高二數(shù)學(xué)概率試題-

高二數(shù)學(xué)概率試題1.設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，則A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝.32D．n＝7，p＝0.45【答案】A

【解析】由二項(xiàng)分布的均值和方差得,解的

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值和方差.

2.某校舉行綜合知識大獎(jiǎng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有6次答題的機(jī)會，選手累計(jì)答對4題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對4題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答題連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為（已知甲回答每道題的正確率相同，并且相互之間沒有影響）.

（Ⅰ）求選手甲回答一個(gè)問題的正確率；

（Ⅱ）求選手甲可以進(jìn)入決賽的概率.

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

解題思路：(Ⅰ)利用對立事件的概率求解；（Ⅱ）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解（Ⅲ）利用二項(xiàng)分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解.

規(guī)律總結(jié)：涉及概率的求法，要掌握好基本的概率模型，正確判斷概率類型，合理選擇概率公式.

試題解析：（1）(Ⅰ)設(shè)選手甲答對一個(gè)問題的正確率為，

則故選手甲回答一個(gè)問題的正確率

（Ⅱ）選手甲答了4道題進(jìn)入決賽的概率為；

（Ⅲ）選手甲答了5道題進(jìn)入決賽的概率為；

選手甲答了6道題進(jìn)入決賽的概率為；

故選手甲可進(jìn)入決賽的概率.

【考點(diǎn)】1.互斥事件與對立事件；2.二項(xiàng)分布.

3.將二顆骰子各擲一次，設(shè)事件A=“二個(gè)點(diǎn)數(shù)不相同”，B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則概率

等于（

）A．B．C．D．【答案】A

【解析】由條件概率計(jì)算公式：,,要求點(diǎn)數(shù)至少含有6且點(diǎn)數(shù)不同，含有6有11中，而其中相同的就一種，故，

【考點(diǎn)】條件概率的計(jì)算.

4.為了解某班學(xué)生關(guān)注NBA是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到如下的列聯(lián)表：

關(guān)注NBA不關(guān)注NBA合

計(jì)男

生

6

女

生10

合

計(jì)

48

已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人，抽到關(guān)注NBA的學(xué)生的概率為2/3

⑴請將上面列連表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為關(guān)注NBA與性別有關(guān)？

⑵現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中關(guān)注NBA的女生人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：，其中

0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

【答案】(1)關(guān)注NBA與性別有關(guān)；（2）分布列（略），E（X）=1.

【解析】（1）本小題獨(dú)立性檢測的應(yīng)用，本小題的關(guān)鍵是計(jì)算出的觀測值,和對應(yīng)的臨界值，根據(jù)關(guān)注NBA的學(xué)生的概率為，可知關(guān)注NBA的學(xué)生為32（估計(jì)值）.根據(jù)條件填滿表格，然后計(jì)算出，并判斷其與的大小關(guān)系，得出結(jié)論.（2）對于分布列問題：首先應(yīng)弄清隨機(jī)變量是誰以及隨機(jī)變量的取值范圍，然后就是每個(gè)隨機(jī)變量下概率的取值，最后列表計(jì)算期望.

試題解析：

(1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整有：

關(guān)注NBA不關(guān)注NBA合計(jì)男生22628女生101020合計(jì)321648由,計(jì)算可得

4分

因此，在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為學(xué)生關(guān)注NBA與性別有關(guān)，

即有把握認(rèn)為關(guān)注NBA與性別有關(guān)

6分

（2）由題意可知，X的取值為0，1，2，

,,

9分

所以X的分布列為

X012p9/3810/199/38

所以根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可知E（X）=1.

12分

【考點(diǎn)】（1）獨(dú)立性檢測應(yīng)用；（2）隨機(jī)變量的分布列與期望.

