guān)于的等差數(shù)列,使問題得以解決．通過挖掘的意義導出遞推關(guān)系式,靈活巧妙地構(gòu)造得到中項性質(zhì),這種處理大大簡化了計算．【小試牛刀】已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,2).(1)若a3＝eq\f(1,4),求數(shù)列{an}的前n項和；(2)證明：對任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差數(shù)列．【解析】(1)由通項公式可得a3＝a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4),解得a1＝1,再由等比數(shù)列求和公式得Sn＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n－1),3).(2)證明：∵k∈N*,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)＝a1qk－1·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－1))＝0,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0,∴對任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差數(shù)列．(三)反證法解決數(shù)學問題的思維過程,一般總是從正面入手,即從已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列的推理和運算,最后得到所要求的結(jié)論,但有時會遇到從正面不易入手的情況,這時可從反面去考慮．如：【例3】設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列,．證明數(shù)列不是等比數(shù)列．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運算能力,對邏輯思維能力有較高要求．要證不是等比數(shù)列,只要由特殊項（如）就可否定．一般地講,否定性的命題常用反證法證明,其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性

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【小試牛刀】【江蘇省泰州市2019屆高三上學期期末】已知數(shù)列｛｝的前n項和為Sn，，且對任意的n∈N*，n≥2都有。（1）若0，，求r的值；（2）數(shù)列｛｝能否是等比數(shù)列？說明理由；（3）當r＝1時，求證：數(shù)列｛｝是等差數(shù)列。【解析】（1）令n＝2，得：，即：，化簡，得：，因為，，，所以，，解得：r＝1.（2）假設(shè)是等比數(shù)列，公比為，則，且，解得或，由，可得，所以，兩式相減，整理得，兩邊同除以，可得，因為，所以，【小試牛刀】已知等比數(shù)列{an}的公比為q,記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m,n∈N*),則以下結(jié)論一定正確的是()A．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,公差為qmB．數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比為q2mC．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為qm2D．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為qmm【答案】C【解析】bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1),eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(amn＋1,amn＋1－m)＝qm,故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比為qm,選項A,B均錯誤；cn＝aeq\o\al(m,m（n－1）＋1)·q1＋2＋…＋(m－1),eq\f(cn＋1,cn)＝(qm)m＝qm2,故數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為qm2,D錯誤,故選C.五、遷移運用1.已知數(shù)列滿足,則“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件【答案】A2已知數(shù)列的前項和,則““是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時,不是等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列,當時,與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾,所以,因此““是“數(shù)列是等比數(shù)列”的必要不充分條件,選B.因為對任意，總存在數(shù)列中的兩個不同項，，使得，所以對任意的都有，明顯.若，當時，有，不符合題意，舍去；若，當時，有，不符合題意，舍去；故.8．【山西省晉城市2018屆高三上學期第一次模擬】已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前10項和.9．【云南省昆明市第一中學2018屆高三第五次月考】已知數(shù)列滿足.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）由得：∵，∴，從而由得，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列．10．【江蘇省鎮(zhèn)江市2018屆高三上學期期末】已知數(shù)列的前項和，對任意正整數(shù)，總存在正數(shù)使得，恒成立：數(shù)列的前項和，且對任意正整數(shù)，恒成立.（1）求常數(shù)的值；（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若，記，是否存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，恒成立，若存在，求正整數(shù)的最小值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）∵①∴②，，①-②得：，即，，又∴，，時，；時，.∵為正數(shù)又因為，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，因為，所以，所以.13．【河南省南陽市第一中學校2018屆高三第七次考試】已知數(shù)列數(shù)列的前項和且，且.（1）求的值，并證明：；（2）求數(shù)列的通項公式.14．【福建省三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校2018屆高三上學期階段性考試】已知各項為正數(shù)的數(shù)列，，前項和，是與的等差中項（）．（1）求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，求前項和．15．【湖北省部分重點中學2018屆高三上學期第二次聯(lián)考】設(shè)數(shù)列的前項和為，點在直線上.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）設(shè)直線與函數(shù)的圖象交于點，與函數(shù)的圖象交于點，記（其中為