2020年高考數(shù)學(xué)(理)之糾錯筆記14 算法初步、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

專題14算法初步、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

易錯點1忽略判斷框內(nèi)的條件

T〉?

閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入〃的值為9,則輸出S的值為

【錯解】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算5=21+22+23+…+28+1+2+3+…+8=546,故輸出S的值為

546.

【錯因分析】解題過程錯在循環(huán)是在公10終止，而不是在k=9時終止，所以循環(huán)體最后一次執(zhí)行的是S=S

+29+9.

【試題解析】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算5=21+22+23+~+29+1+2+...+9=1067,故輸出S的值

為1067.

【參考答案】1067

【警示】解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂程序框圖，明晰循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的真正含義，對于本題，要認(rèn)清程

序框圖運行的次數(shù).

,易錯點擊

1.注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.

2.注意條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：對于循環(huán)結(jié)構(gòu)有重復(fù)性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒有重復(fù)性，并且循環(huán)

結(jié)構(gòu)中必定包含一個條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時終止循環(huán)體.

即時鞏固

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a=-1,則輸出的5=

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析1閱讀流程圖，初始化數(shù)值a=-l,Z=l,S=().

循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：

第一次：S=0_]=_l,a=I,々=2；

第二次：S=-l+2=l,a=-l,k=3；

第三次：5=1-3=-2,。=1,%=4：

第四次：S=-2+4=2,a=-l,左=5；

第五次：S=2-5=-3,a=1,A:=6；

第六次：S=-3+6=3,a=-l,Z=7,

結(jié)束循環(huán)，輸出S=3.故選B.

【名師點睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.求解時，先明晰算法及流程圖的相

關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更

要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，如：是求和還是求項.

易錯點2誤將類比所得結(jié)論作為推理依據(jù)

,■-__________>?

俠闞分衙

22

已知q,4,q,。2，4，。2都是非零實數(shù)，不等式a,x+btx+q<0,c^x+b2x+c2<0的解集分別為

.則“?十是*”成立的--------------條件（選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不

充分又不必要”中的一種）.

4

a,b[

-一

【錯解】￡L知兩個不等式同解，即濕力—“是“M=N”成立的充要條件.

仇

【錯因分析】錯解將方程的同解原理類比到不等式中,忽略了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)別.

（試題解析】當(dāng)&=g=工時，可取"=4=G=1,生=a=G=-1,則M=0,N=R,

Wb2C2

故S=2=S#M=N；

a2b2c2

當(dāng)M=N=0時，可取4=4=q=L劣=1也=2,G=3,則幺。幺，即加="分幺=3=5.

a2b2c2a2b2c2

ahG

綜上知“'=U="是"M=N”成立的既不充分又不必要條件.

a2b2c2

【參考答案】既不充分又不必要條件

*易錯點擊

類比推理是不嚴(yán)格的，所得結(jié)論的正確與否有待用實踐來證明，解題時若直接使用類比所得結(jié)論進行推

理則容易出現(xiàn)錯誤.

即時鞏固

2.在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出，“割之彌細，所失彌少，制之又割，以至于不可割，

則與圓周合體而無所失矣.”注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在

,2++萬二中“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個定值x，這可以通過方程=x確定出

來％=2,類比上述結(jié)論可得Iog2[2+log2(2+log2(2+))]的正值為

A.1B.夜

C.2D.4

【答案】C

【解析】由題意可得x=log2(2+x),x〉0,.??2,=x+2,解得x=2,故選C.

易錯點3小前提錯誤

■

-----------------??

俠闞分.

?^判斷函數(shù)y=2閔的單調(diào)性.

【錯解】指數(shù)函數(shù)曠=優(yōu)3＞1)是增函數(shù)，而丁=2同是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)丁=2兇是增函數(shù).

【錯因分析】錯解中的小前提“y=2閨是指數(shù)函數(shù)”是錯誤的，函數(shù)y=2同不是指數(shù)函數(shù)，而是一個分段函

數(shù)，在每一個分段區(qū)間上是指數(shù)函數(shù)，并且底數(shù)的取值不同，要對單調(diào)性進行討論.

