2020 高考數(shù)學(xué) 最后突破搶分-第1講　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

第1講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

最新考綱考向預(yù)測(cè)

本講主要考查復(fù)數(shù)的基本概念（復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共腕復(fù)數(shù)、復(fù)

I.理解復(fù)數(shù)的基本概念.數(shù)的模等），復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)

2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.算，重點(diǎn)考杳復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，與向量結(jié)合考查復(fù)數(shù)及其加法、減

3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義.法的幾何意義，突出考查運(yùn)算能力與數(shù)形結(jié)合思想.一般以選擇題、

填空題形式出現(xiàn)，難度為低檔.

4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.

5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.核心

數(shù)學(xué)運(yùn)算

素養(yǎng)

理教M?夯實(shí)必備知識(shí)..

走進(jìn)教材二

一、知識(shí)梳理

1,復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

⑴復(fù)數(shù)的定義

形如a+6i（a,beR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a,虛部是b.

（2）復(fù)數(shù)的分類

‘實(shí)數(shù)（5三0）,

復(fù)數(shù)z=a+6i（a,［純虛數(shù)（江0,空0）,

虛數(shù)（）彳

、-非純虛數(shù)（於0,加0）.

(3)復(fù)數(shù)相等

a+b\=c+doa=c且b=d1a,b,c,dGR).

(4)共扼復(fù)數(shù)

a+bi與c+d共車厄=a=c且b=-&a,b,c,照R).

(5)復(fù)數(shù)的模

向量方勺模叫做復(fù)數(shù)z=a+b\的模,記作向或|a+6i|,即1/=|a+例=r=1/+加

(r>0,8,左R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

Q)復(fù)數(shù)z=a+bi二^復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)2(a,6)(a,6eR).

---對(duì),應(yīng)一?

(2)復(fù)數(shù)z=a+仇a,左R)?------?平面向量絲.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

Q)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)21=a+6i,Z2-c+d(a,5,c,dwR),則

①加法：2i+逢=(a+旬+(c+d)=(a+0+(6+o)i;

②減法：zi-々=(a+di)-(c+d)=(a-0+(6-的;

③乘法：zrZ2=(.a+Z?i)-(c+d)=(ac-bd}+(ad+bd)\;

zia+b\(a+6i)(c-d)ac+bdbe-ad

④除法：-=―-=----~7~----77=1i+?wi(c+4砌■

Z2c+d\(c+d)f(c-d)/+丁一&+cP--

(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何21,々，3￡0：,有21+々=-+Z1,(Z1+

Z2)+Z3=%+(2+馬).

常用結(jié)論

1.三個(gè)易誤點(diǎn)

(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.

(2)利用復(fù)數(shù)相等a+S=c+d列方程時(shí)，注意a,b,c,。仁R的前提條件.

(3)注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái).例如，若a,

々GC,N+玄=0,就不能推出a=為=0;z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

2.復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的三個(gè)結(jié)論

在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度.

1+i1-i

(l)(l±i)2=±2i;-~r=i;-;=-i.

1-I1+I

(2)-b+a\-i(a+b\).

⑶j4〃=1j4n+l=j,j4n+2-.],j4"+3=_j,j4"+j4n+l+j4/7+2+j4〃+3：0,/7GN+.

二、教材衍化

1+Z

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足匚‘=i,則|才=.

解析：l+z=i(l-0,Nl+i)=i-l,

i-1-(1-i)2

2=[京=------=i,所以|W二|i|=l.

答案：1

2.在復(fù)平面內(nèi)，向量檢寸應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1-3i,則向量己

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

解析：CA=CB+BA=-l-3i+(-2-i)=-3-4i.

答案：-3-4i

3.若復(fù)數(shù)z=(N-1)+(x-l)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為.

廬-1=0,

解析：因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以所以x=-1.

x-1/0,

答案：-1

:走出誤區(qū)；

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打"V",錯(cuò)誤的打"X")

(1)若aec,則>".()

(2)已知z=a+6i(a,6eR),當(dāng)a=0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).()

⑶復(fù)數(shù)z=a+仇a,bGR)中，虛部為仇()

(4)方程必+x+l=O沒(méi)有解.()

(5)由于復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)能比較大小，因而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)也

能比較大小.()

答案：(l)x(2)x(3)x(4)x(5)x

二、易錯(cuò)糾偏

常見(jiàn)誤區(qū)|K⑴對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解有誤；

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義不清致誤；

⑶復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法不當(dāng)致使出錯(cuò)；

(4)z與二的不清致誤.

