2024年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)3函數(shù)的概念與性質(zhì)（8種題型10個易錯考點(diǎn)）含詳解

考點(diǎn)03函數(shù)的概念與性質(zhì)(8種題型10個易錯考點(diǎn))

?【課程安排細(xì)目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、易錯分析

五、刷好題

六.刷壓軸

至一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題(共3小題)

1.（2022?上海）下列函數(shù)定義域為R的是(）

11—1

1

A.產(chǎn)*2B.y=x'C.y=x3D.y=x2

2.（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(）

A.y=sinxB.y=cosxC.尸小D.y=2x

3.（2021?上海）以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)()

A.y=-3xB.y=xiC.y=\og3xD.y=3x

填空題(共2小題)

4.(2020?上海)若函數(shù)y=a*3*+-L為偶函數(shù)，則a=.

3X

5.(2022?上海)設(shè)函數(shù)/(x)滿足f(x)=f(」一)對任意后0，+8)都成立，其值域是A/,已知對任何滿足上

1+x

述條件的/(x)都有{y|y=f(x),0^x^a]=Af,則”的取值范圍為.

三.解答題(共3小題)

6.(2020?上海)已知非空集合AUR,函數(shù)y=/(x)的定義域為。，若對任意作A且在￡),不等式/(x)W/(x+f)

恒成立，則稱函數(shù)/(x)具有A性質(zhì).

(1)當(dāng)A={-1},判斷f(JC)=-x、g(x)=2x是否具有A性質(zhì)；

(2)當(dāng)人=(0,1),f(x)—x+—,x￡[a,+°°),若/.(x)具有A性質(zhì)，求a的取值范圍；

x

(3)當(dāng)4={-2,機(jī)},，“€Z,若。為整數(shù)集且具有A性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的根的值.

7.(2021?上海)已知函數(shù)f(x)=V|x+aI-a-x.

(1)若a=l,求函數(shù)的定義域；

(2)若a#0,若/(以)=。有2個不同實(shí)數(shù)根，求”的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)”，使得函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出〃的取值范圍.

8.(2021?上海)已知xi,X2GR,若對任意的X2-X1W5,f(%2)-/(xi)&S,則有定義：/(x)是在S關(guān)聯(lián)的.

(1)判斷和證明f(x)=2%-1是否在［0,+8)關(guān)聯(lián)？是否有［0,1］關(guān)聯(lián)？

(2)若/(x)是在｛3｝關(guān)聯(lián)的，f(x)在花［0,3)時，f(x)=?-2x,求解不等式：20(K)W3.

(3)證明：/(%)是｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的，當(dāng)且僅當(dāng)“于(x)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的

Q二、考點(diǎn)清單

1.函數(shù)的概念

設(shè)4,6是兩個非空數(shù)集,如果按照確定的法則f,對月中的任意數(shù)都有唯一確定的數(shù)3與它對應(yīng),那么就稱差—

4-6為從集合力到集合8的一個函數(shù),記作y=f(x),x^A.

2.函數(shù)的定義域、值域

(D函數(shù)y=f(x)自變量取值的范圍(數(shù)集⑷叫做這個函數(shù)的定義域；所有函數(shù)值構(gòu)成的集合bdy=f(x),xG/｝叫

做這個函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)法則完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

(1)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.

5.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=F(x)的定義域為4區(qū)間，仁人如果取區(qū)間"中任意兩個值

由，X2,改變量Ax=X2—由>0,則當(dāng)

定義A1=—f(X)>0時,就稱

△y=f(%)—f(汨)<0時，就稱函數(shù)y

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間，"上是增函

=f(x)在區(qū)間"上是減函數(shù)

數(shù)

”/=/(*)

?//■(&)

圖象描:火陽)；及2)

O?~

述-Opi~~~*

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù),就說這個函數(shù)在這個區(qū)間〃上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單

調(diào)區(qū)間.

