理論力學(xué)動量矩習(xí)題

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習(xí)題

11-1質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在平面Oxy內(nèi)運(yùn)動，其運(yùn)動方程為：x?acos?t,y?bsin2?t。其中a、b和w均為常量。試求質(zhì)點(diǎn)對坐標(biāo)原點(diǎn)O的動量矩。

???a?sin?tvy?y??2b?co2?xs?t

LO??my?mvyx

?m(a?sin?t?bsin2?t?2b?cos2?t?acos?t)

?mab?(sin?t?sin2?t?2cos2?t?cos?t)

?ma?b(si?nt?2sin?tco?st?2co2s?t?co?st)

?2ma?bco?st(si2n?t?co2s?t)

?2mab?cos3?t

11-2C、D兩球質(zhì)量均為m，用長為2l的桿連接，并將其中點(diǎn)固定在軸AB上，桿CD與軸AB的交角為?，如圖11-25所示。如軸AB以角速度w轉(zhuǎn)動，試求下列兩種狀況下，系統(tǒng)對AB軸的動量矩。（1）桿重忽視不計；（2）桿為均質(zhì)桿，質(zhì)量為2m。

圖11-25

(1)

22Jz?2m?(lsin?)2?2ml2sin?Lz?2m?l2sin?(2)

lm282Jz桿?2?(xsin?)2dx?ml2sin2?Jz?ml2sin?0l33

8Lz?m?l2sin2?3

11-3試求圖11-26所示各均質(zhì)物體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩。各物體質(zhì)量均為m。

圖11-26

12ml?3

1l11(b)JO?ml2?m()2?ml2LO??ml2?12699

1m21m255(c)JO???l???l?ml2LO?ml2?122322424

133(d)JO?mR2?mR2?mR2LO?mR2?222

11-4如圖11-27所示，均質(zhì)三角形薄板的質(zhì)量為m，高為h，試求對底邊的轉(zhuǎn)動慣量Jx。(a)LO?

圖11-27

面密度為?A?2mbh

y2m2my2m在y處by?bdm??AdA??by?dy??b?dy?2ydybhbhhhh

微小區(qū)域?qū)τ趜軸的轉(zhuǎn)動慣量

dJz?(h?y)2dm?

Jz??

?

h2my(h?y)2dy2h02m2mh22122321y(h?y)dy?(hy?2hy?y)dy?2mh(??)h2h2?02341mh26

11-5三根相同的均質(zhì)桿，用光滑鉸鏈聯(lián)接，如圖11-28所示。試求其對與ABC所在平面垂直的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量。

圖11-28

1??1lJz??ml2?m(h)2??3h?23??12

?112?111Jz??ml2?m(?l)??3?(?)ml2?3?ml23212122?12?

11-6如圖11-29所示，物體以角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動，試求物體對于O軸的動量矩。(1)半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，在中央挖去一邊長為R的正方形，如圖11-32a所示。(2)邊長為4a，質(zhì)量為m的正方形鋼板，在中央挖去一半徑為a的圓，如圖11-32b所示。

圖11-29(1)

11R2m22JC?mR?m1Rm1?m?26πR2π

11m3π?1JC?mR2??R2?mR226π6π

m(π?1)mm??m??ππ

3π?1(π?1)m29π?7JO?JC?m?R2?mR2?R?mR26ππ6π

7?9πLO??JO??mR2?6π

(2)

11πa2π22JC?m(4a)?m1am1?m?m26216a16

81π256?3πJC?ma2??ma2?ma2321696

π16?πm??m?m?m1616

256?3π16?π256?3π?96?8?48πJO?JC?m??(22a)2?ma2?m?8a2?mR2961696

1024?51π?mR296

51π?1024LO??JO??mR2?96

11-7如圖11-30所示，質(zhì)量為m的偏心輪在水平面上作平面運(yùn)動。輪子軸心為A，質(zhì)心為C，AC＝e；輪子半徑為R，對軸心A的轉(zhuǎn)動慣量為JA；C、A、B三點(diǎn)在同始終線上。試求下列兩種狀況下輪子的動量和對地面上B點(diǎn)的動量矩：(1)當(dāng)輪子只滾不滑時，已知vA；(2)當(dāng)輪子又滾又滑時，已知vA、w。

圖11-30

LB??mvC(R?e)?JC???mvc(R?e)?(JA?me2)?(1)

??vAvC?(R?e)?R

vvvLB??m(R?e)2A?(JA?me2)A??[JA?me2?m(R?e)2]ARRR

(2)

vC?vA?e?