1.設(shè)mWR,復(fù)數(shù)z=加-1+(6+l)i表示純虛數(shù)，則m的值為()

A.1B.-1

C.±1D.0

m2*4-1=0,\m=±1

解析：選A.由題意得解得，

m+1/0,[/77H-1.

所以6=1.故選A.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為/,6.若C為線段的中點(diǎn)，

則點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.4+8iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

解析：選C.因?yàn)?6,5),6(-2,3),所以線段Z6的中點(diǎn)。2,4),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的

復(fù)數(shù)為/=2+41故選(2.

2+a\

3.若a為實(shí)數(shù)，且=3+乙則1=_____.

1+1

2+a\

解析：由力=3+i,得2+ai=(3+i)(l+i)=2+4i,即ai=4i,因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，所

以8=4.

答案：4

4.已知(l+2i)z=4+3i,貝z=

4+3i(4+3i)(1-2i)10-5i

解析：因?yàn)閦==2-i,所以z=2+i.

l+2i(l+2i)(l-2i)5

答案：2+i

>O0考點(diǎn)'合僚剖析明考向?直擊考例考法.

考點(diǎn)血

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(自主練透)

b

1.設(shè)a,住R,i是虛數(shù)單位，則"a6=0"是"復(fù)數(shù)a+,為純虛數(shù)"的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

b

解析：選C.因?yàn)閺?fù)數(shù)a+-=a-b\為純虛數(shù)，所以a=0且-6/0,即a=0且6Ho.

?

b

所以"ab=0"是"復(fù)數(shù)a+#純虛數(shù)"的必要不充分條件，故選C.

?

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=m?+i(aeR)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則a=

1-ZI

()

A.-5B.-1

aa(l+2i)a2a+5a

解析：選D.z=~――+i=―—i—ST+1=丁一^,因?yàn)閺?fù)數(shù)2=匚亍

1-2i(1-2i)(l+2i)

a2a+5

i(awR)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，所以-1=二—

5

解得a=-].故選D.

3.已知三=2+i,貝(Iz(z的共輾復(fù)數(shù))為()

1-I

A.-3-iB.-3+i

C.3+iD.3-i

解析：選C.由題意得z=(2+i)(l-i)=3-i,

所以二=3+i,故選C.

1-i

4.設(shè)z=n+2i,則|N=()

1

A.0B

C.1D.-\[2

1-i(1-i)2

解析：選C.法一：因?yàn)閦=「+2i=.、-.、+2i=-i+2i=i,所以=1,

1+I(l+l)(l-1)

故選C.

1-i1-i+2i(1+i)-1+i-1+il-l+il

法二：因?yàn)閦=m+2i=7—，所以IN二

1+i1+i|l+i|

a-i

5.已知WR,i為虛數(shù)單位,3實(shí)數(shù),則a的值為——

a-\(a-i)(2-i)2a-1-(a+2)i

解析：因?yàn)椤?〃.、/..、=-----------為實(shí)數(shù)，所以a+2=0,艮ua

2+1(2+1)(2-1)5

=-2.

答案：-2

錯(cuò)誤！

解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)

(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)

題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為8+di(a,6WR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

考點(diǎn)2

復(fù)數(shù)的幾何意義(自主練透)

1.(2019?高考全國(guó)卷I)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)順)

A.(x+1)2+/=1B.(x-1)2+/=1

c.足+(7-1)2=1D./+(y+1)2=1

解析：選C.通解：因?yàn)閆在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,力,

所以z=x+y\(x,yGR).

因?yàn)閨z-i|=l,所以|x+匕l(fā))i|=1,

所以層+(y-1)2=1.故選C.

優(yōu)解一：因?yàn)閨z-i|=1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,力到點(diǎn)(0,1)的距離為1,

所以必+(7-1)123=1.MC.

優(yōu)解二：在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(1,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=l+i滿足|z-i|=1,但點(diǎn)(1,1)不在

選項(xiàng)A,D的圓上，所以排除A,D;在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(0,2)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2i滿足|z-i|

=1，但點(diǎn)(0,2)不在選項(xiàng)B的圓上，所以排除B.故選C.

1-i

2.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)二五的共期復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1-i(1-i)(l-2i)-1-3i13

解析：選B.--=,其共軌復(fù)數(shù)為-f+=,在復(fù)平面

l+2i(l+2i)(1-2iA)555

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.