6.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實(shí)數(shù),"滿足

(1)對于任意xe/,都有f(于WM；(3)對于任意xe/,都有約旦；

條件

(2)存在I,使得f(%0)=，)/(4)存在刖e/,使得/■(x0)=M

結(jié)論M為最大值"為最小值

7.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

設(shè)函數(shù)y=F(x)的定義域為D,如果對〃內(nèi)的任意一個x,

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱

都有一且〃-X)=-f(x),則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域為〃如果對〃內(nèi)的任意一個筋

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

都有一/￡〃，且g(—x)=g(x),則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)

8.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù):對于函數(shù)y=F(X),如果存在一個非零常數(shù)71，使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的任何值時，都有7)=F(x),

那么就稱函數(shù)尸/Xx)為周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做/Xx)的埴小正

周期.

0三、題型方法

一.函數(shù)的定義域及其求法(共3小題)

1.(2023?虹口區(qū)二模)函數(shù))，=欣(x-1)+/1一的定義域為_____________.

Vx2-4

2.(2023?普陀區(qū)二模)函數(shù)丫再工的定義域為.

3.(2023?浦東新區(qū)模擬)函數(shù)y=lg(-x)l/2的定義域為______________.

Vx*12-34561

二.函數(shù)的值域(共1小題)

4.(2023?虹口區(qū)二模)對于定義在R上的奇函數(shù)y=/(x),當(dāng)x>0時，f(x)=2*+-”，則該函數(shù)的值域

2X+1

為.

三.函數(shù)解析式的求解及常用方法(共1小題)

5.(2023?寶山區(qū)校級模擬)已知函數(shù)f(x)=x」"(xRl,2])的圖象的兩個端點(diǎn)分別為A、B,設(shè)M是函

X

數(shù)/(x)圖象上任意一點(diǎn)，過M作垂直于x軸的直線/,且/與線段A3交于點(diǎn)N,若恒成立，則。的最

大值是.

四.函數(shù)的圖象與圖象的變換(共2小題)

6.(2023?黃浦區(qū)模擬)設(shè)a",c,於R,若函數(shù)尸/+/+cx+4的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.。>0,c>0B.b>0,c<0C.。<0,c>0D.b<0,c<0

7.（2023?上海模擬）已知函數(shù)yT—,則其圖象大致是（）

X1

e-1

A.B.

C.?D.

五.函數(shù)的最值及其幾何意義（共3小題）

8.（2023?浦東新區(qū)校級一模）函數(shù)/（X）—X,g（x）—x1-x+2.若存在xi,X2，…,x,￡[0,方，使得/（xi）+f

（X2）+?"+/'（x,i-l）+g（X"）—g（XI）+g（X2）+…+g（xn-1）+f（xn）,則〃的最大值是（）

A.11B.13C.14D.18

9.（2023?徐匯區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x+曳+b，"版+8）,其中6>0,?GR,若/（x）的最小值為2,則實(shí)數(shù)

x

a的取值范圍是.

10.（2023?浦東新區(qū)二模）函數(shù)y=log°xH------\—「在區(qū)間（上，上的最小值為

y1OSX

2lOg4（2x）/

六.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷（共6小題）

11.（2023?閔行區(qū)二模）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的為（）

A.y=0B.六C.D.y=2x

12.（2023?楊浦區(qū)二模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（-8,0）上嚴(yán)格遞減的是（）

A.y=2wB.y=ln(-x)C.D.廿一用

“jAyVA

2

13.（2023?奉賢區(qū)二模）已知）=八如為/?上的奇函數(shù)，且當(dāng)》20時，￡6）吟-§111年+1）*13。耳乂+2，

則y=fa）的駐點(diǎn)為______________________

14.（2023?金山區(qū)二模）已知y=/（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x^O時，火》）=2?+#-1,貝U火-2）=

15.（2023?靜安區(qū)二模）己知函數(shù)f（x）（a>0）為偶函數(shù)，則函數(shù)/G）的值域為

2X+1

16.（2023?寶山區(qū)校級模擬）設(shè)定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）,當(dāng)x>0時，/（%）=2、-4,則不等式fG）W0的