5.實(shí)驗(yàn)北校舉行運(yùn)動會，組委會招墓了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運(yùn)動，其余不喜愛.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表：

（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有多大的把握認(rèn)為性別與喜愛運(yùn)動有關(guān)？

(3)從不喜愛運(yùn)動的女志愿者中和喜愛運(yùn)動的女志愿者中各選1人，求其中不喜愛運(yùn)動的女生甲及喜愛運(yùn)動的女生乙至少有一人被選取的概率．

參考公式：（其中）

是否有關(guān)聯(lián)沒有關(guān)聯(lián)90%95%99%

【答案】（1）見解析；（2）性別與喜愛運(yùn)動沒有關(guān)聯(lián)；（3）.

【解析】（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)關(guān)鍵是計(jì)算出,并同概率表作對比，選擇適合的臨界值，得出是否具有相關(guān)性結(jié)論；（2）古典概型概率的計(jì)算，間接法：“1”減去既沒有甲乙的概率.

試題解析：（1）由已知得：

喜愛運(yùn)動不喜愛運(yùn)動總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430（2）由已知得：，則：（選擇第一個(gè)）.

則：性別與喜愛運(yùn)動沒有關(guān)聯(lián).

8分

（3）記不喜愛運(yùn)動的女生甲及喜愛運(yùn)動的女生乙至少有一人被選取為事件A，由已知得：從不喜愛運(yùn)動的女志愿者中和喜愛運(yùn)動的女志愿者中各抽取1人共有種方法，其中不喜愛運(yùn)動的女生甲及喜愛運(yùn)動的女生乙沒有一人被選取的共有種方法，則：

12分

【考點(diǎn)】（1）獨(dú)立性檢測；（2）古典概型.

6.一個(gè)口袋中裝有大小形狀完全相同的紅色球個(gè)、黃色球個(gè)、藍(lán)色球個(gè)．現(xiàn)進(jìn)行從口袋中摸球的游戲：摸到紅球得分、摸到黃球得分、摸到藍(lán)球得分．若從這個(gè)口袋中隨機(jī)地摸出個(gè)球，恰有一個(gè)是黃色球的概率是．

⑴求的值；⑵從口袋中隨機(jī)摸出個(gè)球，設(shè)表示所摸球的得分之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1），

（2）的分布列為：

.

【解析】（1）本小題為古典概型，基本事件的種數(shù)為：，事件：從口袋中隨機(jī)地摸出個(gè)球，有一個(gè)是黃色球的方法數(shù)為：，即可構(gòu)建關(guān)于的方程；（2）易知取值為，利用古典概型概率公式，易求的每個(gè)取值對應(yīng)的概率，從而可列出分布列，并求出數(shù)學(xué)期望.

試題解析：⑴由題意有，即，解得；

⑵取值為.

則，，，，

的分布列為：

故.

【考點(diǎn)】古典概型概率公式，分布列，數(shù)學(xué)期望公式.

7.設(shè)隨機(jī)變量服從，則的值是（

）A．B．C．D．【答案】A

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從，所以，故選A.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布.

8.某學(xué)校從4名男生和2名女生中任選3人作為參加上海世博會的志愿者，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(X≥1)＝________.

【答案】

【解析】P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)

＝＋＝

9.某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

(Ⅰ)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式.

(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：

日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310(i)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)；

(ii)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.

【答案】（1）76.4

（2）0.7

【解析】解：(Ⅰ).

(Ⅱ)(i)這100天的平均利潤為

(ii)銷量為16枝時(shí)，利潤為75元，故

當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為

【考點(diǎn)】函數(shù)與概率

點(diǎn)評：主要是考查了分段函數(shù)與均值以及概率的求解，屬于中檔題。

10.設(shè)為兩個(gè)事件，且，，則(

)A．與互斥B．與對立C．D．A、B、C都不對【答案】D

【解析】根據(jù)題意，由于互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，對立事件是特殊的互斥事件，那么可知，當(dāng)，，那么可知概率和為1，說明了A,B不一定對立，也不一定互斥，結(jié)合集合的并集思想可知，因此答案選D.

【考點(diǎn)】對立、互斥事件

點(diǎn)評：本題考查隨機(jī)事件的概率的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要了解對立、互斥事件的概率性質(zhì)

11.設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；

(2)若是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

【答案】(1)

(2)

【解析】記事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”，

當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.

(1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值．

事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝.

