七年級數學下冊 6 實數教案 新人教版

第六章實數

本/章/整/體/說/課

G教學目標

知識與技能

1.理解算術平方根、平方根、立方根等概念及其有關概念的意義，并會用根號表示它

們.

2.會求平方根、算術平方根和立方根.

3.理解有理數、無理數以及實數的概念,知道這些數和數軸上的點的對應關系.

4.會進行實數的運算.

*過程寫方法1

1.抓住新舊知識的聯系，靈活運用乘方、開方、有理數的知識，實現知識的遷移，并使

新舊知識融會貫通.

2.深刻理解并掌握類比的方法,并針對所學的知識啟發(fā)學生深入思考,交流、探討,將

知識學深、學透、學活.

3.重視對數學思想方法的掌握與運用，達到優(yōu)化解題思路、簡化解題過程的目的.

F熊虢寫（希頸

培養(yǎng)認真觀察、仔細思考的學習習慣，培養(yǎng)從生活中發(fā)現、解決數學問題的意識.

&教材分析

本章教材在初中數學中具有重要的地位,本章知識是有理數到實數的擴展,是進行其他

學習的理論基礎和運算基礎（如一元二次方程、解三角形、函數、分式等），幾乎貫穿了整

本章3要學習了算術平方根、平方根、立方根的概念，無理數和實數的概念及實數的

運算.教材從典型的實際問題入手,首先介紹算術平方根,給出算術平方根的概念和符號表

示.在學習算術平方根的基礎上學習平方根,利用乘方與開方互為逆運算的特點探討數的平

方根的特征.類比平方根學習立方根,探討立方根的特征,最后學習無理數及實數的運算.

0教學重難點

【重點】

1.算術平方根、平方根、立方根、實數的概念.

2.會求某些非負數的平方根及某些數的立方根.

3.知道實數與數軸上的點一一對應,并能進行實數的運算.

【難點】求非負數的平方根、算術平方根及算術平方根與平方根的區(qū)別與聯系.

e教學建議

1.關于平方根與算術平方根的學習.

（D通過讓學生計算兩個不為零的互為相反數的數的平方是同一個正數,總結出“一個

正數有兩個平方根,它們互為相反數”的性質,加深感性認識.

(2)幫助學生正確認識算術平方根的兩個非負性:一是被開方數的非負性,即只有非負

數才有算術平方根(在中a20);二是算術平方根本身的非負性，即一個非負數的算術平方

根是一個非負數(20,a20).

2.關于立方根的學習.

(1)引導學生運用類比平方根的方法來學習立方根的概念、性質、求法,并啟發(fā)學生與

平方根的相應結論進行聯系、比較,弄清兩者的區(qū)別與聯系，并適當分析結論不同的原因.

(2)要引導學生注意轉化思想,將求負數的立方根問題轉化為求正數的立方根問題.

3.關于無理數與實數的學習.

(1)引導學生復習有關有理數的知識，讓學生了解有理數包括有限小數和無限循環(huán)小數,

為學習無理數做好準備.引導學生用數軸上的點來表示有理數、無理數，將所學知識聯系起

來，使學生了解無理數的存在性.

(2)引導學生分清“無限不循環(huán)小數”與“無限循環(huán)小數”的區(qū)別，理解無限循環(huán)小數

可化成分數,它是有理數;而無限不循環(huán)小數不能化成分數,它是無理數,從而啟發(fā)學生總結

有理數和無理數的區(qū)別在于是否能夠分數化,真正分清有理數和無理數.

(3)要引導學生明確有理數的運算法則、運算律同樣適用于無理數和實數，使學生能夠

按照有理數的運算法則、運算律進行無理數和實數的運算.

工課時劃分

時

方根

課

6平3m

1K

時

6根

2立1H

.方K

時

數

&3實31S

現1I

誄

時

理

隔

)兀H

串1K

課/時/教/學/詳/案

6.1平方根

(。教學目標

知識與技能.|

1.理解算術平方根的概念，領會乘方與開方的關系.

2.會用計算器求一個數的算術平方根,理解被開方數與算術平方根大小的關系.

3.會用“夾值法”求一個數算術平方根的近似值.

4.掌握平方根的概念,明確平方根和算術平方根之間的區(qū)別和聯系.

噎程寫壽

1.通過平方根的學習，建立初步的數感和符號感,為學習實數做準備.

2.通過求算術平方根的近似值，培養(yǎng)學生勇于探索的精神.

1.通過探索活動培養(yǎng)學生克服困難的精神.

2.通過解決生活中的實際問題，幫助學生體驗數學與生活的緊密聯系.

3.培養(yǎng)學生從多方面、多角度分析問題、解決問題的思想意識，養(yǎng)成綜合分析問題的

習慣.

Q教學重難點

【重點】

i.平分根的概念和算術平方根.

2.夾值法估計一個（無理）數的大小.

【難點】

1.用莢值法估計一個（無理）數的大小.

2.平方根和算術平方根的區(qū)別和聯系.

