專題06 倍長中線法與截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三形（兩大類型）（原卷版）

專題06倍長中線法與截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三形（兩大類型）重難點(diǎn)題型歸納【題型一：倍長中線法構(gòu)造全等三角形】【題型二：截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形】【題型一：倍長中線法構(gòu)造全等三角形】△ABC中,AD是BC邊中線方式1：直接倍長延長AD到E，使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E（2）延長MD到N，使DN=MD，連接CN倍長中線法原理：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對(duì)頂角一般用“SAS”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對(duì)頂角一般用“SAS”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系。（在一定范圍中）【典例1】為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延長AD到M，使DM＝AD，連接BM．【探究發(fā)現(xiàn)】：（1）圖1中AC與BM的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【初步應(yīng)用】：（2）如圖2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（提示：不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．例如：若3x＜6，則x＜2．）【探究提升】：（3）如圖3，AD是△ABC的中線，過點(diǎn)A分別向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延長DA交EF于點(diǎn)P，判斷線段EF與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由．【變式1-1】如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8【變式1-3】如圖所示，AD為△ABC中線，D為BC中點(diǎn)，AE＝AB，AF＝AC，連接EF，EF＝2AD．若△AEF的面積為3，則△ADC的面積為．【變式1-4】如圖所示，D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，滿足AE＝BD＝DC，F(xiàn)A＝FE．求∠ADC的度數(shù)．【變式1-6】已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．【變式1-5】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（2）受到（1）啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.【變式1-8】【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【變式1-11】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC邊上，連接AD、AE，AD＝AE；（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，連接DF、CF，若DF＝CF，∠DAE＝60°，求證：AF＝CE．（3）如圖3，在（2）的條件下，N為DE上一點(diǎn)，連接AN，∠BAD＝2∠DAN，M為DF中點(diǎn)，連接AM，若AM＝6，AF＝5，求EN的長．【變式1-12】閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【變式1-13】（1）【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法，延長AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，容易證得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中．（2）【初步運(yùn)用】如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求線段BF的長．（3）【拓展提升】如圖3，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：BE+CF＞EF．【變式1-16】閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；（2）問題拓展：如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯(lián)結(jié)EF、CF，那么下列結(jié)論①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中一定成立是（填序號(hào)）．【變式1-19】（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C為頂點(diǎn)作∠ECF，使得角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，且EF＝BE+DF，試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【模型二：截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形】截長：截長：1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線；2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短：1.延長短邊；2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起【典例2】閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求證：AC＝AB+BD；小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，連接DE，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．方法二：如圖3，延長AB到點(diǎn)E，使得BE＝BD，連接DE，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決問題．（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC＝AB+BD，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)或參考小明的方法，解決下面的問題；（2）如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式2-1】閱讀：探究線段的和．差．倍．分關(guān)系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會(huì)用截長法或補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．（1）請(qǐng)完成下題的證明過程：如圖1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求證：AB+BD＝AC．證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE（2）如圖2，AD∥BC，EA，EB分別平分∠DAB，∠CBA，CD過點(diǎn)E，求證：AB＝AD+BC．【變式2-2】在“教、學(xué)、練、評(píng)一體化”學(xué)習(xí)活動(dòng)手冊(cè)中，全等三角形專題復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過七種作輔助線的方法，其中有“截長補(bǔ)短”作輔助線的方法．截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等．這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法．請(qǐng)用這兩種方法分別解決下列