【試題解析】對于指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)，當(dāng)。＞1時是增函數(shù)，當(dāng)0＜。＜1時是減函數(shù)，故當(dāng)xe[(),+8)時，

丁=2兇=2、是增函數(shù)；當(dāng)xe(YO,0]時，丁=2況=(3尸是減函數(shù).

'易錯A擊

演繹推理的前提與結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的小前提.

即時鞏固

3.矩形的對角線互相垂直，正方形的對角線互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段論的推理中

A.推理形式錯誤B.小前提錯誤

C.大前提錯誤D.結(jié)論錯誤

【答案】C

【解析】矩形的對角線不是垂直的，正方形的對角線是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出現(xiàn)了

錯誤.

【名師點睛】本題主要考查邏輯推理的結(jié)構(gòu)，分清三段論推理中的大前提，小前提，結(jié)論是求解關(guān)鍵.

易錯點4反證法誤區(qū)——推理中未用到結(jié)論的反設(shè)

X____

供色I分衙

已知實數(shù)。滿足不等式(2p+l)(p+2)<0,用反證法證明:關(guān)于x的方程f-2x+5-p2=0無實數(shù)根.

【錯解】假設(shè)方程》2一2%+5-/72=0有實數(shù)根，由已知實數(shù)/7滿足不等式(2。+1)(/7+2)<0,解得一2<.<一3,

而關(guān)于無的方程%2一2%+5-/?2=0的根的判別式』=4(。2一4).

222

v_2<p<_l..-.l<p<4,」<0,即關(guān)于x的方程x-2%+5-p=0無實數(shù)根.

【錯因分析】錯解在解題的過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，故不是反證法.

(試題解析】假設(shè)方程f-2x+5-p2=0有實數(shù)根，則該方程的根的判別式/=4(p2-4)20,解得P22

或2①，

而由已知實數(shù)P滿足不等式(2p+l)(p+2)<0,解得一2<〃<一g②.

數(shù)軸上表示①②的圖形無公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程f-2x+5-p2=0無實數(shù)根.

'3錯點、擊

利用反證法進行證明時，首先對所要證明的結(jié)論進行否定性的假設(shè)，并以此為條件進行歸謬，得到矛盾，

則原命題成立.

■.即時鞏固

4.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于60。，反證假設(shè)正確的是

A.假設(shè)三內(nèi)角都大于60。B.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60。

C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60°D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°

【答案】B

【解析】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有?個大于60°不成立，即假設(shè)三內(nèi)角都

不大于60。，故選B.

【名師點睛】本題考查了反證法的第一步的假設(shè)過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的

關(guān)鍵.

.易錯點5對復(fù)數(shù)的相關(guān)概念不理解出錯

,

供國I分.

設(shè)復(fù)數(shù)〃+bi(mb￡R)的模為則(〃+Z?i)(a—bi)=.

【錯解】復(fù)數(shù)a+歷的模為J”?+方2,則/+/=又(a+bi)(a—bi)=a2—trr-cr+tr-A/3，故(a

+fei)(a—bi)=y(3.

【錯因分析】上述的解題過程對復(fù)數(shù)模的運算處出現(xiàn)了一個簡單的失誤,對于復(fù)數(shù)z=a+bi的模|小，片+從,

故應(yīng)為a2+Z>2=3.

【試題分析】復(fù)數(shù)。+bi(a,bWR)的模為Ja?+除2=,則〃2+/=3,則(〃+/?i)(〃一bi)-cP—(bi)2=a2

一。平二〃2+/=3.

【參考答案】3

,易錯點擊

復(fù)數(shù)的運算過程中要注意靈活運用復(fù)數(shù)的概念及運算法則.如本例中模的計算要兩邊同時平方而得出正確結(jié)

論.

"特別嘏琳

1.判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.

2.對于復(fù)系數(shù)(系數(shù)不全為實數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程的解，一般都

是將實根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進行求解.

3.兩個虛數(shù)不能比較大小.

4.利用復(fù)數(shù)相等。+例=c+di列方程時，注意mb,c,d￡R的前提條件.

5.注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來.例如，若a，z2sc,z：+z；=0,就不

2

能推出zi=z2=0;2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

即時鞏固

1.ZA,

5.已知復(fù)數(shù)z--（其中i為虛數(shù)單位），則|z|=

3-1

A夜]_

B.