用整體設計

（0教學目標

知識與技能

1.了解算術平方根的概念,會用根號表示正數的算術平方根,并了解算術平方根的非負

2.了解開方與乘方互為逆運算,會用平方運算求某些非負數的算術平方根.

喳程寫芳卻

通過學習算術平方根,建立初步的數感和符號感,發(fā)展抽象思維.

F情巧度就

1.通過解決實際生活中的問題,讓學生體驗數學與生活實際是緊密聯系著的.

2.通過探究活動培養(yǎng)學生動手能力,鍛煉學生克服困難的意志,建立自信心,提高學習

熱情.

Q教學重難點

【重點】算術平方根的概念.

【難點】根據算術平方根的概念正確求出非負數的算術平方根.

（，）教學準備

【教師準備】教材章前圖的投影圖片.

【學生準備】復習平方的概念.

舊教學過程

E新課導入

導入一:

同學們，你們知道宇宙飛船離開地球進入軌道正常運行的速度在什么范圍內嗎?這時它

的速度要大于第一宇宙速度0(米鄧)而小于第二宇宙速度。(米/秒).的大小滿足

=gR,=2gR.其中，g是物理中的一個常量,不是地球的半徑.

怎樣求匕，吸呢？即使給出g,4的對應值,利用我們已學過的知識,也很難求出.這就要

用到平方根的概念,也就是本章的主要學習內容.

「設計噫圖借助于教材章前圖的內容，使學生認識到生活中的一些問題需要用新的

知識去解決,進而增強學生的學習欲望和進取精神.

導入二：

學校要舉行美術作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25dm?的正方形畫布,畫上自己的得

意之作參加比賽,這塊正方形畫布的邊長應取多少？

你一定會算出邊長應取5dm.說一說你是怎樣算出來的.因為夕25dm?,所以這個正方

形畫布的邊長應取5dm.

上面的計算過程,就是求一個數是由什么數的平方得來的.本課時我們就要學習相關的

內容.

［設計意圖］用教材的問題作為導入材料,能夠和學生的課前預習活動對接,可以提高

學生的預習效果.

導入三：

麗麗家新購的一套住房,客廳是長與寬之比為5：2的長方形,面積為40m2,求這間客

廳的長與寬各為多少.

要求客廳的長與寬,依題意可設客廳的長與寬分別是5xm,2xm,可得2x-5A=40,即

f=4,那么怎樣才能由f=4求x呢？

L設計意圖從學生能夠理解的生活事例入手,幫助學生感受引入平方根概念的必要

性.

陷新知構建

［過渡語］(針對導入二)如果小鷗想要裁出的正方形畫布面積分別是下表中的數字，

怎樣求這個正方形的邊長呢？

1.算術平方根.

思路一

填寫表格后回答問題.

正方形的面積191636

正方形的邊長/6m1346

(1)寫出表格中正方形邊長的計算過程.

(2)上述過程可以概括成怎樣的問題？

(3)怎樣用數學語言描述這個運算過程？(這個運算過程是什么呢?)

問題提示：(1)1=1,3=9,42=16,6=36,=.

(2)已知一個正數的平方,求這個正數的問題.

(3)例如，已知一個正數的平方為a,求這個正數x問題.(可以用不同的字母表示)

［設計意圖］第(1)問意在復習平方的知識,為學習平方根知識做準備.第(2)問是從平

方根的角度幫助學生思考.第(3)問是進一步引導學生通過抽象思維去理解平方根.

歸納總結:一般地,如果一個正數x的平方等于a,即f=a,那么這個正數x叫做a的算

術平方根.a的算術平方根記為,讀作“根號a”，a叫做被開方數.

規(guī)定:0的算術平方根是0.

思路二

學生閱讀教材第40頁例1前的內容,回答問題.

(1)什么是算術平方根？

一般地,如果一個正數x的平方等于a,即V=a,那么這個正數x叫做a的算術平方根.

(2)算術平方根怎么表示？

a的算術平方根記為,讀作“根號a”，a叫做被開方數.

(3)0的算術平方根是多少？

。的算術平方根是0.

處理方式:學生閱讀教材后交流;老師指定部分學生總結問題;總結平方根相關概念.

強調:書寫時根號一定要把被開方數蓋住.

討論:為什么0的算術平方根是0?

2.例題講解.

例1

(1)100;(2);(3)0.0001.

(解析)本題三個數的共同特點是都是正數,符合算術平方根的前提條件.無論是正

整數、正分數還是正小數,都有自己的算術平方根.求算術平方根不僅要明確算術平方根的

含義,更要習慣用數學方式表達算術平方根的求解過程.

解：⑴因為102=100,

所以100的算術平方根是10,即=10.

(2)因為=,

所以的算術平方根是，

即=.

(3)因為0.01M.0001,所以0.0001的算術平方根是0.01,即=0.01.

追問：從上面的例題中,你發(fā)現被開方數和算術平方根之間有什么關系？

提示:被開方數越大,對應的算術平方根越大,這個結論對所有的正數都成立.