解集是

七.奇偶性與單調(diào)性的綜合(共3小題)

17.(2023?崇明區(qū)二模)下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)的為()

A.f(x)=tanxB.f(x)=」

x

C.f(x)—x-cosxD.f(x)-ex

18.(2023?浦東新區(qū)模擬)下列函數(shù)在定義域中，既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格減函數(shù)的是()

A.y--InxB.y」C.y—^-exD.y=-x|x|

x

19.(2023?浦東新區(qū)校級三模)下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是()

A.f(x)=tanxB.f(x)=x-—

x

C.f(x)=x-cosxD.f(x)=x(F+m

八.函數(shù)恒成立問題(共6小題)

20.(2023?浦東新區(qū)三模)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x).對任意區(qū)間團(tuán)，川和。日〃，b],若存在開區(qū)間/,使得

ce/n[a,b],且對任意尤/nm，b](xWc)都成立y(x)</(c),則稱c為/Xx)在口，句上的一個“M點(diǎn)”.有

以下兩個命題：

①若/(xo)是f(x)在區(qū)間[a,句上的最大值，則xo是/(X)在區(qū)間3,勿上的一個M點(diǎn)；

②若對任意。<從匕都是/(x)在區(qū)間3,句上的一個M點(diǎn)，則/(x)在R上嚴(yán)格增.

那么()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

21.(2023?金山區(qū)二模)已知函數(shù)y=/(x)和)，=g(x)的表達(dá)式分別為f(*)x?-4x，g(、)=4^-。1，若

對任意X[￡[1,我]，若存在X2H-3,0],使得g(xi)〈火m),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

22.(2023?長寧區(qū)二模)若對任意x6[l,2],均有-“|+|/切=|?+衛(wèi)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

23.(2023?奉賢區(qū)二模)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是/(x).若存在常數(shù)〃？(.6R),使得f(x+〃7)

=-f(x)對一切x恒成立，那么稱函數(shù)y=f(x)具有性質(zhì)P(w).

(1)求證：函數(shù)y=〃不具有性質(zhì)產(chǎn)(相)；

(2)判別函數(shù)丁=4四是否具有性質(zhì)P(機(jī)).若具有求出機(jī)的取值集合；若不具有請說明理由.

24.(2023?松江區(qū)模擬)已知人(x)=\x\+\x-a\,其中aCR.

(1)判斷函數(shù)丫=%(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)。=4時，對任意非零實(shí)數(shù)c,不等式fa(t)42|cd|均成立，求實(shí)數(shù)『的取值范圍.

25.(2023?黃浦區(qū)模擬)定義在R上的函數(shù)y=/(x),y—g(x),若(xi)-f(X2)|冽g(xi)-g(X2)|對任意

的xi,X2€R成立，則稱函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=/(x)的“從屬函數(shù)

(1)若函數(shù)y=g(JC)是函數(shù)(x)的"從屬函數(shù)“且y=/(x)是偶函數(shù)，求證：y=g(無)是偶函數(shù)；

(2)若f(x)=ax+e*，g(x)=W^7,求證：當(dāng)時，函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=f(x)的“從屬函數(shù)”；

(3)設(shè)定義在R上的函數(shù)y=/(x)與y=g(x),它們的圖像各是一條連續(xù)的曲線，且函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y

=/(x)的“從屬函數(shù)”.設(shè)a：“函數(shù)y=/(x)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)或嚴(yán)格減函數(shù)”；0：“函數(shù)y=g(x)在R

上為嚴(yán)格增函數(shù)或嚴(yán)格減函數(shù)”，試判斷a是0的什么條件？請說明理由.