22

「V26V74

_______D.

10i(r

【答案】A

l+2i(l+2i)(3+i)l+7i4.1r2_=互,故選A.

【解析】z，，⑶

3-i(3-i)(3+i)10102

【名師點睛】首先化簡復(fù)數(shù)Z,然后結(jié)合復(fù)數(shù)的定義確定其虛部即可.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、

減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.

.易錯點6數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用誤區(qū)—歸納假設(shè)只設(shè)不用

用數(shù)學(xué)歸納法證明：|+4+7+…+(3/?-2)=-〃(3〃-1)(〃eN*).

2

【錯解】（1）當(dāng)”=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)〃=A:(A:eN*)時等式成立，即1+4+7+…+(3左一2)=^Z(3Z-1).

那么，當(dāng)〃=%+1時，需證1+4+7+…+(3%一2)+[3(左+1)—2]=,(左+1)(3左+2)(*).

2

由于等式左邊是一個以1為首項,3為公差的等差數(shù)列的前什1項的和，所以左邊=,（％+1）（1+34+1）

2

，（左+1）（3左+2）=右邊，所以（*）式成立.

2

即〃=k+l時等式成立，

根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何〃eN*都成立.

【錯因分析】錯解在證明當(dāng)〃=左+1等式成立時，沒有用到歸納假設(shè)“當(dāng)n=k(keN*)時等式成立“，故

不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求.

【試題解析】(1)當(dāng)〃=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)〃=)時等式成立，即1+4+7+…+(3%—2)=]女(3%-1).

那么，當(dāng)〃=左+1時，1+4+7+…+(3%—2)+[3/+1)—2]=g%(3左一1)+(3女+1)

I|1

=-(3k2+5Z+2)=/伏+1)(3々+2)=耳(4+1)[3伏+1)-1].

即當(dāng)〃二攵+1時等式成立.

根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何都成立.

'易錯點擊

判斷用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題是否正確，關(guān)鍵要看兩個步驟是否齊全，特別是第二步歸納假設(shè)是否被

應(yīng)用，如果沒有用到歸納假設(shè)，那就是不正確的.

即時鞏固

6.已知數(shù)列｛%｝的前幾項和為S“，V”eN*，Sn=—(2/1+V)an+—.

(1)求4,“2，；

(2)猜想數(shù)列｛a“｝的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.

【答案】(1)q=1,a2—3,。3=5；(2)an—2n—\.

【解析】(1)分別取〃=1,2,3得

?31_51_71

￡=4=^4+^，S?=q+4=]42，53=?!+a,+=-<73+-,

解得q=l,%=3，%=5.

(2)猜想q=2"-1

〃=1時，由(1)知，4=1=2*1—1,猜想成立，

假設(shè)〃=《,eN*)時，％=2左一1,

則W+i=Sk+l-Sk=-(2k+3)%]Qk+1)4+-

=；(2左+3)%旬一；(2%+1)%,

所以:(2Z—1)%旬=：(2k+1)為，

因為a?=2k—1,所以4+]=2k+1=2(k+1)—1,

所以，〃=%+1時a”=2〃-1成立，

綜上所述，任意〃eN*，a“=2”—1.

【名師點睛】本題難度不大，考差數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法用來證明數(shù)列的一般方法，注意在

證明〃=女+1時需用上假設(shè)，化為〃=&的基本形式.

糾錯筆記

一、算法初步

1.在設(shè)計一個算法的過程中要牢記它的五個特征：概括性、邏輯性、有窮性、不唯一性、普遍性.

2.在畫算法框圖時首先要進行結(jié)構(gòu)的選擇.若所要解決的問題不需要分情況討論，只用順序結(jié)構(gòu)就能解決；

若所要解決的問題要分若干種情況討論時，就必須引入選擇結(jié)構(gòu)；若所要解決的問題要進行許多重復(fù)的

步驟，且這些步驟之間又有相同的規(guī)律時，就必須引入變量，應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu).

3.循環(huán)語句有“直到型”與“當(dāng)型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，主要解決需要反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)，用循環(huán)語句來

編寫程序.

4.關(guān)于賦值語句，有以下幾點需要注意：

(1)賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式，例如3="是錯誤的.