［過渡語］根據例1中的被開方數,我們都能猜到這個數是哪個數的平方,那么怎么求

類似7,8,9這些數的算術平方根呢？

例2

(1)36;(2)0.09;(3);(4)(-4)1(5)0;(6)10.

(解析)算術平方根的求法:一個正數的算術平方根就是要找一個正數，使它的平方

等于這個數.

解：⑴因為是36,

所以36的算術平方根是6,即=6.

(2)因為0.3=0.09,

所以0.09的算術平方根是0.3,

即=0.3.

(3)因為=,

所以的算術平方根是，

即=.

(4)因為4?=(-4)2=16,

所以(-4尸的算術平方根是4,

即=4.

(5)0的算術平方根是0,=0.

(6)10的算術平方根是.

［知識拓展］求一個數的算術平方根與求一個正數的平方恰好是互逆的過程,因此,求

一個數的算術平方根實際上可以轉化為求一個數的平方的逆運算，只不過只有正數和0才

有算術平方根,負數沒有算術平方根.

降課堂小結

1.一般地如果一個正數x的平方等于a,即那么這個正數X叫做a的算術平方

根.

2.a的算術平方根記為,讀作“根號a”，a叫做被開方數.

3.規(guī)定:0的算術平方根是0.

區(qū)檢測反饋

1.9的算術平方根為（）

A.3B.±3C.-3D.81

解析:因為3<9,所以9的算術平方根為3.故選A.

2.下列說法正確的是（）

A.5是25的算術平方根

B.±4是16的算術平方根

C.-6是（-6）2的算術平方根

D.0.01是0.1的算術平方根

解析:如果V=a（x>0）,則這個正數x是a的算術平方根，由此判斷各選項.A.=5,故選項

正確;B.=4,所以16的算術平方根是4,故選項錯誤;C.=6,故選項錯誤;D.=0.1,故選項錯誤.

故選A.

3.一個數的算術平方根是它本身，這個數是（）

A.1B.-1C.0D.1或0

解析:根據算術平方根的定義:一個正數x的平方等于a,即V=a,那么這個正數x叫做

a的算術平方根.若一個數的算術平方根是它本身,可以知道這個數是0或1.故選D.

4.100的算術平方根是,0.36的算術平方根是.

解析:本題求100和0.36的算術平方根,就是求哪個正數的平方等于100或0.36,由

此即可解決問題.因為102=100,所以100的算術平方根為10,因為0.6J0.36,所以0.36的

算術平方根為0.6.

答案：100.6

叵板書設計

第1課時

1.算術平方根

定義

符號表示

0的算術平方根

2.例題講解

例1

例2

叵布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第41頁練習第1,2題.

【選做題】

教材第47頁習題6.1第1題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

L一個數只要存在算術平方根，那么這個數()

A.只有一個并且是正數

B.一定小于這個數的算術平方根

C.必是一個非負數

D.不可能等于這個數的算術平方根

2.49的算術平方根的相反數是()

A.7B.-7C.±7D.±

3.下列命題中正確的有()

①1的算術平方根是1；②(-1廠的算術平方根是T；③-4沒有算術平方根;④一個數的算術

平方根是它本身,這個數只能是零.

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.求下列各數的算術平方根.

(1)0.49;(2);(3).

5.求下列各式的值.

(1)-;(2);(3).

【能力提升】

6.下列說法：

①任何數都有算術平方根;②一個數的算術平方根一定是正數;③a?的算術平方根是

a;@(Ji_4＞的算術平方根是n-4;⑤算術平方根不可能是負數.其中不正確的有

()

A.5個B.4個C.3個D.2個

7.一個數的算術平方根為劣則比這個數大5的數是()

A.a+5B.a-5C.a'+5D.a'-5

8.下列運算正確的是()

A.=9B.|-3|=-3

C.-=-3D.-3=9

9.(±4)2的算術平方根是,的算術平方根是.

10.已知+(加2尸=0,那么才6的值為.

11.計算.

(1)；

(2)-:

(3)++-.

【拓展探究】

12.已知2zl的算術平方根是3,3a+Zrl的算術平方根是4,求求2b的算術平方根.

13.計算下列題目：

=,=,=,=,=,=,=■根據計

算結果回答下列問題.

(1)一定等于a嗎?你發(fā)現其中的規(guī)律了嗎?請你用自己的語言描述出來.

（2）利用你總結的規(guī)律,計算=.

【答案與解析】

1.C（解析:因為任何數的平方都不可能為負，都是非負數，所以負數沒有算術平方根，只有正

數或0才有算術平方根,所以本題應選C.）

2.B（解析:49的算術平方根是7,其相反數是-7.故選B.）

3.B（解析:根據算術平方根的定義可知:一般地,如果一個正數x的平方等于a,即—那

么這個正數x叫做a的算術平方根,結合命題與定理的定義可得答案.①1的算術平方根是

1,故此項正確;②（-IF』，1的算術平方根是1,故此項錯誤;③因為-4<0,所以-4沒有算術

平方根,故此項正確;④一個數的算術平方根是它本身,這個數是0或1,故此項錯誤.所以

正確的有2個.故選B.）

4.解：（1）=0.7.（2）=.（3）=.