Q四、易錯分析

易錯點(diǎn)1:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間忽視定義域致錯

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

C.[0,+8)D.(一8,-3]

易錯點(diǎn)2：判斷函數(shù)的奇偶性忽視定義域致錯

判斷函數(shù)f(x)=的奇偶性:

易錯點(diǎn)3：有關(guān)分段函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯

K1,

設(shè)函數(shù)f(x)=則使得“X)>1的自變量X的取值范圍為—

4—1,

易錯點(diǎn)4：有關(guān)抽象函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯

設(shè)aGR,已知函數(shù)y=f(x)是定義在[-4,4]上的減函數(shù)，且F(a+l)>f(2a),則a的取值范圍是(

A.[-4,1)B.(1,4]C.(1,2]I).C.(1,+°°)

易錯點(diǎn)5：有關(guān)分段函數(shù)的單調(diào)性問題忽視端點(diǎn)值致錯

'x+1,XI,

己知函數(shù)f(x)=..、在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

x—2ax,后1

易錯點(diǎn)6：有關(guān)奇函數(shù)的解析式忽視自變量0的函數(shù)值致錯

已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時，f{x)=x+x-\,則函數(shù)Ax)的解析式為—

易錯點(diǎn)7：使用換元法忽視新變量的取值范圍致錯

若/'(29=4*-2",則f(x)-________.

易錯點(diǎn)8：忽視零點(diǎn)存在性定理前提條件而致錯

對于函數(shù)/>(X),若H—l)f(3)<0,貝I")

A.方程F(x)=0一定有實(shí)數(shù)解B.方程f(x)=0一定無實(shí)數(shù)解

C.方程/'(x)=0一定有兩實(shí)根D.方程/'(x)=0可能無實(shí)數(shù)解

易錯點(diǎn)9：搞不清復(fù)合函數(shù)的自變量而致錯

已知/的定義域為[0,3],則f(2x-l)的定義域是()

C.1,—1U----,0D.(—8,—

_2jL2JI2」

易錯點(diǎn)10：搞不清函數(shù)圖象左右平移規(guī)則而致錯

將函數(shù)y=F(-x)的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象.

Q五、刷好題

一.函數(shù)的定義域及其求法(共2小題)

1.(2021?黃浦區(qū)三模)函數(shù)f(x)=A/l-lgx的定義域為

2.(2021?黃浦區(qū)三模)如圖，某城市設(shè)立以城中心O為圓心、，公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城

中心O正東方向上有一條高速公路PB,西南方向上有一條一級公路QC,現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點(diǎn)

4作為出口，建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC.已知通往一級公路的道路4c每公里造價為?萬元，

通往高速公路的道路A8每公里造價是根2a萬元，其中a,匕加為常數(shù)，設(shè)NPOA=0,總造價為y萬元.

(1)把y表示成6的函數(shù)y=/(。)，并求出定義域；

(2)當(dāng)皿=駕返■時，如何確定A點(diǎn)的位置才能使得總造價最低？

北

二.函數(shù)的值域(共1小題)

3.(2021?徐匯區(qū)校級三模)下列函數(shù)中，與函數(shù)y=/的值域相同的函數(shù)為()

A.y=(―)㈤B.y—ln(x+1)C.D.y—x+—

2xx

三.函數(shù)的圖象與圖象的變換(共2小題)

5.(2022?楊浦區(qū)模擬)定義域為口，句的函數(shù)y=f(x)圖象的兩個端點(diǎn)為4(a,f(a)),B(b,/(/?)),M(x,

y)是y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作垂直于x軸的直線/交線段AB于點(diǎn)N(點(diǎn)M與點(diǎn)N可以重合)，我

們稱I而I的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域為［1，2］上的函數(shù)中，曲徑最小的是()

n[jr

A.y=/B.y=—C.y=x--D.^^sin-^-x

xx3

四.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(共2小題)

6.(2021?浦東新區(qū)三模)函數(shù)丫=4可的單調(diào)遞減區(qū)間為.

7.(2021?徐匯區(qū)校級三模)函數(shù)y=/gsin2x的單調(diào)遞減區(qū)間為.

五.函數(shù)的最值及其幾何意義(共2小題)

3sin2x,x40

8.(2022?浦東新區(qū)校級模擬)若分段函數(shù)/(x)=\，將函數(shù)y=|/(x)bxE{m,川的最

2X-3,X>0

大值記作川，那么當(dāng)-2W?iW2時，Z2[m,加+4]的取值范圍是.