(2)賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量，例如Y=x,

表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為廣K因為后者表示用Y的值替代變量x的值.

(3)在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現(xiàn)多個

二、推理與證明

1.常見的類比、歸納推理及求解策略

(1)在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：①找兩類

對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；②找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，

如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等.

(2)歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個

體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.

2.利用綜合法、分析法證明問題的策略

(1)綜合法的證明步驟如下：①分析條件，選擇方向：確定己知條件和結(jié)論間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、

定理等；②轉(zhuǎn)化條件，組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴(yán)密的證明過程.特別地,根據(jù)題目特點選取合

適的證法可以簡化解題過程.

(2)分析法的證明過程是：確定結(jié)論與己知條件間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、定理對結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，直

到獲得一個顯而易見的命題即可.

(3)實際解題時，用分析法思考問題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過程，或者聯(lián)合使用分析法與

綜合法，即從“欲知"想‘'已知"(分析)，從“己知”推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條

件和結(jié)論的途徑.

3.用反證法證明不等式要把握的三點

(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面.

(2)必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證.

(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與己知事實矛盾等，且推導(dǎo)

出的矛盾必須是明顯的.

4.反證法的一般步驟

用反證法證明命題時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定

原命題)的過程.這個過程包括下面三個步驟

(1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真

(2)歸謬——由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾

(3)存真——由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯誤，從而肯定原結(jié)論成立

即反證法的證明過程可以概括為：反設(shè)——歸謬——存真.

5.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的常見策略

(1)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，由〃=k到”=%+1時等

式兩邊變化的項.

(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是由〃=%成立證〃=左十1時也成立.在歸納假設(shè)后應(yīng)用比較法、

綜合法、分析法、放縮法等加以證明，充分應(yīng)用不等式的性質(zhì)及放縮技巧.

(3)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決“歸納一猜想一證明"，是不完全歸納與數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是先由合

情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再證明結(jié)論的正確性.

三、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.

2.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減

法相結(jié)合.

3.實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集

合及平面向量是一一對應(yīng)關(guān)系，即

—,一■對應(yīng).

復(fù)數(shù)之=〃+歷--------->復(fù)平面內(nèi)的點Z(a")

,對應(yīng)f平面向量—近>

4.復(fù)數(shù)運算常用的性質(zhì)：

(1)①(l±i)2=±2i：②W=i,-=-i.

1-i1+i

(2)?,則①|(zhì)<y|=l；(2)1+co+(v2=0；③<y=o>2.

22

(3)?+濁+產(chǎn)+嚴(yán)3=0(〃CN*).

1.【2019年高考全國H卷理數(shù)】設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)［對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由z=—3+2i,得)=—3—2i,則4=—3-2i對應(yīng)的點(-3,-2)位于第三象限.故選C.

2.【2019年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則

A.(x+l)2+/=1B.(X-1)2+9=1

C.x2+(y-l)2=lD.爐+(尹1)2=1

【分析】本題考點為復(fù)數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易.此題可采用幾何法，根據(jù)點(x,y)和點(0,

1)之間的距離為1,可選正確答案為C.

【答案】C

22

【解析】由題可得2=*+同,27=》+0-1>,|Z-i|=^/x+(y-l)=1,則尤2+(y-l)2=1.故選c.

3.【2019年高考全國HI卷理數(shù)】若z(l+i)=2i,則z=

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

【答案】D

2i_2i(l-i)

【解析】z=1+i.故選D.

T+l-(l+i)(l-i)

【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取運算法則法，利用方程思想解題.

4.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(l+gi)z=(-V5+i)2,則共枕復(fù)數(shù)彳的虛部為

A.亞B.-V3i

C.V3D.一百

【答案】C

【分析】根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)z,然后再求出共規(guī)復(fù)數(shù)彳，從而可得其虛部.

【解析】V(l+^i)z=(-V3+i)2=2-2^i.

.2(13)2(13)2一后

1+V3i(1+V3i)(l-V3i)

1+百i，.??復(fù)數(shù)彳的虛部為由.故選C.