5.解：⑴-=-0.1.（2）=5.（3）=103.

6.B（解析:根據算術平方根的定義依次分析各小題即可.①負數沒有算術平方根;②。的算

術平方根是0；③當a〈0時,3的算術平方根是-a;④（"-4）2的算術平方根是4-n，故錯

誤;⑤算術平方根不可能是負數,正確.故選B.）

7.C（解析:首先根據算術平方根的定義求出這個數，然后利用已知條件即可求解.因為一個

數的算術平方根為a,所以這個數為a?,所以比這個數大5的數是3+5.故選C.）

8.C（解析:A.是求9的算術平方根,所以是3.故選項錯誤;B.負數的絕對值是正數,結果是3,

故選項錯誤;C.-=-3,故選項正確;D.-3J-9,故選項錯誤.故選C.）

9.4（解析:因為（±4產=16,4'16,所以（土4尸的算術平方根是4.因為62=36,所以=6,所以

的算術平方根是.）

10.0（解析:根據非負數的意義:如果兩個非負數的和等于0,那么這兩個數都為0可知才

2=0,Zz^2=0,a=2,b=~2,則a+￡<=2-2=0.）

11.解：（1）===5.（2）-=-=-9.（3）++-=++-=l+=.

12.解：因為2bl的算術平方根是3,3a+Z^l的算術平方根是4,所以2wl=9,3K61=16,解

得a=5,6=2,所以a+2左9,所以a+26的算術平方根是3.

13.解:30.760.280（1）不一定等于a,=|a|=（2）n-3.14

舊教學反思

G成功之處

借助于平方知識,通過逆向思維的類比方式,學生比較好地理解了算術平方根的定義，

同時注重強調了對0的算術平方根的理解.

不足之處

學生根據先前的平方知識,會意識到一個正數的平方根會有兩個.這就需要特別強調算

術平方根定義當中的“一個正數”的限制.在課時的教學過程中，對這點沒有做出特別的強

調.

①）再教設計

課前做好平方知識的復習，為學習平方根做準備.引入算術平方根的知識,要借助具體

的生活情境,這樣才能加深對引入平方根知識必要性的認識.注意引導學生發(fā)現被開方數與

對應的算術平方根之間的關系.

S教材習題解答

練習（教材第41頁）

1.提示：（1）0.05.（2）9.（3）3.

2.提示：⑴1.（2）.⑶2.

目備課資源

（，）經典例題

臉求下列各式的值.

（1）；（2）;

（3）;（4）.

（解析）（1）就是求484的算術平方根.（2）就是求12的算術平方根.（3）就是求

20.25的算術平方根.（4）8X9X10X11+1=7921,就是求7921的算術平方根.

解：（1）因為22?=484,所以=22.

（2）因為=12,

所以=.

（3）因為4.5=20.25,所以=4.5.

（4）因為8X9X10X0+1=7921,89=7921,

所以二89.

0—整體設計

￥教學目標

知識與技能

i.會用計算器求一個數的算術平方根.

2.理解被開方數擴大（或縮?。┡c它的算術平方根擴大（或縮小）的規(guī)律.

3.能用夾值法求一個數的算術平方根的近似值.

啜程筋舒

通過求一個數的算術平方根的近似值,初步了解數的無限不循環(huán)性,理解用近似值表示

無限不循環(huán)小數的實際意義.

F情鰥度目.劍

通過計算近似值，比較兩個算術平方根的大小,培養(yǎng)學生的細心探求精神.

Q教學重難點

【重點】計算算術平方根的兩種方法;理解無限不循環(huán)小數.

【難點】夾值法及估計一個數（無理數）的大小.

q教學準備

【教師準備】教材圖6.1T的投影圖片.

［學生準備］

1.復習算術平方根的相關知識.

2.計算器.

舊教學過程

反新課導入

導入一:

能否用兩個面積為1dm2的小正方形拼成一個面積為2dm?的大正方形？

如圖所示,把兩個小正方形分別沿對角線剪開,將所得的4個直角三角形拼在一起,就

得到一個面積為2dm?的大正方形.你知道這個大正方形的邊長是多少嗎？

設大正方形的邊長為xdm,則f=2,

由算術平方根的意義可知產.

所以大正方形的邊長是dm.

問題:到底有多大呢？

導入二：

3.1415926-,看到這個數字大家一定會想到圓周率吧.圓的周長和直徑的比是一個無

限不循環(huán)小數,除此之外，像,等是不是無限不循環(huán)小數呢？

至新知構建

［過渡語］-到底有多大呢?我們一起來探索下吧.

1.探索的大小.

