2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 平面與平面垂直的性質(zhì) 學(xué)案

第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明.(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)2．能用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡單的空間線面位置關(guān)系問題．(邏輯推理)黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？由此，你能得到什么樣的一般結(jié)論呢？知識(shí)點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α圖形語言思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β. ()(2)若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β. ()(3)若平面α不垂直于平面β，則平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β. ()[答案](1)×(2)√(3)√類型1面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖，已知V是△ABC所在平面外一點(diǎn)，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求證：AB⊥BC.[思路導(dǎo)引]平面VAB⊥平面VBC作輔助線AD⊥VBAD⊥BCVA⊥平面ABCBC⊥平面[證明]如圖，在平面VAB內(nèi)，過點(diǎn)A作AD⊥VB于點(diǎn)D.∵平面VAB⊥平面VBC，且交線為VB，∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC.∵AD∩VA＝A，且VA?平面VAB，AD?平面VAB，∴BC⊥平面VAB.∵AB?平面VAB，∴AB⊥BC.[母題探究]若將本例中的條件變?yōu)椋浩矫鎂AB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求證：VA⊥BC.[證明]∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC?平面ABC，CA⊥AB，∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA.又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴VA⊥BC.在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.[證明](1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.類型2線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用【例2】如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點(diǎn)E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)點(diǎn)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．[證明](1)如圖，在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于點(diǎn)G，同理可證DG⊥PA.∵DG，DF都在平面ABC內(nèi)，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)如圖，連接BE并延長交PC于點(diǎn)H.∵點(diǎn)E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化直線與直線垂直(線線垂直)、直線與平面垂直(線面垂直)、平面與平面垂直(面面垂直)之間可以相互轉(zhuǎn)化，它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可用框圖來表示．線線垂直eq\o(?,\s\up7(判定),\s\do5())線面垂直eq\o(?,\s\up8(判定),\s\do9(性質(zhì)))面面垂直[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[證明](1)設(shè)BD＝a，如圖，作DF∥BC交CE于F，則CF＝DB＝a.因?yàn)镃E⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝EF2+DF2＝5a.又因?yàn)镈B⊥平面ABC，所以DA＝(2)取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN綉12CE綉DB所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MD∥BN.又因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M為EA的中點(diǎn)，所以DM⊥AE.又AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.1．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βD[A項(xiàng)中缺少了條件l?α，故A錯(cuò)誤．B項(xiàng)中缺少了條件α⊥β，故B錯(cuò)誤．C項(xiàng)中缺少了條件α∩β＝m，l⊥m，故C錯(cuò)誤．D項(xiàng)具備了面面垂直的性質(zhì)定理中的全部條件，故D正確．]2．已知長方體ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于點(diǎn)E，則()A．ME⊥平面ABCD B．ME?平面ABCDC．ME∥平面ABCD D．以上都有可能A[因?yàn)镸E?平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.]3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝()A．2B．3C．2D．1C[如圖所示，連接BC.因?yàn)锳C⊥l，α⊥β，AC?α，α∩β＝l，所以AC⊥β.因?yàn)锽C?β，所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形，所以BC＝22在Rt△BCD中，CD＝324．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝．5[∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．面面垂直的性質(zhì)定理包含哪些條件？[提示]面面垂直的性質(zhì)定理必須滿足四條，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交線；③有一條線和交線垂直；④這一條線必須在其中一個(gè)面內(nèi)，這樣才能證明這條線垂直于另一平面，即將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直．切記：前提是平面與平面垂直．2．當(dāng)題設(shè)條件中給出面面垂直時(shí)，我們常如何作輔助線？[提示]面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可．3．線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的判定和性質(zhì)是如何轉(zhuǎn)化的？