9.(2021?金山區(qū)二模)設(shè)/”為給定的實(shí)常數(shù)，若函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)xo,使得/(xo+m)=/(刈)

+fCm)成立，則

稱函數(shù)/(x)為“G(m)函數(shù)

(1)若函數(shù)/(X)=2、為“G(2)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)刈的值；

(2)若函數(shù)/(X)=k_品一，為“G(1)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)已知f(x)=x+b(6eR)為“G(0)函數(shù)”，設(shè)g(x)=小-4|.若對任意的xi,X2G[O>t],當(dāng)x\^x2時,

都有■!_男二!成立,求實(shí)數(shù)？的最大值.

f(X1)-f(x2)

六.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷(共2小題)

10.(2021?長寧區(qū)二模)設(shè)f(x)(ae{-2,-1,—,—,1,2}),則“y=f(x)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,1)”是

32

“y=/(x)是偶函數(shù)”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

TT

11.(2021?奉賢區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)=lg(1-cos2x)+cos(x+6),6e[0,—

2

(1)討論函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)設(shè)。>0,解關(guān)于x的不等式/(_2L+x)-/(變-x)<0.

44

七.抽象函數(shù)及其應(yīng)用(共1小題)

12.(2021?上海模擬)設(shè)/(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系/(10+x)=f(10-x),f(20-x)

=-f(20+x),則/(x)是()

A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)

B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

八.函數(shù)恒成立問題(共4小題)

13.(2021?浦東新區(qū)校級三模)已知實(shí)數(shù)。>0,函數(shù)/(x)=—2—,g(x)=x+a,若對任意工日-2a,2a],總

1+ax2

存在jc2e[-2m2a],使得/(X2)Wg(xi),則〃的最大值為.

14.(2021?徐匯區(qū)二模)已知實(shí)數(shù)a、b使得不等式位2+/+a|Wx對任意尤口，2]都成立，在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，點(diǎn)(“2)形成的區(qū)域記為C.若圓？+尸=/上的任一點(diǎn)都在。中，則廠的最大值為.

15.(2021?寶山區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)=3-21og2x,g(x)=log2X.

(1)當(dāng)4]時，求函數(shù)〃(x)=[f(x)+l]?g(x)的值域；

(2)給定〃€N,如果對任意的x€[2",2n+l],不等式f鼠2)(4)>k，g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范

圍.

16.(2021?黃浦區(qū)三模)已知函數(shù)/(X)(“為實(shí)常數(shù)).

2X+1

(1)討論函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)/(x)為奇函數(shù)時，對任意x€[l,6],不等式/(x)2」二二恒成立，求實(shí)數(shù)"的最大值.

2X

口3八.刷壓軸

一、填空題

—x＞0

1.(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)若函數(shù)y=e'一的圖像上點(diǎn)A與點(diǎn)8、點(diǎn)C與點(diǎn)。分別關(guān)于原點(diǎn)對稱，除此之

ar2,x＜0

外，不存在函數(shù)圖像上的其它兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

2.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=x+?+6,XG［/，,+8),其中＞＞0,aeR,若f(x)的最小值為

2,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

二、解答題

3.(2023■上海徐匯,位育中學(xué)校考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(力=/一以-a,aeR.

⑴判斷函數(shù)/(x)的奇偶性；

⑵若函數(shù)尸(x)=x?〃x)在x=l處有極值，且關(guān)于x的方程/(力=加有3個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

⑶記g(x)=-e"(e是自然對數(shù)的底數(shù)).若對任意陽、&e［0,e］且不＞々時，均有|/(不＜|g(%

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2023?上海金山?統(tǒng)考一模)若函數(shù)y=/(x)是其定義域內(nèi)的區(qū)間/上的嚴(yán)格增函數(shù)，而y=是/上的嚴(yán)格

X

減函數(shù)，則稱y=/(x)是/上的"弱增函數(shù)”.若數(shù)列｛4｝是嚴(yán)格增數(shù)列，而｛今｝是嚴(yán)格減數(shù)列，則稱｛“"｝是"弱增數(shù)

列”.

