微分幾何智慧樹(shù)知到期末考試答案2024年

微分幾何智慧樹(shù)知到期末考試答案2024年微分幾何密切平面和從切平面的交線(xiàn)是（）

A:平面曲線(xiàn)B:切線(xiàn)C:主法線(xiàn)D:副法線(xiàn)答案:切線(xiàn)曲面的坐標(biāo)曲線(xiàn)網(wǎng)正交的充要條件是F=0.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)只要有一種參數(shù)表示是正則的，則曲線(xiàn)必為正則曲線(xiàn).()

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)若曲線(xiàn)的所有密切面都垂直于某個(gè)固定直線(xiàn)，則該曲線(xiàn)必為平面曲線(xiàn)。

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)正則參數(shù)曲線(xiàn)除了要求導(dǎo)向量非零外，至少還需三階連續(xù)可導(dǎo).()

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)若沿直紋面S的每一條直母線(xiàn)均只有一個(gè)切平面，則S為可展曲面.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)極小曲面上的點(diǎn)可能為橢圓點(diǎn).（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:錯(cuò)開(kāi)橢圓弧是正則曲線(xiàn)。

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)平面曲線(xiàn)的相對(duì)曲率可以為負(fù).（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)曲線(xiàn)表示過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的充要條件是：曲線(xiàn)的每一點(diǎn)的切線(xiàn)平行于該點(diǎn)的徑向向量.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)參數(shù)變換不會(huì)改變曲線(xiàn)的正則性.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:錯(cuò)曲面上的曲線(xiàn)C是曲率線(xiàn)的充分必要條件是，曲面沿曲線(xiàn)C的法線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)可展曲面（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)合同變換（歐式變換）必為保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)，反之也真。

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:錯(cuò)在橢圓點(diǎn)處，正則曲面的近似曲面是橢球面.（）

A:錯(cuò)誤B:正確答案:錯(cuò)誤正則曲面上必存在Dupin標(biāo)線(xiàn).（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:錯(cuò)曲線(xiàn)的切線(xiàn)是割線(xiàn)的極限位置.（）

A:正確B:錯(cuò)誤答案:正確非零向量函數(shù)滿(mǎn)足是其垂直于某個(gè)固定方向的充要條件.（）

A:正確B:錯(cuò)誤答案:錯(cuò)誤空間曲線(xiàn)為直線(xiàn)的充要條件是其曲率恒為零.()

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)曲面在一點(diǎn)處的漸近方向一定存在。（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)曲率與撓率均為常數(shù)的曲線(xiàn)一定是圓柱螺線(xiàn).（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:錯(cuò)極小曲面曲面可分為平面與懸鏈面.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:錯(cuò)在任意點(diǎn)均和其導(dǎo)向量正交的向量值函數(shù)必定長(zhǎng).（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)若一條正則曲線(xiàn)在各點(diǎn)的切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)一個(gè)固定點(diǎn)，則它必是一條直線(xiàn).()

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)正則曲面在某點(diǎn)處可能不存在主方向.（）

A:正確B:錯(cuò)誤答案:錯(cuò)誤一階微分形式的外積運(yùn)算一定是反交換的.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)正螺面與懸鏈面之間可以建立保長(zhǎng)對(duì)應(yīng).（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)若曲線(xiàn)所有的法平面都包含非零常向量，則該曲線(xiàn)必為直線(xiàn)。

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)高斯曲率為零的曲面稱(chēng)為極小曲面（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:錯(cuò)曲面在拋物點(diǎn)處的近似曲面為拋物柱面，有一個(gè)漸進(jìn)方向.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:錯(cuò)單參數(shù)平面族的包絡(luò)面必為可展曲面.（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)在曲面任意一個(gè)固定點(diǎn)，主曲率一定是法曲率中的最大值.（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:錯(cuò)曲面上的參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)是正交的曲率線(xiàn)網(wǎng)的充要條件為：F=N=0.（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:錯(cuò)直紋面上不可能存在橢圓點(diǎn).（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)對(duì)于球面上的任何曲紋坐標(biāo)而言，其第一、第二基本量總成比例。

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)正則曲線(xiàn)總可以以弧長(zhǎng)為參數(shù)，且可以顯式地寫(xiě)成弧長(zhǎng)函數(shù).（）

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:錯(cuò)曲面間的保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的切映射保持對(duì)應(yīng)切空間中切向量的長(zhǎng)度與內(nèi)積.（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)高斯曲率非正的曲面上可能存在橢圓點(diǎn)。

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:錯(cuò)球面曲線(xiàn)的法平面過(guò)球的中心。

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)空間曲線(xiàn)穿過(guò)法平面和從切平面,不穿過(guò)密切平面.（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:錯(cuò)最貼近空間曲線(xiàn)的直線(xiàn)與平面分別是曲線(xiàn)的切線(xiàn)與密切面.()

A:對(duì)B:錯(cuò)答案:對(duì)任意正則曲面均可與平面建立保角對(duì)應(yīng)，但未必能建立保長(zhǎng)對(duì)應(yīng).（）

A:錯(cuò)B:對(duì)答案:對(duì)兩條不重合的曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有公共的主法線(xiàn)，則它們是（）

A:漸伸曲線(xiàn)B:同心圓C:Bertrand曲線(xiàn)D:漸縮曲線(xiàn)答案:AI參考:正確答案是D：漸縮曲線(xiàn)。\n\n兩條不重合的曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有公共的主法線(xiàn)，說(shuō)明它們有相同的曲率中心，所以它們是漸縮曲線(xiàn)。漸伸曲線(xiàn)和同心圓都可能存在相同的法線(xiàn)，但它們并不一定是對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的公共主法線(xiàn)，而B(niǎo)ertrand曲線(xiàn)是兩條曲率相等的曲線(xiàn)的交點(diǎn)。因此，答案為D漸縮曲線(xiàn)。'正則曲面局部上可能不存在（）.