【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法的運算及共聊復(fù)數(shù)的概念，其中正確求出復(fù)數(shù)z是解題的關(guān)鍵，

對于復(fù)數(shù)的運算，解題時一定要按照相關(guān)的運算法則求解，特別是在乘除運算中一定不要忘了i2=-1.

5.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=&，z+z=2(彳為z的共軌復(fù)數(shù))(i為虛數(shù)單位)則2=

A.1+iB.1-i

C.1+i或1-iD.-1+i或-1一i

【答案】C

【解析】設(shè)z=Q+bi(Q,b￡R),則三=。一。i,z+，=2a,

〃+/=2Q=1

所以cc,得I,，所以z=l+i或z=l-i.故選C.

2a=2b=±l

6.己知i為虛數(shù)單位，且(1+i)z=-l,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】V(l+i)z=-l".z=-W="4+?，z對應(yīng)的點是(一：*),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限.

故選B.

7.復(fù)數(shù)2："=A+

A、BeR),且A+JB=O,則小的值是

l+2i

22

A.——B.一

33

C.V2D.2

【答案】A

【解析】因為7^Y=A+B^m'A、BGR),所以2—相4A+用11,即

3

A—23=2

2-mi—A一2?+2同，由此可得＜,結(jié)合A+B=O可解之得《B=--

2A+B=-m3

2

m=——

3

故應(yīng)選A.

8.下面關(guān)于復(fù)數(shù)z=--的四個命題:pi：|z|=2;

-1-1

P2：Z的共枕復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,-1)；

P3：Z的虛部為-1；

2

p4：z=-2i,

其中的真命題是

A-P2,P3B.Pi，p2C.P2.P4D.p3,p4

【答案】c

【解析】z=f-=-l+i,則

Pi：|z|=V2；

P2：z的共軌復(fù)數(shù)2=-1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(一1,-1)；

P3：Z的虛部為1；

P4：z2=-2i.

故真命題是P2，P?

故選C.

9.【2019年高考全國1卷理數(shù)】如圖是求2+」y的程序框圖，圖中空臼框中應(yīng)填入

2+-

2

/輸出//

（結(jié)束）

B.A=2+一

A

【答案】A

【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu)特征

與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.

1-J—1

【解析】初始：A=-,k^l<2,因為第一次應(yīng)該計算-1=--&=左+1=2；

2+-2+A

2

執(zhí)行第2次，k=2<2,因為第二次應(yīng)該計算2+-^=--,k=k+l=3,

2+12+A

2

結(jié)束循環(huán)，故循環(huán)體為A=「二，故選A.

【秒殺速解】認(rèn)真觀察計算式子的結(jié)構(gòu)特點，可知循環(huán)體為A=；；—.

10.【2018全國卷n理】為計算S=l-L+L-'++-———,設(shè)計了下面的程序框圖，則在空白框中

23499100

應(yīng)填入

A.i=i+1B.i=i+2

C.i=i+3D.z=z+4

【答案】B

111+-——L得程序框圖先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因

【解析】由S=1—+------+

23499100

此在空白框中應(yīng)填入i=i+2.

故選B.

【名師點睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,

包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循

環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，

最后再相減.因此累加量為隔項.

11.習(xí)近平總書記在十九大報告中指出:堅定文化自信,推動社會主義文化繁榮興盛.如圖，“大衍數(shù)列”：0,2

,4,8,12…來源于〈乾坤譜》中對〈易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極

衍生過程中曾

經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.下圖是求大衍數(shù)列前n項和的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，輸入m=10,則輸出

的A.5=100B.140

C.190D.250

【答案】C

【解析】由題意得，程序的功能是計算當(dāng)輸入zn=10時,s的值,S='+絲+父二+￡二+...+吐L+空.

222222

計算可得S=*8+24+48+80)+*4+16+36+64+100)=190.

故選C.

12.【2019年高考全國HI卷理數(shù)】執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出S的值等于

c1c1

C-2-FD-2-靖

【答案】C

【分析】根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進行運算，可得結(jié)果.

【解析】輸入的￡為0.01,

x=l,s=0+l,x=1<().01?不滿足條件；

s=0+l+,,x=L<0.01?不滿足條件；

24

'=」-=滿足條件，結(jié)束循環(huán);

S=0+1H----h+g,0.0078125<0.01?