(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧|0≤a≤3,0≤b≤2}．

構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率為

P(A)＝＝.

【考點(diǎn)】等可能事件的概率

點(diǎn)評：本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會考這種類型的解答題．

12.從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球（不放回），則試驗(yàn)結(jié)束.

（Ⅰ）求第一次試驗(yàn)恰摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球概率；

（Ⅱ）記試驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

【答案】（1）

（2）X的分布列為

X1234P

【解析】．解：（I）

4分

（II）；

；

；；

X的分布列為

X1234P12分

14分

【考點(diǎn)】古典概型

點(diǎn)評：主要是考查了分布列的求解以及古典概型概率的公式的綜合運(yùn)用，屬于中檔題。

13.下列說法：

①正態(tài)分布在區(qū)間內(nèi)取值的概率小于0.5；

②正態(tài)曲線在一定時(shí)，越小，曲線越“矮胖”；

③若隨機(jī)變量，且，則

其中正確的命題有（

）A．①②B．②C．①③D．③【答案】D

【解析】正態(tài)分布在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于0.5，所以①不正確；正態(tài)曲線在一定時(shí)，越小，曲線越“高瘦”，所以②不正確；，則正態(tài)曲線以2為對稱軸，所以，所以③正確.

【考點(diǎn)】本小題主要考查正態(tài)曲線的理解與應(yīng)用.

點(diǎn)評：正態(tài)曲線是一類比較特殊的曲線，它的性質(zhì)經(jīng)?？疾椋獪?zhǔn)確把握.

14.在某一試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為，則在次試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率為（

）A．1－B．C．1－D．【答案】D

【解析】根據(jù)題意，由對立事件的意義，可得n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次，則A出現(xiàn)（n-k）次；進(jìn)而由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式，計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次，則A出現(xiàn)（n-k）次；根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式可得其概率，故答案為：D．

【考點(diǎn)】n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

點(diǎn)評：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式的運(yùn)用，解題時(shí)注意結(jié)合對立事件的意義，分析出n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次，則A出現(xiàn)（n-k）次；是解題的關(guān)鍵

15.將一顆骰子拋擲兩次，所得向上點(diǎn)數(shù)分別為，則函數(shù)在上為增函數(shù)的概率是

（

）A．B．C．D．【答案】B

【解析】將一骰子向上拋擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)分別為m和n的基本事件個(gè)數(shù)有36個(gè)．函數(shù)在[1，+∞）上為增函數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)為30個(gè)，利用古典概型公式即可得到答案．解：函數(shù)在[1，+∞）上為增函數(shù)，等價(jià)于導(dǎo)數(shù)y′=2mx2-n在[1，+∞）上大于或等于0恒成立．而x2≥

在[1，+∞）上恒成立即≤1．∵將一骰子向上拋擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)分別為m和n的基本事件個(gè)數(shù)為36個(gè)，而滿足≤1包含的（m，n）基本事件個(gè)數(shù)為30個(gè)，故函數(shù)在[1，+∞）上為增函數(shù)的概率是

=，故答案為B．

【考點(diǎn)】等可能事件的概率

點(diǎn)評：本題考查的是概率與函數(shù)的綜合問題，利用古典概型的特點(diǎn)分別求出基本事件的總數(shù)及所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題

16.某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是，出現(xiàn)綠燈的概率都是．記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為，當(dāng)這排裝飾燈閃爍一次時(shí)：

（1）求時(shí)的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）

3分

即時(shí)的概率為

4分

（2）法一：依題意，

12

法二：的可能取值為0，1，2，3，4

10分

12分

【考點(diǎn)】古典概型和二項(xiàng)分布

點(diǎn)評：主要是考查了概率的運(yùn)用，利用古典概型的概率以及二項(xiàng)分布的性質(zhì)來求解，屬于基礎(chǔ)題。

17.設(shè)隨機(jī)變量，且則等于（

）A．B．C．D．【答案】D

【解析】根據(jù)題意，由于隨機(jī)變量，且，故答案為D.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的期望和方差

點(diǎn)評：主要是考查了二項(xiàng)分布的期望值和方差的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

18.隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】D

【解析】根據(jù)題意，由于，那么可知，時(shí)，則可得概率和為1，即

，那么可知="P(X=1)+P(X=2)=",故選D.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的分布列

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，考查互斥事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目考查的內(nèi)容比較簡單，但是它是高考知識點(diǎn)的一部分

19.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶。某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中一次得2分，沒有命中得0分。該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立。假設(shè)該射手完成以上三次射擊。

（Ⅰ）求該射手恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.