⑴判斷函數(shù)尸底是否為(e,+8)上的"弱增函數(shù)"，并說明理由(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))；

⑵已知函數(shù)y=〃x)與函數(shù)y=-2d-4x-8的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，若y=/(x)是［加,〃］上的"弱增函數(shù)"，求

"一機(jī)的最大值；

⑶已知等差數(shù)列｛%｝是首項為4的“弱增數(shù)列"，且公差d是偶數(shù).記｛%｝的前〃項和為S,,設(shè)=3黃(〃是正整

數(shù)，常數(shù)22-2),若存在正整數(shù)上和加，使得機(jī)＞1且￡=圖，求2所有可能的值.

5.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)己知〃x)=x+2sinx,等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S“，記=

/=1

⑴求證：函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(巴萬)中心對稱；

⑵若4、/、%是某三角形的三個內(nèi)角，求心的取值范圍；

(3)若53=100萬，求證：7]oo=lOO^-.反之是否成立？并請說明理由.

6.(2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測)設(shè)y=/("是定義在R上的奇函數(shù).若y=/區(qū)(x>0)是嚴(yán)格

X

減函數(shù),則稱y=/(x)為“。函數(shù)

⑴分別判斷y=-xN和y=si1u:是否為。函數(shù)，并說明理由；

(2)若y=是。函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍；

⑶己知奇函數(shù)y=尸(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=9(力定義域均為R.判斷"y=F'(x)在(0,+8)上嚴(yán)格減"是"y=/(力為。函

數(shù)”的什么條件，并說明理由.

7.(2023?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學(xué)?？既?定義：如果函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖像上分別存在點(diǎn)M和N

關(guān)于X軸對稱，則稱函數(shù)y=/(x9”=g(x)具有c關(guān)系.

⑴判斷函數(shù)=log2(8V)和g(x)=log：是否具有C關(guān)系；

⑵若函數(shù)〃x)=a在萬和g(x)=-x-l不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑶若函數(shù)〃x)=xe'和g(x)=〃?sinxW<0)在區(qū)間(0,兀)上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

8.(2023?上海普陀?曹楊二中?？寄M預(yù)測)對于函數(shù)/(x)和g(x),設(shè)集合A=W”x)=0,xeR},

3={Xg(x)=0,xeR},若存在x2eB,使得歸—到以飲NO),則稱函數(shù)/(x)與g(x)”具有性質(zhì)M(k)

⑴判斷函數(shù)/(x)=sinx與g(x)=cosx是否"具有性質(zhì)*)",并說明理由；

⑵若函數(shù)/(X)=2*T+X-2與g(x)=/+(2-附x-2相+4"具有性質(zhì)欣2)”,求實(shí)數(shù)加的最大值和最小值；

⑶設(shè)。>0且awl,b>\,若函數(shù)八幻=一優(yōu)+1。8產(chǎn)與8(*)=-d+108戶"具有性質(zhì)用(1)，，，求:七一工2的取值范圍.

)2

9.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考一模)已知定義域為R的函數(shù)y=/(x).當(dāng)awR時，若人耳=止1二￡M(x>a)是嚴(yán)

X-CI

格增函數(shù)，則稱“X)是一個"7(a)函數(shù)

⑴分別判斷函數(shù)工(x)=5x+3、力(x)=2/+x+2是否為7(1)函數(shù)；

⑵是否存在實(shí)數(shù)4使得函數(shù)八，是7(-1)函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；否則，證明你

[hx+l,x>0

的結(jié)論；

⑶己知J(x)=e'(4￡+1),其中qeR.證明：若J(x)是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，則對任意“eZ,J(x)都是7(〃)函數(shù).