師：因為「=1,22=4,所以1<<2.這里我們只是粗略地知道了的大小,還不是很精確，這就

需要我們繼續(xù)探索下去.怎么繼續(xù)下去呢?大家想個辦法吧.

生:取一個大于1且小于2的數試一試.

師:從1.1到1.9這些數字我們怎么選呢？

生:通過估算和計算,我們發(fā)現1.4=1.96,1.5-2.25,所以1.4<〈1.5.

師:用剛才的辦法還能繼續(xù)探索下去嗎？

生：因為1.4「=1.9881,1.422=2.0164,所以1.41GL42;因為

1.414=1.999396,1.415=2.002225,1.414?1.415...

師:我們可以如此進行下去,會得到的更精確的近似值.但我們無論進行多少次探索,都

不會有一個最終的數值,可見=1.41421356237-,它是一個無限不循環(huán)小數.實際上,許多正

有理數的算術平方根（例如,，等）都是無限不循環(huán)小數.

2.用計算器求算術平方根.

［過渡語］’像前面探索一個數的算術平方根的方法無疑是繁瑣的,我們通過計算器可

以很輕松地解決求算術平方根的問題.

大多數計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數的算術平方根（或其近似值）.

例1（教材例2）用計算器求下列各式的值.

(1);（2）（精確到0.001）.

（解析）正確選擇計算器上的功能鍵是關鍵,對算術平方根的值要根據要求或需要

進行取舍.同時需要注意計算器上顯示的數值是一個近似值.

解：（1）依次按鍵313用顯示:56.

所以=56.

（2）依次按鍵2月,顯示：1.414213562.

所以Q1.414.

［過渡語］計算器為人們進行復雜的計算提供了巨大的方便，比如我們來看引言中提

出的問題.

由=g￡=2gR,得7|=,丹=,其中尸=9.8,E6.4X10".

用計算器求匕和吸（用科學記數法把結果寫成aX10"的形式，其中a保留小數點后一

位），得聯、7.9X10、吩-L1X10'.

因此,第一宇宙速度匕大約是7.9X10、m/s,第二宇宙速度峰大約是1.1X10"m/s.

3.用計算器探究.

（1）利用計算器計算下表中的各式,并將計算結果填在表中,你發(fā)現了什么規(guī)律?你能說

出其中的道理嗎？

（2）用計算器計算（精確到0.001）,并利用你在（1）中發(fā)現的規(guī)律說出,，的近似值，你能

根據的值說出的值是多少嗎？

問題提示：

（1）如下表所示：

...o250.792.57.92579250…

從表中可以發(fā)現:被開方施的小數點每向右（或向左）移動兩位,開方后的結果向相同的

方向移動一位.

（2）因為-1.732,-0.1732,-17.32,-173.2,根據的值不能說出是多少.

4.估計算術平方根的值解決問題.

［過渡語］在生活中，我們經常遇到估計一個數的大小的問題.請看下面的例子.

例2（教材例3）小麗想用一塊面積為400cmz的正方形紙片,沿著邊的方向裁出一塊

面積為300cm?的長方形紙片，使它的長寬之比為3:2.她不知能否裁得出來,正在發(fā)愁.小

明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片."你同意小明的

說法嗎?小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

一定能用一塊面積大的紙、

片裁出：塊面積小布械片?!，

(解析)本題的核心是能否按照要求裁出一個長寬比為3:2、面積為300cn>2的長

方形,通過列方程的辦法可以計算出滿足這樣條件的長方形的長和寬,再與正方形的邊長做

對比，就可以得出相應的結論.

解:設長方形紙片的長為3%cm,寬為2xcm,

根據邊長與面積的關系得：

3x,2A=300,

67=300

*=50,

因此長方形紙片的長為3cm.

因為50>49,所以〉7.

由上可知3>21,即長方形紙片的長應該大于21cm.

因為=20,所以正方形紙片的邊長只有20cm.這樣,長方形紙片的長將大于正方形紙片

的邊長.

答:不能同意小明的說法.小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片.

【思考】如果一個數的平方等于19,這個數是多少？

［知識拓展］確定x2=a(a20)中正數x的近似值的方法：

1.確定正數x的整數部分.根據平方的定義,把x夾在兩個連續(xù)的正整數之間,確定其

整數部分.

2.確定x的小數部分十分位上的數字.將這兩個整數平方和的平均數與x比較,預測十

分位上數字的取值范圍，也可以采用試驗的方法進行估計.

叵課堂小結

在求某些數的算術平方根時，當有些數據比較大或不易求出時,便可以利用計算器求算

術平方根,用計算器上的鍵.一般先按鍵，然后再輸入數據，再按“=”鍵即可.在沒

有計算器或不允許用計算器的情況下,可進行估算,我們通常取與被開方數相近的兩個完全

平方數的算術平方根相比較.

￡檢測反饋

1.我們可以利用計算器求一個正數a的算術平方根,其操作方法是按順序進行按鍵輸

入：正，小明按鍵輸入口目顯示結果為4,則他按鍵@@@囚顯示結果應

為

解析:根據被開方數擴大到原來的100倍，算術平方根擴大到原來的10倍直接解答即

可.故填40.