3.已知z=(m+3)+(°-l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是()

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(1,+8)D.(-00,-3)

解析：選A.由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(加+3,6-1),所以

m+3>0,

<解得,故選A.

777-1<0,

4.設(shè)復(fù)數(shù)Z1,々在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，21=2+i(i為虛數(shù)單位)，則Z12S

=()

A.-5B.5

C.-4+iD.-4-i

解析：選A.因?yàn)閺?fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，Z1=2+i,所以々=

-2+i,所以g=(2+i)(-2+i)=-5.

5.已知復(fù)數(shù)zi=-1+2i,4=1-i,Z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4

B,C,^OC=AOA+pOB{A,〃wR),貝!J/I+〃的值是.

解析：由條件得比=(3,-4),O4=(-l,2),

08=(1.-1),

^OC=AOA+/JOB^

-A+/J-3,/=-1,

(3,-4)=/1(-1,2)+〃(1,-1)=(-/+〃,2/-〃)所以，解得,

2/1-〃=-4,[“=2,

所以/l+〃=L

答案：1

錯(cuò)誤!

復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

⑴復(fù)數(shù)z與復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量力目互聯(lián)系，即z=a+仇a,6eR)o4a,b}^OZ.

(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何

聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.

考點(diǎn)3

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算(自主練透)

1.(2019?高考全國(guó)卷叫若Nl+i)=2i,則z=()

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

2i2i(1-i)2+2i

解析：選以=m=(1+i)(1-i)=亍

l+2i

2l-2i=()

4343

B.--+

'?飛551

3434

CD.

--5■?51

l+2i(l+2i)(l+2i)34

解析：選\也=一-+i,故選D.

(1-2i)(l+2i)55

3.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足i(z+l)=l,則復(fù)數(shù)z=()

A.1+iB.1-i

C.-1-iD.-1+i

1

解析：選C.由題意，得-1/,故選(：.

4.已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=l+i,則z=()

A.B.i

C.1-iD.1+i

2

解析：選B.法一：設(shè)z=a+6i(a,6wR),則z+|才=(a+yja+%+bi1+i,所以

2

a+\la+1^=1,a=0

v解得,,'所以z=i，故選B.

6=1,b=l,

法二：把各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，知選項(xiàng)B滿足題意.

5.已知復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為z,若z(1-i)=2i(i為虛數(shù)單位)，則z=()

A.iB.i-1

C.-i-1D.

—2i2i(1+i)

解析：選0?由已知可得z=門(一)(川)=-1+i，則z—-i,故選C.

a+i2020

6.已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=(力-1)+(a+l)i為純虛數(shù)，則“I=()

A.1B.0

C.1+iD.1-i

解析：選D.z=(#-1)+(a+l)i為純虛數(shù)，

則有>-1=0,3+1/0,

得a=l,

1+i20201+12(1-i)

貝U有--~~r=~~~?、,r~~=1-i.

1+1l+i(1+1)(1-1)

錯(cuò)誤！

復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略

Q)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類

同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輾復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕

寫成最簡(jiǎn)形式.

西頷演練'③僖突破練好題?突破高分瓶頸

［基礎(chǔ)題組練］

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則(-l+i)(l+i)=()

A.2iB.-2i

C.2D.-2

解析：選D.(-1+i)(l+i)=-l-i+i+i2=-l-l=-2.故選D.

2.(2019?高考全國(guó)卷n)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選C.由題意，得二=-3-2i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-3,-2),位于第三

象限，故選C.

3.若復(fù)數(shù)z=^j+l為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=()

A.-2B.-1

C.1D.2

aa(1-i)aaa

解析選A.因?yàn)閺?fù)數(shù)—+1=(i+i)+l=-+l--i為純虛數(shù)所以5+

1=0且-10,解得a=-2.故選A.

4.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.1B.-1

C.iD.-i

22(1-i)

解析：選B.法一：因?yàn)?1+i)z=2,所以z=「=r.、/i.、=1-i,則復(fù)數(shù)z

l+i(l+i)(1-?)

的虛部為-1.故選B.

a-b-2,

法二:設(shè)z=a+6i(a,Z?GR),貝！J(1+i)(a+Z?i)=a-Z?+(a+b)i=2,\解得

a+b=G,

a=l,b=-1,所以復(fù)數(shù)z的虛部為-1.故選B.