LB??m(vA?e?)(R?e)?JC?

??m(R?e)vA?me(R?e)??(JA?me2)?

??[m(R?e)vA?(JA?meR)?]

11-8曲柄以勻角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動，通過連桿AB帶動滑塊A與B分別在鉛垂和水平滑道中運(yùn)動，如圖11-31所示。已知OC＝AC＝BC＝l，曲柄質(zhì)量為m，連桿質(zhì)量為2m，試求系統(tǒng)在圖示位置時對O軸的動量矩。

圖11-31

?AB??(順時針)

LO?LOC?LAB

LOC?12ml?3

124(2m)(2l)2(??AB)?2ml2??ml2??ml2?1233LAB?2mvCl?

LOC?52ml?3

11-9如圖11-32所示的小球A，質(zhì)量為m，連接在長為l的無重桿AB上，放在盛有液體的容器中。桿以初角速度w0繞O1O2軸轉(zhuǎn)動，小球受到與速度反向的液體阻力F＝kmw，k為比例常數(shù)。問經(jīng)過多少時間角速度w成為初角速度的一半？

圖11-32

Lz?ml2?Mz??kml?

dLz?Mzdt

得d?k???dtl

?

00?

?kln??t?0l

l?lt?ln0t?ln2kk???d????tkdtl

11-10水平圓盤可繞z軸轉(zhuǎn)動。在圓盤上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M作圓周運(yùn)動，已知其速度大小v0=常量，圓的半徑為r，圓心到z軸的距離為l，M點(diǎn)在圓盤上的位置由f角確定，如圖11-33所示。如圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為J，并且當(dāng)點(diǎn)M離z軸最遠(yuǎn)（在點(diǎn)M0）時，圓盤的角速度為零。軸的摩擦和空氣阻力略去不計，試求圓盤的角速度與f角的關(guān)系。

圖11-33

?Mz?0Lz?常量

Lz0?mv0(l?r)Lz?Jz??m(l2?r2?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos?Jz??m(l?r?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos??mv0(l?r)??

11-11兩個質(zhì)量分別為m1、m2的重物M1、M2分別系在繩子的兩端，如圖11-34所示。兩繩分別繞在半徑為r1、r2并固結(jié)在一起的兩鼓輪上，設(shè)兩鼓輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO，試求鼓輪的角加速度。

圖11-34

Lz?JO??m1v1r1?m2v2r2v1?r1?v2?r2?22ml(1?cos?)v022Jz?m(l?r?2lrcos?)

Lz?(JO?m1r12?m2r22)?

?Mz?m1gr1?m2gr2

dLz??Mzdt

22(JO?m1r1?m2r2)??m1gr1?m2gr2

??

m1gr1?m2gr222JO?m1r1?m2r2

11-12如圖11-35所示，為求半徑R＝0.5m的飛輪A對于通過其重心軸的轉(zhuǎn)動慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩的末端系一質(zhì)量為m1＝8kg的重錘，重錘自高度h＝2m處落下，測得落下時間t1＝16s。為消去軸承摩擦的影響，再用質(zhì)量為m2＝4kg的重錘作第二次試驗，此重錘自同一高度落下的時間t2＝25s。假定摩擦力矩為一常數(shù)，且與重錘的重量無關(guān)，試求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量和軸承的摩擦力矩。

圖11-35

vJ?mR2

Lz??(J??mvR)??(J?mvR)??()vRR

?Mz?Mf?mgR

dLz??Mzdt

J?mR2

)a?mgR?Mf(R

(J?mR2)a?(mgR?Mf)R22h(J?mR)2?(mgR?M