2.已知a,6為兩個連續(xù)的整數,且a?b,則.

解析：因為所以3<<4,因為所以a=3,A4,所以*63+4=7.故填7.

3.用計算器求下列各式的值(結果保留4個有效數字).

(1)；(2);(3).

解：(1)依次按鍵734,顯示27.09243437,所以427.09.

(2)依次按鍵0.012345,顯示0.111108055,所以*0.1111.

(3)依次按鍵5,顯示2.236067977,所以弋2.236.

4.小川的房間地面面積為17.6房間地面恰好由110塊相同的正方形鋪成，每塊地

磚的邊長是多少米？

解:設每塊地磚的邊長是xm,則110^=17.6,

?=0.16,所以產0.4.

答：每塊地磚的邊長是0.4>n.

叵板書設計

第2課時

L探索的大小

2.用計算器求算術平方根

例1

3.用計算器探究

4.估計算術平方根的值解決問題

例2

陷布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第44頁練習第1,2題.

【選做題】

教材47頁習題6.1第6題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.若爐-4,則估計m的值所在的范圍是()

A.欣2B.2〈欣3

C.3〈欣4D.4〈欣5

2.一個正方形的面積是15,估計它的邊長大小在()

A.2與3之間B.3與4之間

C.4與5之間D.5與6之間

3.用計算器計算：-3.142七.(結果保留三個有效數字)

4.小杰臥室地板的總面積為16平方米，恰好由64塊正方形的地板磚鋪成,求每塊地板磚的

邊長.

5.圓的面積S(cn?)與半徑r(cm)之間的關系式為貸n?,現要制作一塊面積為49ncm，的

圓形零件,此零件的半徑應為多少厘米？

【能力提升】

6.如圖所示,方格圖中小正方形的邊長為1,將方格中陰影部分圖形剪下來,再把剪下的部

分重新剪拼成一個正方形,那么所拼成的這個正方形的邊長為（）

A.B.2C.D.

7.用計算器估算:若2.6456?2.6459,則a的整數值是.

8.如果的整數部分為a,小數部分為b,那么片k.

9.學校組織集郵展覽,某同學用30枚長3cm,寬2.5cm的郵票恰好拼成了一個正方形，你

能求出這個正方形的邊長嗎？

【拓展探究】

10.請你觀察、思考下列計算過程：

因為所以=11,同樣因為11「=12321,所以=111,由此猜想=.

11.用計算器求下列各數的算術平方根（保留四個有效數字），并觀察這些數的算術平方根有

什么規(guī)律.

（1）78000,780,7.8,0.078,0.00078.

（2）0.00065,0.065,6.5,650,65000.

【答案與解析】

1.B（解析:先估算出在哪兩個整數之間，即可得到結果.因為6=?=7,所以2<-4<3,故選B.）

2.B（解析:根據正方形的面積先求出正方形的邊長，然后估算即可得出答案.設正方形的邊

長為x,因為正方形面積是15,所以/=15,故尸.因為9<15<16,所以3<<4.故選B.）

3.0.464（解析:首先利用計算器求出13的算術平方根,然后即可求出結果.-3.142心

3.6056-3.142=0.4636*0.464.）

4.解:每塊地板磚的面積=平方米,所以每塊地板磚的邊長==（米）.

5.解:設此零件的半徑為rcm,由題意得49n=n?,解得尸7.所以此零件的半徑為7cm.

6.C（解析:根據題意可得,所拼成的正方形的面積是5,所以正方形的邊長是.故選C.）

7.7（解析：因為2.6456=,2.6459=,所以a的整數值是7.）

8.4-（解析:先求出的范圍，即可求出a,6的值,再代入求出即可.因為2?3,所以的整

數部分為爐2,小數部分是比-2,所以行左2-（-2）=4-,故答案為4-.）

9.解:一枚郵票的面積為3X2.5=7.5W）,30枚郵票的總面積為7.5X30=225（01?）,則正

方形的邊長為15cm.

10.1111H111（解析：因為11=121,所以=11.同樣1112=12321,所以=111,…,由此猜想

=111111111.）

11.解：（1）=279.3,七27.93,22,793,弋0.2793,弋0.02793.（2）弋0.02550,?0.2550,4

2.550,右25.50,*255.0.規(guī)律是:被開方數的小數點向左（右）移動兩位,則其算術平方根的

小數點就向左（右）移動一位.

S教學反思

6成功之處

用“夾值法”探索根式的近似值,其教學過程中蘊含著多種教學目的，如幫助學生深入

領會無限不循環(huán)小數,為以后得出無理數和實數的概念做準備，同時也可以培養(yǎng)學生勇于探

索的精神.本課時在教學的過程中,通過情境引入、師生研討等方式較好地落實了課程教學

目標.