【答案】（1）

（2）

X012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

【解析】解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）的可能取值為：0,1,2,3,4,5

,

X012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

【考點(diǎn)】獨(dú)立事件概率公式運(yùn)用

點(diǎn)評：主要是考查了分布列的求解和運(yùn)用，以及獨(dú)立事件概率的乘法公式，屬于基礎(chǔ)題。

20.（本小題滿分12分）

甲、乙兩運(yùn)動員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在8，9，10環(huán)，且每次射擊擊中與否互不影響．甲、乙射擊命中環(huán)數(shù)的概率如表：

8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲0.20.450.35乙0.250.40.35（Ⅰ）若甲、乙兩運(yùn)動員各射擊1次，求甲運(yùn)動員擊中8環(huán)且乙運(yùn)動員擊中9環(huán)的概率；

（Ⅱ）若甲、乙兩運(yùn)動員各自射擊2次，求這4次射擊中恰有3次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率．

【答案】(1)0.08．

(2)甲、乙兩運(yùn)動員各自射擊兩次，這4次射擊中恰有3次擊中9環(huán)以上的概率為

【解析】解：（Ⅰ）由已知甲射擊擊中8環(huán)的概率為0.2，乙射擊擊中9環(huán)的概率為0.4，則所求事件的概率為

P=0.2×0.4=0.08．

3分

（Ⅱ）記“甲運(yùn)動員射擊一次，擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）”為事件A，“乙運(yùn)動員射擊1次，擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）”為事件B，則

P(A)=0.35+0.45=0.8，P(B)=0.35+0.4=0.75．

5分

“甲、乙兩運(yùn)動員各自射擊兩次，這4次射擊中恰有3次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）”包含甲擊中2次、乙擊中1次，與甲擊中1次、乙擊中2次兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件為互斥事件．

甲擊中2次、乙擊中1次的概率為

；

8分

甲擊中1次、乙擊中2次的概率為

．

11分

故所求概率為

．

12分

答：甲、乙兩運(yùn)動員各自射擊兩次，這4次射擊中恰有3次擊中9環(huán)以上的概率為．

【考點(diǎn)】概率的求解和運(yùn)用

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于概率的加法公式和乘法公式的準(zhǔn)確運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。

21.連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a=（m,n）與向量b=（1,-1）夾角為，則（0，]的概率是

（

）A．B．C．D．【答案】C

【解析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)6×6，∵m＞0，n＞0，

∴向量a=（m,n）與向量b=（1,-1）不可能同向．∴夾角θ≠0．∵θ∈（0，】

a.b≥0，∴m-n≥0，即m≥n．

當(dāng)m=6時(shí)，n=6，5，4，3，2，1；

當(dāng)m=5時(shí)，n=5，4，3，2，1；

當(dāng)m=4時(shí)，n=4，3，2，1；

當(dāng)m=3時(shí)，n=3，2，1；

當(dāng)m=2時(shí)，n=2，1；

當(dāng)m=1時(shí)，n=1．

∴滿足條件的事件數(shù)6+5+4+3+2+1=21,故概率為，選C

【考點(diǎn)】本題主要考查了向量知識，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)．物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是由題意知本題是一個(gè)古典概型，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可以得到試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)，滿足條件的事件數(shù)要通過列舉得到，題目大部分內(nèi)容考查的是向量的問題，這是一個(gè)綜合題

22.某小組有2名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是(

)A．“至少有1名女生”與“都是女生”B．“至少有1名女生”與“至多1名女生”C．“至少有1名男生”與“都是女生”D．“恰有1名女生”與“恰有2名女生”【答案】D

【解析】整個(gè)事件的結(jié)果有“恰有1名女生”、“恰有2名女生”，“兩名都是男生”三個(gè)，并且事件之間是互斥的.因而“恰有1名女生”、“恰有2名女生”互斥但不對立.

