小學奧數(shù)模塊教程四年級杯賽備戰(zhàn)講義-巧求面積

巧求面積巧求面積上課日期：上課時間：教師姓名：知識框架知識框架知識點一：格點面積正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網(wǎng)，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網(wǎng)中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個格點多邊形．那么，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數(shù)目有沒有關系？如果有，這兩者之間的關系能否用計算公式來表達？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用N表示多邊形內(nèi)部格點，L表示多邊形周界上的格點，S表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數(shù)．我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．這個規(guī)律就是畢克定理．畢克定理畢克定理若一個格點多邊形內(nèi)部有N個格點，它的邊界上有L個格點，則它的面積為．三角形格點問題1、定義：所謂三角形格點多邊形是指：每相鄰三點成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．規(guī)定它的面積為1，以這樣的點為頂點畫出的多邊形為三角形格點多邊形．2、公式：關于三角形格點多邊形的面積同樣有它的計算公式：如果用S表示面積，N表示圖形內(nèi)包含的格點數(shù)，L表示圖形周界上的格點數(shù)，那么有，就是格點多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點數(shù)的2倍與周界上格點數(shù)的和減去2．知識點二：圖形剪拼本講中很多類型的題目還要求同學們?nèi)邮謬L試．通過本講知識的學習，讓同學們了解不同圖形的分割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學們的平面想象能力以及增強學生的動手操作能力．把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割．反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，就叫做圖形的拼合．將一個或者多個圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼．我們在圖形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點來思考．如果把一個圖形分割成若干個大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對稱點，把圖形先分少，再分多．圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少，再結(jié)合數(shù)量來分割圖形．如果是要把幾個圖形拼合成一個大圖形，要特別注意每條邊的長度，把相等的邊長拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個關鍵，根據(jù)已知條件和圖形的特點，通過分析推理和必要的計算，確定剪拼的方法．解題關鍵：分割其實就是運用特殊的三角形（等角直角三角形、等邊三角形等）、正方形、等邊圖形的特殊性質(zhì)進行分割而得，所以分割的關鍵是利用了特殊圖形的關系解題。解題思想：這其實就是一種化整為零的思想，各位同學不僅要學會幾何題中的這種方法，更要細細體味這種思想在解決各種問題中的妙用。知識點三：等高模型三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高從這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積．如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化．但是，當三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化．比如當高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼?，則三角形面積與原來的一樣．這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化．同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個不同的形狀．在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結(jié)論：①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．例題精講例題精講模塊一基本圖形剪拼一個長方形的紙折成三等份后變成了一個正方形，正方形的周長是40cm,求原來長方形的面積是多少？一個長方形折成四等份后變成了一個正方形，已知正方形的周長是25平方厘米，求原來長方形的面積是？如圖，一個正方形被分成了4個相同的長方形．每個長方形的周長都是20厘米．則這個正方形的面積是________平方厘米．如圖，一個正方形分割成六個長方形，這六個長方形的周長和是多少？從一塊正方形土地上，劃出一塊寬為10米的長方形土地（如右圖），剩下的長方形土地面積是1575平方米．那么，劃出的長方形土地的面積是多少？從一塊正方形土地上，劃出一塊寬為4米的長方形土地（如下圖），剩下的長方形土地面積是60平方米．那么，劃出的長方形土地的面積是多少？在長方形的一條邊上任意取一點，連接這點和對邊的兩個端點得到一個三角形，這個三角形的面積比長方形的面積少25平方分米，則三角形的面積是多少平方分米？在長方形的一條邊上任意取一點，連接這點和對邊的兩個端點得到一個三角形，長方形面積比這個三角形面積多30平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？正方形的面積為30，一個含有45°角的直角三角板的直角邊的長度是正方形邊長的3倍，這個三角板的面積是多少平方厘米？正方形的面積為40，一個含有45°角的直角三角板的直角邊的長度是正方形邊長的2倍，這個三角板的面積是多少平方厘米？