.)不足之處

在探索近似值的過程中，最初沒有讓學生利用計算器進行探索,課堂上浪費了一定時間,

在利用計算器進行探索的時候，忽略了學生使用計算器的差異.

再教設計

在利用計算器進行近似值探索的時候,可以讓學生自己總結一些數的算術平方根的性

質.在探索規(guī)律的過程中，學生不易直接發(fā)現小數點變化的規(guī)律,應該進行一定的提示.關注

學生對計算器的正確使用，并強調計算器的顯示結果只是算術平方根的一個近似值.

國教材習題解答

練習(教材第44頁)

1.提示：(1)37.(2)10.06.(3)2.24.

2.解(2)>8.(3)>0.5.(4X1.

一備課資源

破經典例題

畫在某項工程中，需要一塊面積為3平方米的正方形鋼板.

(1)如果精確到十分位,正方形的邊長是多少？

(2)如果精確到百分位呢？

(解析)本題實質就是求的近似值問題.本題除了借用計算器外，也可以用“夾值

法”進行探索.參考數值：L7?=2.89,1.73?=2.9929.

解：(1)1.7米.(2)1.73米.

第團課時

S整體設計

j）教學目標

知識寫技能一

1.掌握平方根的概念，明確平方根和算術平方根之間的聯系和區(qū)別.

2.能用符號正確地表示一個數的平方根,理解開平方運算和乘方運算之間的互逆關系.

.過程寫用牙

通過探索平方根與算術平方根的區(qū)別與聯系,學會利用算術平方根解決平方根的問題.

培養(yǎng)學生從多方面、多角度分析問題、解決問題的思想意識,養(yǎng)成綜合分析問題的習

慣.

Q教學重難點

【重點】平方根的概念和求數的平方根.

【難點】平方根和算術平方根的聯系與區(qū)別.

（與教學準備

【教師準備】教材圖6.1-2;教材例題投影圖片.

【學生準備】復習算術平方根的知識.

舊教學過程

JT新課導入

導入一：

我們學過了算術平方根的概念、性質.知道若一個正數X的平方等于a,即x:a,則x

叫做a的算術平方根，記作產,而且不能是非正數，比如正數32=9,則3叫做9的算術平方

根,9叫做3的平方數，但是（-3/=9,那么-3叫做9的什么根呢?下面我們就來討論這個問

題.

［設計意圖］通過復習舊知識引入新知識,有利于學生建立起知識之間的對比和聯系.

導入二：

【思考】如果一個數的平方等于9,這個數是多少？

從前面的學習我們知道,這個數可以是3.除了3以外,還有沒有別的數的平方也等于9

呢？由于（-3）2=9,這個數也可以是-3.

因此,如果一個數的平方等于9,那么這個數是3或-3.那么，3和-3叫做9的什么呢？

:設計意圖通過簡單的事例,有助于學生進行舊知識的復習，通過思考問題，引入平

方根的概念.

陷新知構建

1.平方根與開平方.

［過渡語］通過本節(jié)課的課題“6.1平方根”我們知道了“平方根”這個詞,那么什

么是平方根呢？

思路一：

填表：

x1163649

x±1±4±6±7±

問題：

①什么是算術平方根？

②表格中的這些數的算術平方根是什么？

③什么叫做平方根？

④什么叫做開平方？

問題處理方式:第一問和第二問由學生自己回答;第三問和第四問學生自學教材第45

頁例4前的內容后回答.

核心問題歸納:一般地,如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的平方根或二次

方根,這就是說,如果x=a,那么x叫做a的平方根.

求一個數a的平方根的運算,叫做開平方.

思路二：

問題思考：

(1)9的算術平方根是3,還有平方也是9的數嗎？

(2)平方等于的數有幾個?平方等于0.36的數呢？

生1：-3的平方也是9.

生2:平方等于的數有兩個,分別是和

生3:平方等于0.36的數有兩個,是0.6和-0.6.

師:根據上一節(jié)課的內容,我們知道了3是9的算術平方根,那么-3也是9的算術平方

根嗎？

生：(閱讀教材第45頁第1段)

師:-3是9的平方根,這種說法對嗎？

生：正確.

師:能總結一下平方根的定義嗎？

生:一般地,如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的平方根或二次方根,這就是

說,如果V=a,那么x叫做a的平方根.

問題2:平方與開平方的關系

學生觀察教材圖6.1-2,思考左面的平方和右面的開平方是什么關系.

我們看到，±1的平方等于1,1的平方根是±1,±2的平方等于4,4的平方根是

±2,±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方與開平方互為逆運算.根據這種互逆關

系，可以求一個數的平方根.

例1(教材例4)求下列各數的平方根.

(1)100;(2);(3)0.25.

解：⑴因為(±10)2=100,

所以100的平方根是±10.

(2)因為=,

所以的平方根是土.

(3)因為(±0.5尸=0.25,

所以0.25的平方根是土0.5.

2.平方根的特點.