23.在面積為S的△ABC的邊上取一點(diǎn)P，使△PBC的面積大于的概率是____________

【答案】

【解析】記事件A={△PBC的面積大于}，基本事件空間是線段AB的長度，

因?yàn)?，則有,化簡可得到：，

因?yàn)镻E平行AD則由三角形的相似性,所以，事件A的幾何度量為線段AP的長度，

因?yàn)?所以△PBC的面積大于的概率=.

24.某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:

周銷售量（單位：噸）234頻數(shù)205030⑴根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率;

⑵已知每噸該商品的銷售利潤為2千元,表示該種商品兩周銷售利潤的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨(dú)立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3

⑵分布列見解析，12.4（千元）

【解析】本小題主要考查頻率、概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力．考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件．

（1）由題意得到樣本容量是100，周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻數(shù)分別為20、50、30，利用樣本容量、頻數(shù)和頻率之間的關(guān)系得到周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3．

（2）由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)對立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到要求的結(jié)論，實(shí)際上本題的關(guān)鍵是理解題意，看清題目的本質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題．

解：（1）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3.

……3分

（2）的可能值為8，10，12，14，16，

……4分

P（=8）=0.22=0.04,

P（=10）=2×0.2×0.5=0.2,

……6分

P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,

P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,

P（=16）=0.32=0.09.

……9分

則的分布列為

……10分=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）

……12分

25.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個(gè)數(shù)字,記為,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為,其中,若,就稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,則他們“心有靈犀”的概率為(

)A．B．C．D．【答案】D

【解析】總的基本結(jié)果有種，則事件,包含(a,b)有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)..

26.一個(gè)正方形的內(nèi)切圓半徑為2，向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P,點(diǎn)P恰好落在圓內(nèi)的概率是__________。

【答案】：π/4

【解析】解：正方形的邊長為2×2=4，面積為：42=16，

∵內(nèi)切圓的面積為π×22=4π，

點(diǎn)P恰好落在圓的部分的概率是：

∴d/D=4π/16=π/4故答案為：π/4．

27.4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為

【答案】

【解析】解：從4張卡片中任意抽取兩張，則所有的情況有種，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)，說明奇數(shù)=奇數(shù)+偶數(shù)，故有，因此利用古典概型可知概率為

28.已知線段AB=1，P、Q在線段AB上，則|PQ|<的概率為（

）A．B．C．D．【答案】C

【解析】此題考查幾何概型的計(jì)算公式；幾何概型的概率可以是線段長度的比、面積的比、體積的比等；已知線段，在線段AB上任意取兩點(diǎn)P、Q，設(shè)P、Q坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)滿足：，對應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：則陰影部分面積是，所以|PQ|<的概率為：陰影部分面積除以邊長為1的正方形的面積，即為，選C

29.將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n，向量=(m,n),=(3,6),則向量與共線的概率為[

【答案】

【解析】略

30.取一個(gè)正方形及其它的外接圓，隨機(jī)向圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入正方形外的概率為（

）A．B．C．D．【答案】B

【解析】此題為概率中的幾何概型問題。有條件可知，落入正方形外的概率P=圓內(nèi)正方形外的面積/圓的面積。假設(shè)圓半徑為1，則正方形邊長為,圓面積等于π，正方形面積等于2.所以選B。

31.（本小題滿分10分）

甲、乙兩人做出拳游戲（錘子、剪刀、布），求：

（1）平局的概率；

（2）甲贏的概率；

【答案】解.：甲有3種不同的出拳方法，每一種出法是等可能的，乙同樣有等可能的3種不同出法.

一次出拳游戲共有3×3=9種不同的結(jié)果，可以認(rèn)為這9種結(jié)果是等可能的.所以一次游戲（試驗(yàn)）是古典概型.它的基本事件總數(shù)為9.