22128

+*=2x（1一提）=2一*,故選C.

輸出5=1+—+

2

【名師點睛】解答本題關(guān)鍵是利用循環(huán)運算，根據(jù)計算精確度確定數(shù)據(jù)分析.

13.宋元時期數(shù)學(xué)名著〈算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹

何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的Q,b分別為5,2,則輸出的九=

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

【解析】由題可得，因為Q=5,b=2,有九=l,a=5+|=孩,b=4.因為蔡<4不成立，所以n=2,a=y4-

自棄”=8,因為:<8不成立，所以n=3,Q=?+*等,b=16,因為當(dāng)<16不成立，所以幾=4,Q=等+

44448888

黑=笠*=32.因為鬟S32成立，所以輸出n=4.

161616

故選C.

14.用秦九韶方法求多項式/(%)=12+35%—8%2+79%3+6%4+5%5+3”在％=—4的值時，方的值為

A.34B.220

C.-845D.3392

【答案】A

【解析】因為f(x)=((((((3x+5)x+6)x+79)%-8)x+35)x+12,因為x=-4,所以%=3,%=

—7,v2=34.

故選A.

15.【2019年高考全國I卷文數(shù)】古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度

之比是避二1(2^二LO.618,稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.止匕外，最美人體的

22

頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是避二L若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為

2

105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】方法一：如下圖所示.

依題意可知：

AC_y/5-lAB_75-1

~CD~2'~BC~2'

①腿長為105cm得，即CO>105,

AC=^11CO>64.89,

2

AD=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以169.89.

②頭頂至脖子下端長度為26cm,

即AB<26,

Afi

BC=〒—<42.07,

V5-J

AC=AB+BC<6S.Q7,

Ar

CD=廠<110.15,

V5-1

2

AC+CD<68.07+110.15=178.22,

所以AZX178.22.

綜上，169.89<4。<178.22.

「頭頂

-咽喉

肚臍

-足底

故選B.

方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則竺=型二=好二1,得

xy+1052

x*42.07cm,yv5.15cm.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,所以其身高約為

42.07+5.15+105+26-178.22,接近175cm.故選B.

【名師點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取類比法，利用轉(zhuǎn)化

思想解題.

16.中國有個名句“運籌帷幄之中,決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指〈孫子算經(jīng)〉中記載的算籌，古代是用算

籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算.算籌的擺放形式有縱橫兩種形式.如圖，表

示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，

個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是

1T-111，則1227用算籌表示為

I

?IlinmimuTnmnn跳式

—===s-L=l：iA播u

中他4化的/

A.||——ITB.II11

C.I—II11D.|二|||[

【答案】B

【解析】由題意得千位的1用算籌表示為“一'

故選B.

17.甲、乙、丙、丁四個人參加某項競賽，四人在成績公布前做出如下預(yù)測：

甲說：獲獎?wù)咴谝冶∪酥校?/p>

乙說：我不會獲獎，丙獲獎；

丙說：甲和丁中的一人獲獎；

丁說：乙猜測的是對的.

成績公布后表明，四人中有兩人的預(yù)測與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)測與結(jié)果不相符.已知倆人獲獎，則

獲獎的是

A.甲和丁B.甲和丙

C.乙和丙D.乙和丁

【答案】D

【解析】乙、丁的預(yù)測要么同時與結(jié)果相符，要么同時與結(jié)果不符，若乙、丁的預(yù)測成立，則甲、丙

的預(yù)測不成立，可知矛盾，故乙、丁的預(yù)測不成立，從而獲獎的是乙和丁，故選D.

【名師點睛】本題考查了邏輯推理能力，假設(shè)法是解決此類問題常用的方法.