問題思考：

(1)正數的平方根有幾個？(2個)

(2)正數的兩個平方根之間有什么關系？(互為相反數)

(3)0的平方根是多少？(0)

(4)負數有沒有平方根？(沒有)

(5)平方根怎么用數學式表達？(正數a的算術平方根可以用表示;正數a的負的平方根

可以用符號表示,故正數a的平方根可以用符號“土”表示，讀作“正、負根號a”.)

問題處理:第(1)問和第(2)問由學生做出肯定性的答案.第(3)問強調學生注意0的平

方根和算術平方根的一致性.第(4)問重點討論負數沒有平方根的原因.第(4)問指導學生善

于用數學符號語言總結本課時所學.

例2

(1);(2)-;(3)±.

解：⑴因為6、36,所以=6.

(2)因為0.92=0.81,所以-=-0.9.

(3)因為=，所以±=土.

［知識拓展］(1)若一個數的平方根是它本身，則這個數是0.若一個數的算術平方根

是它本身，則這個數是0或L

(2)根據開平方與平方互為逆運算可得到有關算術平方根的兩個重要公式：

①()Ja(a20)@=|a|.

要特別注意a的取值范圍.

叵課堂小結

名稱

算術平方根平方根

關系

如果一個正數x的平方等于如果一個數的平方等于

定義不同a,即x'a,那么這個正數x叫a,那么這個數叫做a的

做a的算術平方根平方根

區(qū)個數不同正數的算術平方根只有1個正數的平方根有2個

別表示方法不正數a的平方根表示為

正數a的算術平方根表示為

同土

取值范圍不正數的算術平方根一定是正定數的平方根為一正一

同數負,互為相反數

平方根包含算術平方根,算術平方根是平方根中的

具有包含關系

聯非負根

系存在的條件相

只有非負數才有平方根和算術平方根

同

0的平方根與算術平方根均為0

性檢測反饋

1.16的平方根是()

A.4B.±4

C.8D.±8

解析:求一個數的平方根,可根據平方根的定義:如果那么x就叫做a的平方根，

利用平方與開平方互為逆運算的關系進行求解.因為(±4/=16,所以16的平方根是土4.故

選B.

2.下列說法中不正確的是()

A.-是2的平方根

B.是2的平方根

C.2的平方根是

D.2的算術平方根是

解析：因為(±尸=2,所以2的平方根是土,2的算術平方根是.故選C.

3.平方根等于它本身的數是.

解析:根據平方根的定義即可求出平方根等于它本身的數.因為0~0,所以0的平方根

是0,所以平方根等于它本身的數是0.故填0.

叵板書設計

第3課時

1.平方根與開平方

例1

2.平方根的特點

例2

降布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材46頁練習第1,3題.

【選做題】

教材47頁習題6.1第11題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.9的平方根與16的平方根的和的最小值是()

A.4B.-7

C.±4D.±2

2.下列說法正確的是()

A.-2是-4的平方根

B.2是(-2)2的平方根

C.(-2)2的平方根是2

D.8的平方根是4

3.的平方根是.

4.如果某數的一個平方根是-6,那么這個數為.

5.求下列各數的平方根.

(1)0.49;(2);(3).

【能力提升】

6.下列說法:①2是4的一個平方根;②16的平方根是4;③-36的平方根是±6;④-8是64

的一個平方根.其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

7.12的負的平方根介于（）

A,-5與-4之間B.-4與-3之間

C.-3與-2之間D.-2與T之間

8.a是有理數,在a?+2,31a|+5Ja|-4,5a'+2a?中一定有平方根的式子的個數是.

9.如果正數0的兩個平方根為廣1和尸3,則/的值是.

10.求滿足下列各式的x的值.

⑴9-81=0;

（2）/=1;

（3）（x+l）z=25.

【拓展探究】

11.“平方根節(jié)”是數學愛好者的節(jié)日，這一天的月份和日期的數字正好是當年年份最后兩

位數字的平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.請你寫出本世紀內你喜歡

的一個“平方根節(jié)”.（題中所舉例子除外）

12.已知2a-l的平方根是土3,3＞斤1的算術平方根是4,求爾2b的平方根.

【答案與解析】

1.B（解析:兩個數同時取負平方根.）

2.B（解析:負數沒有平方根,A選項錯誤；（-2尸=4,4的平方根是土2,B正確,C錯誤;8的平方

根是土，D錯誤.故本題應選B.）

3.±3（解析:先求出=9,然后求出9的平方根.因為==9,又因為（土3）J9,所以9的平方根是

±3,故答案為±3.）

4.36（解析:本題考查了平方根的定義.注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數;0的

平方根是0;負數沒有平方根.因為某數的一個平方根是-6,所以這個數為36.故填36.）

5.解：⑴因為（±0.7）2=0.49,所以0.49的平方根是±0.7.（2）因為=,=,所以的平方根是

±.（3）因為=，所以的平方根是土.

6.B（解析:根據平方根的定義，結合各項進行判斷即可.①,2是4的一個平方根說法正

確;②,16的平方根是±4,原說法錯誤;③,-