高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十一章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例3第3講變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例新題培優(yōu)練文含解析新人教A版

第3講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例[基礎(chǔ)題組練]1．某商品的銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售價(jià)格x(元/件)存在線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋150，則下列結(jié)論正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．若r表示y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，則r＝－5C．當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為10元時(shí)，銷(xiāo)售量為100件D．當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為10元時(shí)，銷(xiāo)售量為100件左右解析：選D.由回歸直線方程知，y與x具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，A錯(cuò)，若r表示y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，則|r|≤1，B錯(cuò)．當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為10元時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－5×10＋150＝100，即銷(xiāo)售量為100件左右，C錯(cuò)，故選D.2．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，算得K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)k0參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”解析：選C.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由K2≈，，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，故選C.3．(2019·惠州市第二次調(diào)研)某商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷(xiāo)量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷(xiāo)售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/℃171382月銷(xiāo)售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣銷(xiāo)售量約為_(kāi)_______件．解析：由題中數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝38，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，且eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，代入得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，則回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，所以當(dāng)x＝6時(shí)，y＝46.答案：464．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門(mén)課程的考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班73845總計(jì)177390利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)，則成績(jī)與班級(jí)________(填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)．解析：成績(jī)與班級(jí)有無(wú)關(guān)系，就是看隨機(jī)變量的值與臨界值2.706的大小關(guān)系．由公式得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,17×73×45×45)≈，所以成績(jī)與班級(jí)無(wú)關(guān)．答案：無(wú)關(guān)5．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k)k解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為eq\f(40,50)，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為eq\f(30,50)，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.(2)K2＝eq\f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)≈4.762.由于，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．6．(2019·廣州市高中綜合測(cè)試(一))某地1～10歲男童年齡xi(單位：歲)與身高的中位數(shù)yi(單位：cm)(i＝1，2，…，10)如下表：x/歲12345678910y/cm14對(duì)上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)精確到0.01)；(2)某同學(xué)認(rèn)為y＝px2＋qx＋r更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，他求得的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))x2x，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3cm.與(1)中的線性回歸方程比較，哪個(gè)回歸方程的擬合效果更好？附：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f,82.50)≈≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))x＋74.66.(2)若回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))x，當(dāng)x＝11時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝150.23.若回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))x2x，當(dāng)x＝11時(shí)，y＝143.64.，所以回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))x2x＋68.07對(duì)該地11歲男童身高中位數(shù)的擬合效果更好．[綜合題組練]1．(2019·陜西省質(zhì)量檢測(cè)(一))基于移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的共享單車(chē)被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，帶給人們新的出行體驗(yàn)．某共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)研究人員為了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：月份2018.10月份代碼x123456市場(chǎng)占有率y(%)111316152021(1)請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)紙中作出散點(diǎn)圖，并用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明能否用線性回歸模型擬合市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2019年2月份的市場(chǎng)占有率．參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝35，eq\r(1330)≈36.5.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝；回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)作出散點(diǎn)圖如下．eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20＋21,6)＝16，所以eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝76.所以r＝＝eq\f(35,\r×76))＝eq\f(35,\r(1330))≈eq\f(35,36.5)≈0.96.所以兩變量之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故可用線性回歸模型擬合市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(35,17.5)＝2，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝16－2×3.5＝9.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋9.2019年2月的月份代碼為x＝7，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝2×7＋9＝23，所以估計(jì)該公司2019年2月份的市場(chǎng)占有率為23%.2．(綜合型)(2019·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))近年來(lái)鄭州空氣污染較為嚴(yán)重，現(xiàn)隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣中指數(shù)的檢測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：指數(shù)[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]>300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為S(單位：元)，PMx.當(dāng)x在區(qū)間[0，100]內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)沒(méi)有造成經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)x在區(qū)間(100，300]內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失成直線模型(當(dāng)指數(shù)為150時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)指數(shù)為200時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元)；當(dāng)指數(shù)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元．(1)試寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式；(2)試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過(guò)900元的概率；(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？非重度污染重度污染總計(jì)供暖季非供暖季總計(jì)100附：P(K2≥k0)k0K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依題意，可得S(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0