[提示]垂直問題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示：課時(shí)分層作業(yè)(三十六)平面與平面垂直的性質(zhì)一、選擇題1．設(shè)平面α⊥平面β，在平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b，則()A．直線a必垂直于平面βB．直線b必垂直于平面αC．直線a不一定垂直于平面βD．過a的平面與過b的平面垂直C[當(dāng)b＝α∩β時(shí)，必有a⊥β；當(dāng)b不是α與β的交線時(shí)，直線a不一定垂直于平面β.]2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，則()A．l∥平面γ B．l?平面γC．l與平面γ斜交 D．l⊥平面γD[在平面γ內(nèi)取一點(diǎn)O，作OE⊥m，OF⊥n，由于平面β⊥平面γ，平面γ∩平面β＝m，所以O(shè)E⊥平面β，所以O(shè)E⊥l，同理OF⊥l，又OE∩OF＝O，所以l⊥平面γ.故選D.]3．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABCB[因?yàn)镻A＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC.]4．設(shè)α-l-β是直二面角，直線a?平面α，直線b?平面β，a，b與直線l都不垂直，那么()A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行B．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行C．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行C[當(dāng)a∥l，b∥l時(shí)，a∥b.若a⊥b，可在a上任取點(diǎn)A，過點(diǎn)A在α內(nèi)作l的垂線c，如圖，則c⊥β，所以c⊥b.因?yàn)閍∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，這與已知矛盾．所以a與b不可能垂直．]5．(多選)如圖，點(diǎn)P為四邊形ABCD外一點(diǎn)，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PADABC[因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B結(jié)論一定成立．又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C結(jié)論一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此關(guān)系不一定成立，故選ABC.]二、填空題6．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l是平面α與β之外的直線，給出下列三個(gè)論斷：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：．(用序號(hào)表示)①②?③(或①③?②)[由l∥β可在平面β內(nèi)作l′∥l，又l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.①③?②，也對(duì)．]7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝．1[因?yàn)锳D⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝22所以BC＝BD8．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是．45°[如圖，過A作AO⊥BD于O點(diǎn)，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.]三、解答題9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.求證：平面PAB⊥平面PBD[證明]因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以PD⊥AB.因?yàn)镻A＝PD＝22AD，所以PA2＋PD2＝AD2所以PA⊥PD.又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.因?yàn)镻D?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.10．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是()A．平面ADC⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABD⊥平面ABCA[易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又BA?平面ABD，∴CD⊥BA.又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD?平面ADC，∴BA⊥平面ADC，又BA?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]11．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部A[如圖，連接AC1，∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，又∵AC⊥BC1，BA∩BC1＝B，BA，BC1?平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在平面ABC上的射影必在直線AB上．]12．如圖，線段AB的兩端在直二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)，并與這兩個(gè)面都成30°角，則異面直線AB與l所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．75°B[如圖，設(shè)AB＝a，在平面α內(nèi)，作AA′⊥l于A′，則AA′⊥β，連接A′B，則∠ABA′＝30°.在Rt△AA′B中，AB＝a，所以AA′＝12a同理作BB′⊥l于B′，連接AB′，則∠BAB′＝30°，所以BB′＝12a，AB′＝32所以A′B′＝AB'2過B作BC綉A′B′，連接A′C，則A′C綉B(tài)B′，連接AC.在Rt△AA′C中，AC＝AA'2易證BC⊥平面AA′C，所以△ABC為直角三角形，且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l與AB所成的角是45°.]13．如圖，△ABC是正三角形，E，F(xiàn)分別為線段AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，設(shè)AEAF＝λ，當(dāng)AE⊥CF時(shí)，λ的值為2或12[如圖所示，過A作AH⊥EF于H由平面AEF⊥平面BCFE，可得AH⊥平面BCFE，所以AH⊥CF，又AE⊥CF，故可證得CF⊥平面AEF.所以CF⊥EF，由圖可得，此時(shí)H必與F重合，則∠AFE是直角．所以∠AEF＝30°，所以AE＝2AF，故λ＝2.又當(dāng)AE垂直于底面時(shí)顯然滿足題意，此時(shí)有AF＝2AE，故此情況下有λ＝1214．如圖，M是半圓弧CD上異于C，D的點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，P為AM中點(diǎn)．(1)證明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面與半