10.(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)已知定義域為。的函數(shù)y=/(x),其導(dǎo)函數(shù)為y'=r(x),滿足對任意的都

w|rw|<i.

⑴若〃x)=ax+lnr,xe[l,2],求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵證明：方程=0至多只有一個實(shí)根；

(3)若y=/(x),xeR是周期為2的周期函數(shù)，證明：對任意的實(shí)數(shù)演，巧，都有|/(得)7缶)|<1.

考點(diǎn)03函數(shù)的概念與性質(zhì)（8種題型10個易錯考點(diǎn)）

?【課程安排細(xì)目表】

二、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、易錯分析

五、刷好題

六.刷壓軸

至一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共3小題）

1.（2022?上海）下列函數(shù)定義域為R的是（）

」±1

*1

A.y=x2B.y=xC.y=D.y=x2

【分析】化分?jǐn)?shù)指數(shù)累為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案.

7

【解答】解：y=x-=-^,定義域為｛?。?｝,

WX

-1

y=x=—.定義域為｛無伏#0｝，

X

y=x3=Vx-定義域為R，

y=x2=Vx＞定義域為W%2°｝.

...定義域為R的是y=X§.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題.

2.（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2x

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐項分析判斷即可.

【解答】解：對于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y=sinx為奇函數(shù);

對于8,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y=cosx為偶函數(shù)；

對于C,由基函數(shù)的性質(zhì)可知，），=/為奇函數(shù)；

對于。，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y=2'為非奇非偶函數(shù).

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查常見函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2021?上海）以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（）

A.y--3xB.y—x"C.y=log3xD.y—3x

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：y=-3x在R上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，A符合題意；

因為y=x3在R匕是增函數(shù)，8不符合題意；

y=log3x,y=3*為非奇非偶函數(shù)，C不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共2小題）

4.（2020?上海）若函數(shù)工為偶函數(shù)，則a=1.

3X

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得變形分析可得答案.

X

3（r）3

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)），=行3'+」-為偶函數(shù)，貝4（-X）=/（x）,

3X

x）

即a-3''+—!^-r=a-y+—,

3X

變形可得:a（3X-3F）=（3X-3X）,

必有a=1；

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022?上海）設(shè)函數(shù)/（x）滿足f（x）=f（」一）對任意舊0,+8）都成立，其值域是A/,已知對任何滿足上

1+x

述條件的/（x）都有{九=f（x）,0WxWa}=4/,則。的取值范圍為_［夸3,-K?）_.

【分析】由題可得{y|y=f（x），0<x<^=^}=Af，再根據(jù)2<返江時不合題意，進(jìn)而即得；或等價于

——恒成立，即工_（l+a）《x恒成立，進(jìn)而即得.

1+x+aa

【解答】解：法一：令解得乂地」（負(fù)值舍去），

X+12

當(dāng)X1E［0,與L］時,乂27^€［與L1］，

當(dāng)X］E嗎L，Q）時，*24丁€（0,與與，

且當(dāng)勺門寫

XQ）時，總存在（0>使得f（xi）=7（"）,

4X?+1

故{y|y=f(x),0<x<^-}=Af>

若a《力易得f(0")4{yIy=f(x)，0<x<a}>

所以a理」，

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為嗎M,-KO)：

法二：原命題等價于任意a>0，f(x+a)=f(--—)，

1+x+a

所以^~~--4a=x^--(1+a)恒成立,

1+x+aa

即工_(1+a)40恒成立，又a>0,

a

所以a溶二1，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為嗎=支，Q).

故答案為：普二，

【點(diǎn)評】本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了集合的應(yīng)用，屬于中檔題.

三.解答題(共3小題)

6.(2020?上海)已知非空集合AUR,函|數(shù)y=/(x)的定義域為￡>,若對任意怎4且在￡),不等式/(x)W/(x+f)

恒成立，則稱函數(shù)f(x)具有A性質(zhì).