平局的含義是兩人出法相同，例如都出了錘.甲贏的含義是甲出錘且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出錘這3種情況.乙贏的含義是乙出錘且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出錘這3種情況.

設(shè)平局為事件A，甲贏為事件B，乙贏為事件C.

容易得到：

（1）平局含3個(gè)基本事件（圖中的△）；

（2）甲贏含3個(gè)基本事件（圖中的⊙）；

由古典概率的計(jì)算公式，可得

P（A）；P（B）

【解析】略

32.（本題8分）甲、乙、丙三人獨(dú)立完成某項(xiàng)任務(wù)的概率分別為。且他們是否完成任務(wù)互不影響。

（Ⅰ）若，設(shè)甲、乙、丙三人中能完成任務(wù)人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

（Ⅱ）若三人中只有丙完成了任務(wù)的概率為，求的值

【答案】解：設(shè)“甲、乙、丙三人各自完成任務(wù)”分別為事件，

所以，，，且相互獨(dú)立。

………………1分

（Ⅰ）的所有可能取值為。

因?yàn)椋浴?/p>

所以，

，

，

………………3分

所以分布列為：

………………5分

所以，。

………………6分

（Ⅱ）設(shè)“三人中只有丙完成了任務(wù)”為事件B，

所以，

所以

所以。

………………8分

【解析】略

33.(本題5分)若，且，則稱集合是“兄弟集合”。在集合中的所有非空子集中任選一個(gè)集合，則該集合是“兄弟集合”的概率是

。

【答案】

【解析】略

34.（本題10分）甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動員射中目標(biāo)的概率分別為（0＜a＜1），三各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為。

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）若的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【答案】設(shè)“甲、乙、丙三名運(yùn)動員各射擊一次擊中目標(biāo)”分別為事件，，，

所以,，且，，相互獨(dú)立。

………………1分

（Ⅰ）的可能取值為0，1，2，3。

所以，

。

所以的分布列為

……………4分

（Ⅱ）因?yàn)?/p>

所以。

…6分

所以又，

解得，

所以a的取值范圍是。

……………10分

【解析】略

35.（本小題滿分12分）學(xué)習(xí)小組有6個(gè)同學(xué)，其中4個(gè)同學(xué)從來沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，2個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動.

（1）現(xiàn)從該小組中任選2個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率；

（2）若從該小組中任選2個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，活動結(jié)束后，求該小組沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)個(gè)數(shù)取2，3，4時(shí)的概率

【答案】解：（1）記“恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)”為事件的,

則其概率為

………4分

答：恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率為

………5分

（2）隨機(jī)變量

……6分

………8分

………12分

【解析】略

36.（本小題滿分12分）學(xué)習(xí)小組有6個(gè)同學(xué)，其中4個(gè)同學(xué)從來沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，2個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動.

（1）現(xiàn)從該小組中任選2個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率；

（2）若從該小組中任選2個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，活動結(jié)束后，該小組沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】解：（1）記“恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)”為事件的,