5.若復(fù)數(shù)z滿足三=i，其中i為虛數(shù)單位，則共軌復(fù)數(shù);=()

1-1

A.1+iB.1-i

C.-1-iD.-1+i

解析：選B.由題意，得z=i(l-i)=1+i,所以z=1-i,故選B.

(

6.已知1+;=a+5i(a,6GR,i為虛數(shù)單位)，則a+6=()

v'J

A.-7B.7

C.-4D.4

(2]244

解析：選A?因?yàn)閕+7口+7+*a%

所以-3-4i=a+與，則a=-3,6=-4,

所以a+b=-7,故選A.

(2+i)(3-4i)

7.已知i為虛數(shù)單位，則--------------=()

Z-I

A.5B.5i

712712

c.---iD.--+—i

5555

(2+i)(3-4i)10-5i

解析：選A":---=^-=5,故選A.

(2+i)(3-4i)(2+i)2(3-4i)(3+4i)(3-4i)

法一.2-i(2+i)(2-i)5=5,故選A.

8.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i(i為虛數(shù)單位)，則|才=()

A.1B.2

C-^2D-^3

2i2i(1-i)廠

解析：選C.因?yàn)閦=—i=(l+i)(1)=1,所以生也故選0

l+i

9.已知aeR,i是虛數(shù)單位.若2=3+1^,zz=4,則a=()

或-S

A.1或-1B

c.dD-^3

解析：選A法一：由題意可知二=,所以z-7=彷+3。俗-啊=矛+3

=4,故a=1或-1.

法二：zz=|邛=>+3=4,故a=l或-1.

2

10.設(shè)z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則N--=()

A.l+3iB.1-3i

C.-l+3iD.-1-3i

222(1-i)

解析選C.因?yàn)閦=l+i,所以z2=(l+Hl+2i+i2=2"有=(g)

2(1-i)2(1-i)2

i=1-i,貝UN-—=2i-(1-i)=-1+3i.故選C.

1-lzzz

11.若復(fù)數(shù)Z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為()

4

A.-4B.--

4

C.4D

i------55(3+4i)3+4i

解析:選D.因?yàn)閨4+3i|=尸^=5,所以z=^=(Sy)(3+4)=可

344

~+-i,所以z的虛部為m

12.設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，Z1=2+i,則一=()

34

A.1+iB.-+-i

44

C.l+-iD.l+-i

解析：選B.因?yàn)閺?fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，Z1=2+i,所以々=2

Z12+i(2+i)234

工所以下有=一?~=『”故選B.

13.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=|1-i|+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=

解析：復(fù)數(shù)Z滿足;=|1-i|+i=#+i,則復(fù)數(shù)z=*i.

答案：#-i

1

14.設(shè)z=^y+i（i為虛數(shù)單位）,則|w=.

11-i1-i11

解析：因?yàn)閦=!7]+i=(i+i)(1一D+[=三+1=5+3,所以1才=

口?2

4+2i

15.已知復(fù)數(shù)z=（1+^）2。為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x-2y+6=0

上,貝！Im=

4+2i4+2i（4+2i）i

解析：而='=F"=1-0,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

為(1,-2),將其代入x-2y+6=0,得6=-5.

答案：-5

4i

16.當(dāng)復(fù)數(shù)z=（6+3）+（。-l）i（mGR）的模最小時(shí)，-=.

解析：|W=q（6+3）2+（6-1）2

-^2^+4m+10-yj2（Z77+1）2+8,

所以當(dāng)6=-1時(shí)，|Nmin=2#,

4i4i4i（2+2i）

所以一=丁下=-----------=-1+i.

z2-2i8

答案：-1+i

［綜合題組練］

1.若實(shí)數(shù)a,b,c滿足/+a+Z?i<2+d（其中i2=-1）,集合Z={Mx=a},B={）\x

=6+4,貝（<8為（）

A.0

B.{0}

C.{況-2<%<1}

D.例-2Vx<0或0<x<l}

^28<2

解析：選D.由于只有實(shí)數(shù)之間才能比較大小，故彳+a+6i<2+do,'解得

b=c=0,

-2<a<1,

因此2={況-2<x<l},B={0},故R6={R-2<%<1}D{A|%GR,勝0}=

b-c=0,

{M-2cx<0或0Vx<1}.

2.若虛數(shù)(x-2)+/(x,yeR)的模為，則書勺最大值是()

X

A/B.

1

C2D.布

解析：選D.

因?yàn)?x-2)+y是虛數(shù),

所以戶o,

又因?yàn)閨(x-2)+川=3,