專題17圓與圓的位置關(guān)系6種常見考法歸類（原卷版）

專題17圓與圓的位置關(guān)系6種常見考法歸類1、圓與圓的位置關(guān)系（1）圓與圓的位置關(guān)系我們知道，兩個圓之間存在以下三種位置關(guān)系：①兩圓相交，有兩個公共點；②兩圓相切，包括外切與內(nèi)切，只有一個公共點；③兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒有公共點．注：如果兩個圓沒有公共點，那么它們外離或內(nèi)含，這兩種位置關(guān)系統(tǒng)稱為相離；如果兩個圓只有一個公共點，那么它們外切或內(nèi)切，這兩種位置關(guān)系統(tǒng)稱為相切．2、圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點個數(shù)2個1個0個兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含3、圓與圓的公共弦（1）圓與圓的公共弦圓與圓相交得到兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦．（2）公共弦所在直線的方程將兩個相交圓的方程相減，消去x2項，y2項，所得二元一次方程即為兩圓的公共弦所在直線的方程，即由x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1－(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0得公共弦所在直線方程為D1x＋E1y＋F1－(D2x＋E2y＋F2)＝0，簡記為“兩圓相減公共弦”．注：若不能確定兩圓是否相交，則兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓公共弦所在直線的方程．（3）公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在的直線方程，在圓的半徑、半弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形中，根據(jù)勾股定理求出半弦長，進而求出弦長．4、兩圓的公切線兩圓的公切線是指與兩圓都相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線．兩圓的位置關(guān)系與公切線條數(shù)的關(guān)系(1)兩圓外離，有四條公切線．(2)兩圓外切，有三條公切線．(3)兩圓相交，有兩條公切線．(4)兩圓內(nèi)切，有一條公切線．(5)兩圓內(nèi)含，沒有公切線．如圖．注：兩圓不同的位置關(guān)系對應(yīng)著不同的公切線條數(shù)，因此可以由公切線的條數(shù)判斷兩圓的位置關(guān)系，即當(dāng)兩圓內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離時，對應(yīng)的公切線條數(shù)分別為0,1,2,3,4，反之亦成立．5、圓系方程一般地過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓的方程可設(shè)為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出λ，即可得圓的方程．6、判斷兩圓的位置關(guān)系(1)幾何法：①將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.②求出兩圓的圓心距d和半徑r1，r2.③根據(jù)d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關(guān)系作出判斷，進而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)進而判斷兩圓位置關(guān)系．7、兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.8、公共弦長的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出弦長．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.9、兩個圓的公切線數(shù)量兩個圓的公切線數(shù)量與其位置關(guān)系有關(guān)，在求其公切線方程前應(yīng)先判斷兩個圓的位置關(guān)系；相應(yīng)的，也可以根據(jù)兩圓公切線的數(shù)量判斷其位置關(guān)系.10、兩圓的公切線方程求解：(1)當(dāng)公切線的斜率存在時，可設(shè)公切線的方程為y＝kx＋b，由公切線的意義(兩圓公共的切線)可知，兩圓心到直線y＝kx＋b的距離分別等于兩圓的半徑長，這樣得到關(guān)于k和b的方程組，解這個方程組得到k，b的值，即可寫出公切線的方程．(2)當(dāng)公切線的斜率不存在時，要注意運用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程．考點一判斷圓和圓的位置關(guān)系考點二由圓和圓的位置關(guān)系求參數(shù)考點三由圓和圓的位置關(guān)系求圓的方程考點四求兩圓的交點問題考點五兩圓的公共弦問題（一）相交圓的公共弦（二）兩圓的公共弦長考點六兩圓的公切線問題（一）圓的公切線條數(shù)（二）圓的公切線方程（三）圓的公切線長考點一判斷圓和圓的位置關(guān)系1．（2023秋·北京昌平·高二?？计谥校﹫A：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切2．（2023·全國·高二課堂例題）判斷下列兩個圓的位置關(guān)系：(1)與；(2)與．3．（2023秋·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切4．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知圓與圓，則“”是“圓與圓外切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點二由圓和圓的位置關(guān)系求參數(shù)5．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知兩個圓，，求兩圓分別滿足下列條件時半徑r的取值范圍：(1)相交；(2)相切；(3)相離．6．（2023秋·高二課時練習(xí)）兩圓與外切，則（