18.甲乙丙丁四名同學(xué)參加某次過關(guān)考試，甲乙丙三個人分別去老師處問詢成績,老師給每個人只提供了其他

三人的成績.然后，甲說:我們四個人中至少兩人不過關(guān);乙說:我們四人中至多兩人不過關(guān);丙說:甲乙丁恰

好有一人過關(guān).假設(shè)他們說的都是真的,則下列結(jié)論正確的是

A.甲沒過關(guān)B.乙沒過關(guān)

C.丙過關(guān)D.丁過關(guān)

【答案】B

【解析】因為甲說:我們四人中至少兩人不過關(guān);乙說:我們四人中至多兩人不過關(guān);所以四人級有且只有

兩人過關(guān)，兩不過關(guān),又因為，丙說:甲乙丁恰好有一人過關(guān),不過關(guān)的情況有三種可能:甲乙、甲丁、乙丁，

根據(jù)甲不知道自己成績的情況下說四個人中至少兩人不過關(guān),可見乙丙丁中有兩人不過關(guān)，不過關(guān)的可

能的情況有三種:乙丙、丙丁、乙丁，結(jié)合以上六種情況，同時成立的是乙丁不過關(guān)，所以一定正確的結(jié)論

是乙沒過關(guān).

故選B.

19.用反證法證明命題“已知x,yGN*,如果xy可被7整除，那么x,y至少有一個能被7整除”時，假設(shè)

的內(nèi)容是

A.x,y都不能被7整除B.x,y都能被7整除

C.X,y只有一個能被7整除D.只有X不能被7整除

【答案】A

【解析】用反證法證明命題時，先假設(shè)命題的否定成立，再進行推證.“x，y至少有一個能被7整除”

的否定是“x，y都不能被7整除”.

故選A.

【名師點睛】此題考查量詞的否定.至少有一個的否定是一個也沒有，因此此題假設(shè)內(nèi)容為都不能.

20.在一次體育興趣小組的聚會中,要安排6人的座位，使他們在如圖所示的6個椅子中就坐，且相鄰座位（如1與

2,2與3）上的人要有共同的體育興趣愛好，現(xiàn)已知這6人的體育興趣愛好如下表所示，且小林坐在1號位置

上，則4號位置上坐的是

/MC小方小R小興小李小周

體育興題位球,網(wǎng)球.足球，排球亞球,棒球,擊劍.網(wǎng)界.停球,排球,第拳道.擊

愛好羽毛球跆拳道乒乓球足球前就外，自行車

A.小方B.小張

C.小周D.小馬

【答案】A

【解析】由題可得,因為小林坐在1號位置匕根據(jù)相鄰座位的人有共同的體育興趣愛好，所以2號位置k

坐小馬的話，則3號位置只能坐小李，所以6號位置只能坐小張，所以4號位要與3、5號位置有共同的興

趣愛好，則只能是小方.

故選A.

21.下圖的表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了，這又是我國數(shù)學(xué)史

上的一個偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：

1,2,3,3,6,4,10,5,…,則此數(shù)列前16項和為

A.120B.163

C.164D.165

【答案】C

【解析】考查每行第二個數(shù)組成的數(shù)列：2,3,4,5，歸納推理可知其通項公式為2=〃+1,

區(qū)x7

其前8項和4=8x2+^—xl=44；

2

每行第三個數(shù)組成的數(shù)列：1,3,6,10,歸納推理可知其通項公式為%=坨詈=((〃2+/〉

其前8項和

82162

據(jù)此可得題中數(shù)列前16項的和為120+44=164.

本題選擇C選項.

【名師點睛】本題主要考查歸納推理的方法，數(shù)列通項公式的求解，數(shù)列求和的方法等知識，意在考

查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.分別考查每行第二個數(shù)和第三個數(shù)組成的數(shù)列，然后求和兩次即可

求得最終結(jié)果.

22.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在編號為1,2,3,4的4個位子上(如圖)，第一

次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位.這樣交替進行下去，那么第2018次互換座

位后，小兔的座位對應(yīng)的編號為.

【解析】由圖，經(jīng)過4次交換后，每個小動物乂回到了原來的位置，故此變換的規(guī)律是周期為4,因為

2018=4x504+2,所以經(jīng)過2018次互換座位后，小兔對應(yīng)的是編號2的位置.

【名師點睛】本題主?？疾榱藲w納推理，屬于中檔題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾個變換方式歸納出周期為

4的規(guī)律，歸納推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想對事物作出判斷.根據(jù)題意，交換的規(guī)律是

先前后再左右，由圖可以看出，此交換的周期是4,由此規(guī)律即可求解.

23.“求方程(|尸+?尸=1的解”有如下解題思路:設(shè)f(x)=(|尸+<尸，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2)=1,

所以原