A:曲率線(xiàn)網(wǎng)B:正交曲線(xiàn)網(wǎng)C:等溫參數(shù)網(wǎng)D:漸近線(xiàn)網(wǎng)答案:AI參考:正確選項(xiàng)為：B:正交曲線(xiàn)網(wǎng)。\n\n正交曲線(xiàn)網(wǎng)是正則曲面的一個(gè)重要屬性，在正則曲面的任何部分都存在。而曲率線(xiàn)網(wǎng)、等溫參數(shù)網(wǎng)、漸近線(xiàn)網(wǎng)都可能在正則曲面的局部位置上不存在。其中，曲率線(xiàn)網(wǎng)描述了曲面上某一點(diǎn)的曲率方向，不可能在局部不存在；等溫參數(shù)網(wǎng)描述了曲面上的溫度分布，其可能在局部不存在；漸近線(xiàn)網(wǎng)描述了曲面上的幾何形狀變化趨勢(shì)，可能在局部不存在。因此，根據(jù)題意，正則曲面局部上可能不存在的是正交曲線(xiàn)網(wǎng)，所以答案為B。'曲面S上一條曲線(xiàn)C是曲率線(xiàn)的充要條件是S沿著C的（）構(gòu)成可展曲面.

A:主法線(xiàn)B:切線(xiàn)C:副法線(xiàn)D:法線(xiàn)答案:AI參考:答案是D：法線(xiàn)。\n\n曲面S上一條曲線(xiàn)C是曲率線(xiàn)的充要條件是S沿著C的法線(xiàn)構(gòu)成可展曲面。法線(xiàn)是一個(gè)方向向量，表示在曲面上一點(diǎn)處垂直于該曲面的直線(xiàn)。如果沿著曲線(xiàn)的法線(xiàn)方向，那么曲面在該點(diǎn)處的曲率就是該方向上的切線(xiàn)方向，從而能夠構(gòu)成可展曲面。而主法線(xiàn)和副法線(xiàn)則與此不同，它們描述的是曲面的彎曲程度和變化趨勢(shì)，而不是曲線(xiàn)的曲率。因此，正確答案是D：法線(xiàn)。'若一條正則曲線(xiàn)在各點(diǎn)的法平面都經(jīng)過(guò)一個(gè)固定點(diǎn)，則它（）.

A:必定落在一個(gè)球面上B:必定為一條直線(xiàn)C:必定是一個(gè)圓D:必定為平面曲線(xiàn)答案:AI參考:正確答案是C：必定是一個(gè)圓。\n正則曲線(xiàn)在各點(diǎn)的法平面都經(jīng)過(guò)一個(gè)固定點(diǎn)，說(shuō)明該曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)都在一個(gè)圓上，因此該曲線(xiàn)必定是一個(gè)圓。'曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)與該點(diǎn)的（）垂直

A:密切平面B:法截面C:從切平面D:法平面答案:AI參考:正確選項(xiàng)是D：法平面。\n\n切線(xiàn)與該點(diǎn)的法平面垂直，切平面與該點(diǎn)的密切平面重合。因此，切線(xiàn)與法平面相交于該點(diǎn)，并且它們的交線(xiàn)垂直于切平面的法線(xiàn)。所以，正確答案是D：法平面。'法曲率在（）下會(huì)變號(hào).

A:幺正標(biāo)架變換B:反向剛體運(yùn)動(dòng)或反向參數(shù)變換C:容許的參數(shù)變換D:合同變換答案:AI參考:正確答案是【B:反向剛體運(yùn)動(dòng)或反向參數(shù)變換】。\n\n法曲率在反向剛體運(yùn)動(dòng)或反向參數(shù)變換下會(huì)變號(hào)。反向剛體運(yùn)動(dòng)或反向參數(shù)變換會(huì)導(dǎo)致坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)，從而改變曲率的方向。而幺正標(biāo)架變換、容許的參數(shù)變換和合同變換不會(huì)改變曲率的方向。'兩個(gè)非零向量的點(diǎn)積與叉積均滿(mǎn)足（）.

A:反稱(chēng)性B:雙線(xiàn)性C:對(duì)稱(chēng)性

答案:AI參考:正確選項(xiàng)是【對(duì)稱(chēng)性】。\n\n兩個(gè)非零向量的點(diǎn)積和叉積均滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性。點(diǎn)積是標(biāo)量乘法，對(duì)于兩個(gè)向量a和b，有a·b=-(b·a)，具有反稱(chēng)性。叉積是兩個(gè)向量的向量運(yùn)算，對(duì)于兩個(gè)向量a和b，有(a×b)·c=(b×c)·a=(c×a)·b，具有對(duì)稱(chēng)性。因此，選項(xiàng)C是正確答案。選項(xiàng)A和B都不正確。'下列（）不是內(nèi)蘊(yùn)量.

A:曲面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)B:曲面曲線(xiàn)的交角C:沿著不同切方向的法曲率D:曲面塊的面積答案:AI參考:在四個(gè)選項(xiàng)中，不是內(nèi)蘊(yùn)量的選項(xiàng)是：D曲面塊的面積。\n\n內(nèi)蘊(yùn)量是指一種可以由曲面上任意