）A． B．5C． D．27．（2023秋·高二課時練習(xí)）求a為何值時，兩圓和．(1)外切；(2)內(nèi)切．8．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)校考期中）已知集合，若恰有一個元素，則的值可以為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)?？计谥校┤魣A與圓相外切，則的值為10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若圓與圓有公共點，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．12．（2023秋·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知圓和兩點，圓C上若存在點P，使得，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．413．（2023秋·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點，若圓O：上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點三由圓和圓的位置關(guān)系求圓的方程14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓C過點且與圓切于點，則圓C的方程為.15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓過點且與圓相切于點，則圓的方程為.16．（2023秋·高二課時練習(xí)）求與圓內(nèi)切于點，且半徑為1的圓的方程．17．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓過點且與圓相切于原點，求圓的方程．18．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出一個半徑為且與圓及直線都相切的圓的方程．考點四求兩圓的交點問題19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓的交點坐標(biāo)為（

）A．和 B．和C．和 D．和20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與的交點坐標(biāo)為.21．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）若一個圓經(jīng)過點及圓與圓的交點，求此圓的方程．22．（2023秋·湖北武漢·高二武鋼三中校考階段練習(xí)）求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（

）A． B．C． D．考點五兩圓的公共弦問題相交圓的公共弦23．（2023秋·寧夏銀川·高二銀川二中校考階段練習(xí)）已知圓與圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為.24．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓與圓相交，求經(jīng)過圓與圓的兩個交點的直線方程．25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，.(1)求過兩圓交點的直線方程；(2)求過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．26．（2023秋·福建莆田·高二?？计谥校﹫A與圓的公共弦所在的直線與圓相切，則實數(shù)的值為．27．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，求直線的方程.28．（2023秋·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C的方程為，直線，點P是直線l上的一動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．兩圓的公共弦長29．（2023秋·福建漳州·高二?？计谥校┮阎獔A與圓交于，兩點，則（

）A． B． C． D．30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線方程為；公共弦長為.31．（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓：與圓：(1)求經(jīng)過圓與圓交點的直線方程；(2)求圓與圓的公共弦長.32．（2023春·全國·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓與圓的公共弦長為，則（

）A． B． C．2 D．433．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）若圓：與圓：相交于、兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則線段的長是．34．（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點，其中點是坐標(biāo)原點，點分別是圓與圓的圓心，則（

）A． B． C． D．考點六兩圓的公切線問題圓的公切線條數(shù)35．（2023秋·江西景德鎮(zhèn)·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．條 B．條 C．條 D．條36．（2023秋·高二課時練習(xí)）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．437．（2023秋·高二課時練習(xí)）到點、的距離分別為和的直線有條．38．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若圓和有且僅有一條公切線，則；此公切線的方程為39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與圓恰有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍．40．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知兩圓，，當(dāng)圓與圓有且僅有兩條公切線時，則的取值范圍.41．（2023秋·四川眉山·高三仁壽一中?？奸_學(xué)考試）已知圓.若圓與圓有三條公切線，則的值為.42．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓與圓有三條公切線，則．43．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，過點作圓的切線，切點分別為，則下列命題中真命題是（

）A．B．直線的方程為C．圓與共有4條公切線D．若過點的直線與交于兩點，則當(dāng)面積最大時，.圓的公切線方程44．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）寫出圓：與圓：的公切線方程．45．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓.請寫出一條與兩圓都相切的直線方程：.46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與圓，則圓和圓的一條公切線的方程為.47．（2023秋·高二課時練習(xí)）證明圓與圓內(nèi)切，并求它們的公切線方程．48．（2023秋·廣西百色·高三貴港市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（

）A． B．C． D．49．（2023秋·上海普陀·高三曹楊二中?？奸_學(xué)考試）已知圓和圓，則過點且與，都相切的直線方程為．50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點，，符合點A，B到直線l的距離分別為1，3的直線方程為（寫出一條即可）．51．（2023秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線，則下列說法錯誤的是（

）A．曲線與軸圍成的面積等于B．曲線上有5個整點（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）C．所在圓的方程為D．與的公切線方程為圓的公切線長52．（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（

）A． B． C． D．53．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求圓與圓的內(nèi)公切線所在直線方程及內(nèi)公切線的長．54．（20