勾股定理與方程

關于勾股定理與方程BCA直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天勾股定理的常見表達式和變形式第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在直角三角中，如果已知兩邊的長，利用勾股定理就可以求第三邊的長；那么如果已知一條邊長及另兩邊的數(shù)量關系，能否求各邊長呢？第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天感受新知1第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天（二）例題【問題1】如何在實際問題中，利用勾股定理解決問題呢？例1.有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點,它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少?

第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例1.有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點,它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少?設計意圖：

1.能利用勾股定理解決簡單的實際問題；2.通過用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關系的過程，體會模型的思想，建立符號意識；3.初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；4.本題是我國古代數(shù)學著作《九章算術》中的問題，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應用研究方面的成果.第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天解決與勾股定理有關的實際問題時，先要抽象出幾何圖形，從中找出直角三角形，再設未知數(shù)，找出各邊的數(shù)量關系，最后根據(jù)勾股定理求解.小結：第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天AB的中垂線DE交BC于點DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD==3

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，BC=3.AB的中垂線DE交BC于點D,連結AD，則AD的長為——.x3-x感受新知2第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在直角三角形中（已知兩邊的數(shù)量關系）設其中一邊為x

利用勾股定理列方程

解方程求各邊長

基本過程第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm,現(xiàn)將直角邊沿直線AD折疊，使點C落在斜邊AB上的點E，求CD的長.CBADE66例1第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天解：在Rt△ABC中

AC=6cm，BC=8cm

∴AB=10cm設CD＝DE＝xcm，則BD＝（8-x）cm

由折疊可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,

∠C=∠AED=90°

解得x＝3∴CD=DE=3cm∴BE＝10-6＝4cm,∠BED=90°在Rt△BDE中由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42CBADE66例1第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【問題2】如果一道題目中有多個直角三角形，我們如何選擇在哪個直角三角形中利用勾股定理求解呢？例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在同一平面內C'處，BC'與AD交于點E，AD=8，AB=4，求DE的長.第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在同一平面內C'處，BC'與AD交于點E，AD=8，AB=4，求DE的長.方法一第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天方法二第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在同一平面內C'處，BC'與AD交于點E，AD=8，AB=4，求DE的長.1.如果一道題目中有多個直角三角形，要選擇能夠用一個未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形（邊也可為常數(shù)），在這個三角形中利用勾股定理求解.2.解決折疊問題的關鍵：在動、靜的轉化中找出不變量.小結：第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在同一平面內C'處，BC'與AD交于點E，AD=8，AB=4，求DE的長.注意：1.基本圖形：“平行、角平分線、等腰三角形”知二推一2.折疊問題：折疊圖形前后兩個圖形全等，最好在圖中標出相等的線段和角.第18頁,共40頁，2024年2月25日，星期天練習第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天思考1

1、如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知

DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到

E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km

處？CAEBD第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天解：設AE=xkm，則BE=（25-x）km根據(jù)勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2

又DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x）2∴x=10

答：E站應建在離A站10km處。x25-xCAEBD1510思考1

第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

在一棵樹BD的5m高A處有兩只小猴子，其中一只猴子爬到樹頂D后跳到離樹10m的地面C處，另外一只猴子爬下樹后恰好也走到地面C處，如果兩個猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？ABCD5m10m思考2第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天ABCD解：如圖，D為樹頂，AB=5m,BC=10m.

設AD長為xm，則樹高為(x+5)m.∵AD+DC=AB+BC,∴DC=10+5–x=15-x.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得解得x=2.5

答：樹高為7.5米。5m10m∴x+5=2.5+5=7.5102+(5+x)2=(15–x)2思考2第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.【問題3】如果題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，怎么利用勾股定理求解？設計意圖：

經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用分割圖形構造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉化思想;第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.方法一：第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.方法二：第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.小結：1.題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，可考慮利用作垂線段，分割圖形的方法，構造直角三角形;2.“斜化直”即：斜三角形化為直角三角形求解.第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.注意：1.本題可選擇列方程或方程組求解，當列方程組求解時，要注意開平方時，是兩種情況，要舍去負值；當列方程求解CD時，最好寫“”，可以省去后面的討論;

2.本題也可以過A或B作對邊的高.第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天設計意圖：

【問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？1.經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用“補”圖形構造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉化思想;2.題目中設置的已知量并不是整數(shù)，意在增強學生的計算能力.第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天小結：題目中沒有直角三角形，但存在直角，可以考慮“補”出直角三角形求解.實際上，本題利用“割”也有多種做法.

第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天小結：題目中沒有直角三角形，但存在直角，可以考慮“補”出直角三角形求解.實際上，本題利用“割”也有多種做法.第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天注意：1.本題的解法很多，但是解法上卻有的簡單，有的復雜，要選擇好方法;

2.注意不要跳步.不能直接用結論：“含有30°的直角三角形的三邊的比為：”;如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求CE.第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【問題5】如果將勾股定理中“直角三角形”改為“斜三角形”，的關系會是怎樣呢？思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，則，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想的關系，并證明你的結論.

第35頁,共40頁，2024年2月25日，星期天思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，則，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想的關系，并證明你的結論.

設計意圖：1.從證明方法角度看，通過利用“割”、“補”圖形構造直角三角形的方法，得出類似勾股定理的結論，它是本節(jié)課所學知識的綜合應用；2.從結論上看，三角形的邊長由具體的數(shù)變成了字母，結論具有普遍性，它也是本章第18.1小節(jié)勾股定理的推廣，體現(xiàn)了特殊與一般的轉化思想.第36頁,共40頁，2024年2月25日，星期天思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若