二項(xiàng)式展開式性質(zhì)_第1頁
二項(xiàng)式展開式性質(zhì)_第2頁
二項(xiàng)式展開式性質(zhì)_第3頁
二項(xiàng)式展開式性質(zhì)_第4頁
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文檔簡(jiǎn)介

關(guān)于二項(xiàng)式展開式性質(zhì)對(duì)于(a+b)n=的展開式有哪些項(xiàng)?個(gè)(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-rbr+…+bn二項(xiàng)式定理右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式,它一共有n+1項(xiàng).其中各項(xiàng)系數(shù)

Cnr

(r=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)式中的項(xiàng)Cnran-rbr

叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),是第r+1項(xiàng),記作Tr+1即Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

(1)展開式各項(xiàng)中a、b的指數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的遞變規(guī)律.但指數(shù)和為n

(2)通項(xiàng)公式中a、b的指數(shù)及其系數(shù)和所在項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系.試一試:寫出(1+x)n

的展開式及其通項(xiàng)公式。第2頁,共13頁,2024年2月25日,星期天總結(jié)1.二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律:2.指數(shù)規(guī)律:(1)各項(xiàng)的次數(shù)均為n;(2)二項(xiàng)和的第一項(xiàng)a的次數(shù)由n降到0,第二項(xiàng)b的次數(shù)由0升到n.3.項(xiàng)數(shù)規(guī)律:兩項(xiàng)和的n次冪的展開式共有n+1個(gè)項(xiàng)定理特征二項(xiàng)式定理:4.通項(xiàng)公式:Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)右邊的多項(xiàng)式叫做的展開式第3頁,共13頁,2024年2月25日,星期天解:第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第三項(xiàng)的系數(shù)為240.項(xiàng)的系數(shù):該項(xiàng)所有常數(shù)因子的積.二項(xiàng)式系數(shù):第4頁,共13頁,2024年2月25日,星期天例3:的展開式常數(shù)項(xiàng)解:通項(xiàng)公式:Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)第5頁,共13頁,2024年2月25日,星期天練習(xí):1、求的展開式的中間兩項(xiàng)

解:展開式共有10項(xiàng),中間兩項(xiàng)是第5、6項(xiàng)。

的展開式中,第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是:14:3,求展開式中的第4項(xiàng)第6頁,共13頁,2024年2月25日,星期天因此,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等,且同時(shí)取得最大值。

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.(2)增減性與最大值

二項(xiàng)式系數(shù)前半部分是逐漸增大的,由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的,且中間項(xiàng)取得最大值。(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和

且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和2n-1第7頁,共13頁,2024年2月25日,星期天例1:已知(1+x)n展開式中x2

的系數(shù)等于

x的系數(shù)的3倍,求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)第8頁,共13頁,2024年2月25日,星期天解:例2:已知(1-2x)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和及所有項(xiàng)的系數(shù)之和變式:已知(2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6,求(1)奇次項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和

(2)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值(3)a1+a2+a3+a4+a5+a6

第9頁,共13頁,2024年2月25日,星期天因此,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等,且同時(shí)取得最大值。

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.(2)增減性與最大值

二項(xiàng)式系數(shù)前半部分是逐漸增大的,由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的,且中間項(xiàng)取得最大值。(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和

且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和2n-1第10頁,共13頁,2024年2月25日,星期天特值思想二項(xiàng)式定理對(duì)任意的數(shù)a、b都成立,當(dāng)然對(duì)特殊的a、b也成立!第11頁,共13頁,2024年2月25日,星期天

考察在n=1,2,3,4時(shí),(a+b)n的展開式的系數(shù)規(guī)律.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,(a+b)4=

.a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3我國(guó)古代優(yōu)秀成果介紹:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

列出上述各展開式的系數(shù):

11121133114641規(guī)律:(1)表中每行兩端都是1

(2)其它各數(shù)都是它肩上兩數(shù)的和.1510105116152015611楊輝三角形試一試:你能根據(jù)楊輝三角形寫出(a+b)5的展開式嗎?a5+

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