(1)當(dāng)4={-1},判斷/(x)=-x.g(x)=2%是否具有A性質(zhì)；

(2)當(dāng)人=(0,1),f(x)=x+2，xE[a,+8),若f(x)具有A性質(zhì)，求a的取值范圍；

x

(3)當(dāng)人={-2,〃?},〃?ez,若。為整數(shù)集且具有A性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的機(jī)的值.

【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合新定義，逐個判斷即可；

(2)依題意，f(x)=x」(x>a)為增函數(shù)，由雙勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)即得解；

x

(3)根據(jù)條件，分mWO,〃，為正偶數(shù)和，〃為正奇數(shù)三種情況，求出條件的〃，的值.

【解答】解：⑴V/(%)=-尤為減函數(shù)，

：.f(x)<f(x-\),

."■(x)=-x具有A性質(zhì)；

'：gG)=2r為增函數(shù),

；.g(x)>g(x-1),

，g(x)=2A,不具有A性質(zhì)；

(2)依題意，對任意佗(0,1),/(x)W/(x+f)恒成立，

；?f(乂)=乂」(乂>&)為增函數(shù)(不可能為常值函數(shù))，

X

由雙勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得a21,

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足對任意生(0,1),/(%)可(x+r)恒成立，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+8).

(3)為整數(shù)集，具有A性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，

當(dāng)mWO時，取單調(diào)遞減函數(shù)/(x)=-x,兩個不等式恒成立，但/(x)不為常值函數(shù)；

(Qn為偈數(shù)

當(dāng)機(jī)為正偶數(shù)時，取f(x)?!??黃，兩個不等式恒成立，但/(x)不為常值函數(shù)；

1，n為奇數(shù)

當(dāng)m為正奇數(shù)時，根據(jù)對任意正A且在。，不等式f(x)Wf(x+t)恒成立，

可得Wf(x)Wf(x+m)Wf(x+1)Wf(x-m)，

則/(x)=/(x+l),所以/(x)為常值函數(shù)，

綜上，機(jī)為正奇數(shù).

【點(diǎn)評】本題以新定義為載體，考查抽象函數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)用，考查邏輯推理能力及靈活運(yùn)用知識的能力，屬于

中檔題.

7.(2021?上海)已知函數(shù)f(x)—y]Ix+aI-a-x.

(1)若4=1,求函數(shù)的定義域；

(2)若aWO,若f(ax)=。有2個不同實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)小使得函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出a的取值范圍.

【分析】(1)把。=1代入函數(shù)解析式，由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解絕對值的不等式得答案；

(2)f(ax)=a<^>VIax+aI-a=ax+a>設(shè)分+a=f》O,得“：/-/2,f20,求得等式右邊關(guān)于r的函數(shù)的值域

可得〃的取值范圍；

(3)分x2-a與xV-a兩類變形，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的〃的

范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)4=1時，f(X)IX+1I-1-X,

由|x+l|-l2O,得以+1|>1,解得x<-2或x20.

.?.函數(shù)的定義域為(-8,-2]U[0,+°°)；

(2)f(ar)=VIax+aI-a-ax,

于(ax)=a=J|ax+a|-a=ax+a,

設(shè)<zx+a=fNO,；Nt-a=t有兩個不同實(shí)數(shù)根,整理得a=f-產(chǎn)，rNO,

2

.,.a=-(t^-)->A,t^O,當(dāng)且僅當(dāng)時，方程有2個不同實(shí)數(shù)根，

又aWO,的取值范圍是(0,—)；

4

+

(3)當(dāng)x》-an寸，/(x)=VIx+aI-a--x=-總)20,在弓，°°^上單調(diào)遞減，

此時需要滿足-即?！兑籢,函數(shù)/(X)在［-〃，+°°)上遞減；

當(dāng)x<-“時，f(x)=7Ix+aI-a-x—V-x-2a-x,在(-8,-2a］上遞減，

?.Z《T〈O,-2a>-a>0,即當(dāng)時，函數(shù)/(x)在(-8,-“)上遞減.

綜上，當(dāng)“6(-8,-1］時，函數(shù)/'(x)在定義域R