則其概率為

………4分

答：恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率為

………5分

（2）隨機(jī)變量

……6分

………8分

………10分

∴隨機(jī)變量的分布列為

234P

∴

……12分

【解析】略

37.小明通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小明周末不在家看書的概率為

．

【答案】

【解析】略

38.乒乓球按其顏色分為白、黃兩色，按質(zhì)量優(yōu)劣分為☆、☆☆、☆☆☆三等，現(xiàn)袋中有6個(gè)不同的球，從中任取2個(gè)，事件

“取到的2個(gè)球☆個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件

“取到的2個(gè)球同色”，則(

)A．B．C．D．【答案】B

【解析】此題考查條件概率的知識

思路：表示事件B在事件A發(fā)生的條件下的概率。

因?yàn)轭}目中說明“現(xiàn)袋中有6個(gè)不同的球”，所以白球的情況：白1，白2，白3，黃球的情況：黃1，黃2，黃3。

事件A發(fā)生的可能情況：白1白2，白1黃2，白2白3，白2黃1，白2黃3，白3黃2，黃1黃2，黃2黃3，共有8種。

事件B發(fā)生的可能情況：白1白2，白2白3，黃1黃2，黃2黃3，共有4種

答案

D

點(diǎn)評：“從中任取2個(gè)”的意思是一次性抓兩個(gè)。

39.有一批種子，每一粒發(fā)芽的概率為，播下粒種子，恰有粒發(fā)芽的概率為A．B．C．D．【答案】C

【解析】略

40.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下：

X0123p

則X的數(shù)學(xué)期望為

【答案】

【解析】【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．

分析：根據(jù)所給的分布列和分布列的性質(zhì)，寫出關(guān)于p的等式，解出p的值，算出X的期望值，從而得到結(jié)論．

解：由已知得+++p=1

解得：p=

∴E（X）=0×+1×+2×+3×=

41.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為

（

）A．B．C．D．【答案】B

【解析】略

42.在道題中有道選擇題和道填空題．如果不放回地依次抽取道題，則在第一次抽到

選擇題的條件下，第次抽到選擇題的概率為

．

【答案】

【解析】由已知中5道題中如果不放回地依次抽取2道題．在第一次抽到理科題的條件下，剩余4道題中，有2道理科題，代入古典概型公式，得到概率

解：因?yàn)?道題中有3道理科題和2道文科題，

所以第一次抽到理科題的前提下，第2次抽到理科題的概率為P=2/4=1/2

43.（本小題滿分8分）

從名男生和名女生中任選人參加演講比賽．設(shè)隨機(jī)變量表示所選人中女生的人數(shù)．

(Ⅰ)求的分布列；(結(jié)果用數(shù)字表示)

（Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望．

【答案】解：(Ⅰ)

（Ⅱ）

【解析】略

44.（本小題滿分10分）

擺地?cái)偟哪硵傊髂昧藗€(gè)白的，個(gè)黑的圍棋子放在一個(gè)口袋里，并規(guī)定凡愿意摸彩者每人交一元錢作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出個(gè)棋子，中彩情況如下：

摸棋子個(gè)白棋子個(gè)白棋子個(gè)白棋子其它彩金元元紀(jì)念品（價(jià)值角）同樂一次（無任何獎(jiǎng)品）(Ⅰ)某人交一元錢作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出個(gè)棋子，求獲得彩金元的概率；

（Ⅱ）某人交一元錢作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出個(gè)棋子，求無任何獎(jiǎng)品的概率；

（Ⅲ）按摸彩次統(tǒng)計(jì)，攤主可望凈賺約多少錢？（精確到個(gè)位）

【答案】(Ⅰ)

（Ⅱ）

（Ⅲ）中2元的概率

中5角的概率

按摸彩1000次統(tǒng)計(jì)，賭主可望凈賺的錢數(shù)

【解析】略

45.在一次反恐演習(xí)中，我方三架武裝直升機(jī)分別從不同方位對同一目標(biāo)發(fā)動攻擊（各

發(fā)射一枚導(dǎo)彈），由于天氣原因，三枚導(dǎo)彈命中目標(biāo)的概率分別為0.9，0.9，0.8，若至少

有兩枚導(dǎo)彈命中目標(biāo)方可將其摧毀，則目標(biāo)被摧毀的概率為（

）A．0.998B．0.954C．0.002D．0.046【答案】B

【解析】

46.(本小題滿分12分)甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，

甲先從道備選題中一次性抽取道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余題，每人答對其中

題就停止答題，即闖關(guān)成功．已知在道備選題中，甲能答對其中的道題，乙答對每道題

的概率都是．

（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；

（Ⅱ）設(shè)甲答對題目的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

【答案】、解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件，則

，………2分

，………………4分

所以，甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是：

………………6分

（Ⅱ）由題意，知ξ的可能取值是、．，

則的分布列為

………………10分

∴

．………12分

【解析】略

47..(本小題滿分12分)

某科技公司遇到一個(gè)技術(shù)性難題，決定成立甲、乙兩個(gè)攻關(guān)小組，按要求各自單獨(dú)進(jìn)行為期一個(gè)月的技術(shù)攻關(guān)，同時(shí)決定對攻關(guān)期限內(nèi)就攻克技術(shù)難題的小組給予獎(jiǎng)勵(lì)．已知此技術(shù)難題在攻關(guān)期限內(nèi)被甲小組攻克的概率為，被乙小組攻克的概率為．

（1）設(shè)為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)，求的分布列及；

（2）設(shè)為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)與沒有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)之差的平方，記“函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”為事件，求事件的概率．

【答案】解：記“甲攻關(guān)小組獲獎(jiǎng)”為事件A，則，記“乙攻關(guān)小組獲獎(jiǎng)”為事件B，則．

（I）由題意，ξ的所有可能取值為0，1，2．

-------1分，，

ξ012P∴ξ的分布列為：

----------------5分

∴．

---6分

（II）∵獲獎(jiǎng)攻關(guān)小組數(shù)的可能取值為0，1，2，相對應(yīng)沒有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組的取值為2，1，0．

∴η的可能取值為0，4．

------------9分

當(dāng)η=0時(shí),在定義域內(nèi)是減函數(shù)．

當(dāng)η=4時(shí),在定義域內(nèi)是增函數(shù)．

-------------10分

∴．

-----12分

【解析】略

48.(本小題滿分12分)

已知3名志愿者在10月1號至10月5號期間參加2011年國慶節(jié)志愿者活動工作．

（1）若每名志愿者在5天中任選一天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志原者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作的概率；

（2）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，記表示這3名志愿者在10月1號參加志愿者服務(wù)工作的人數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．

【答案】解：（1）3名志愿者每人任選一天參加社區(qū)服務(wù)，共有種不同的結(jié)果，

這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．

設(shè)“3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作”為事件A，

則該事件共包括種不同的結(jié)果，所以

答：3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作的概率為

…………6分

（II）解法1：隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3

，

，

…………8分

隨機(jī)變量ξ的分布列為：

0123P

…………12分

解法2：每名志愿者在10月1日參加社區(qū)服務(wù)的概率均為

…………8分

則三名志愿者在10月1日參加社區(qū)服務(wù)的人數(shù)

，

…………12分

【解析】略

49.把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，向量，則向量的概率是

（

）A．B．C．D．【答案】略

【解析】析：先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求出a，b的關(guān)系，進(jìn)而求出滿足a，b的事件數(shù)，再與基本事件數(shù)相除即可得到答案．

解答：解：∵∴=0

∴（a，b）?（1，-2）=a-2b=0，即a=2b

把一顆骰子投擲兩次的基本事件數(shù)一共為36，設(shè)a=2b時(shí)的事件為A，則事件A的個(gè)數(shù)為3

故p（A）==

故選B．

50.某人有九把鑰匙，其中只有一把是開辦公室門的，現(xiàn)隨機(jī)抽取一把，取后不放回，則恰在第5次打開此門的概率為

▲

．

【答案】

【解析】【考點(diǎn)】等可能事件的概率．

分析：法一：設(shè)能開辦公室門的鑰匙為A，恰在第5次打開此門，由排列公式可得前4次沒有取出A的情況數(shù)目，又可得前5次取鑰匙的情況數(shù)目，由等可能事件的概率計(jì)算可得答案；

法二：依題意易得抽取鑰匙為簡單隨機(jī)抽樣，根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)易得答案．

解：法一：設(shè)能開辦公室門的鑰匙為A，

恰在第5次打開此門，則前4次沒有取出A，有A84種情況，

而前5次取出鑰匙，有A95種情況，

則恰在第5次打開此門的概率==；

法二：根據(jù)題意，易得抽取鑰匙為簡單隨機(jī)抽樣，

則能開辦公室門的鑰匙在第幾次取出的概率都相等，均為，

則恰在第5次打開此門的概率；

故答案為．

51.若隨機(jī)變量η的分布列如下：

01230.10.20.20.30.10.1則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．x≤2B．1≤x≤2C．1＜x≤2D．1＜x＜2【答案】C

【解析】略

52.設(shè)，則等于（）A．1.6B．3.2C．6.4D．12.8【答案】C

【解析】【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．

分析：根據(jù)設(shè)隨