將面積為36的正方形按圖1的方式分成4個周長相等的正方形，則圖中陰影長方形的面積為__________．一塊正方形的鋼板，先截去一個寬5分米的長方形，又截去一個寬8分米的長方形(如圖)，面積就比原來正方形減少181平方分米．原正方形的邊長是多少分米？學校校園里有一塊長方形的地長18米，寬12米，想種上紅花、黃花和綠草，一種設計方案如右圖，那么其中紅花的面積是____________平方米．某校為了美化校園，準備在一塊長32米、寬20米的長方形場地上修筑若干條等寬道路，余下部分作草坪，使草坪面積為540米2，并請全校同學參與設計，現(xiàn)在有兩位學生各設計了一種方案（如圖），請你根據(jù)兩種設計方案各列出方程，求圖（1）、圖（2）中道路的寬分別是多少？如下圖，陰影小正方形的邊長為1分米，最大的正方形的邊長為3分米，求正方形ABCD的面積？如下圖，每個格子都是邊長為1cm的正方形，求陰影部分的面積。（可以多種方法求解）如圖，求梯形ABCD的面積．如果用虛線將梯形分成面積相等的兩部分，那么AE的長度是多少厘米？如圖是由邊長分別為10厘米、12厘米、8厘米的正方形構成，有一條與AB邊平行的直線EF將此圖形分成面積相等的兩部分，那么BF的長度為多少厘米？模塊二差不變正方形與長方形如右圖放置，厘米，那么正方形的面積比長方形的面積大__________平方厘米．如右圖，大小兩個正方形部分重合，兩塊沒有重合的陰影部分面積差是（）平方厘米。如圖所示，四個相疊的正方形，邊長分別是5、7、9、11．問灰色區(qū)與黑色區(qū)的面積的差是______．大小兩個正方形放置如圖，大正方形空白部分比小正方形空白部分大多少？一塊長方形的地分成如圖所示的兩個長方形，分別承包給甲、乙兩戶．甲戶的蔬菜大棚與乙戶的雞場面積相等，剩下的部分甲戶比乙戶的面積多96畝．已知，那么長方形的總面積是多少畝？(1).下圖中兩個完全一樣的三角形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）(2)正方形的邊長是2(a+b)，已知圖中陰影部分B的面積是7平方厘米，求陰影部分A和C的和是多少平方厘米？模塊三等高模型一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的面積。如下圖，和都是長方形，如果長方形的面積是30平方厘米，那么陰影部分的面積是_________平方厘米．如果長方形ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面積是多少？如圖，已知E．F分別是AB．BC的中點，陰影部分的面積為21，求長方形ABCD的面積。如圖，已知E．F分別是AB．BC的三等分點，陰影部分的面積為20，求長方形ABCD的面積。右圖中的正方形的邊長為10，則陰影部分的面積為（）．圖16-15中外側(cè)的四邊形是一邊長為10厘米的正方形，求陰影部分的面積．如圖，的面積為36，點在上，，點在上，，則的面積是________．如圖，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形ABC的面積是多少？如圖，四邊形是梯形，上底是8，下底是16，點是邊上的任意一點，如果的面積是30，那么梯形的面積是__________．如圖，四邊形是梯形，上底是10，下底是20，點是邊上的任意一點，如果的面積是40，那么梯形的面積是__________．模塊四方方模型如圖，在一大一小兩個正方形拼成的圖形中，陰影部分的面積是50平方厘米，則小正方形的面積是__________平方厘米．如圖中小正方形和大正方形的邊長分別是4厘米和6厘米．陰影部分的面積是多少平方厘米？如下圖，正方形的邊長為12厘米，正方形的邊長為8厘米，是正方形的中心（對角線的交點），那么陰影部分的面積是_________平方厘米．如圖所示，大、小兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，已知AB=2EF，圖中陰影部分的面積為31平方厘米，那么小正方形CEFG的面積是多少平方厘米？如圖，有兩個小正方形和一個大正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，陰影部分三角形面積為240，請問三個正方形的面積和是_________．如圖，有兩個小正方形和一個大正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，陰影部分三角形面積為120平方厘米，請問三個正方形的面積和是_________．大、中、小三個正方形，邊長都是整數(shù)厘米，小正方形的周長比中正方形的邊長大，把這兩個正方形放在大正方形上（如圖），大正方形露出的部分的面積是20平方厘米（圖中陰影部分）．那么，大正方形的面積是（）平方厘米．大,中,小三個正方形,邊長都是整厘米數(shù),小正方形的周長比中正方形的邊長大.把這兩個正方形放在大正方形中,大正方形露出部分的面積是28平方厘米,大正方形的面積是多少平方厘米?模塊五格點面積如下圖，每條邊都相等，每個角都是直角，則根據(jù)信息，求下圖的面積為（）平方厘米．把大正三角形每邊八等份，組成如圖所示的三角形網(wǎng)。如果每個小三角形的面積都是1，求圖中粗線所圍成的三角形的面積。已知如圖，在正三角形網(wǎng)絡中，每個小正三角形的面積是1，請你在圖2中畫出一個三角形，使三角形的面積是圖1陰影部分面積的一半。正方形網(wǎng)絡中，每個小正方形的邊長為1，請你在圖2中畫出一個等腰三角形，使三角形的面積跟圖1陰影部分面積相等。圖2的“蝙蝠”圖案由若干個等腰直角三角形和正方形組成，已知陰影部分的面積為1，則“蝙蝠”圖案的面積是__________．下面小方格的邊長是1cm，方格中陰影的面積分別是多少？

．如右圖所示，網(wǎng)格中每個小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網(wǎng)格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點在格子點上或在格線上），則這個剪影的面積為_________平方厘米．如圖6-1，每一個小方格的面積都是l平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?右圖中，相鄰兩個格點的距離為1，那么陰影部分的面積是_________．“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？（相鄰兩點間距離是1）【答案】18模塊六正六邊形的分割和拼接如下圖，大正六邊形的面積是24平方厘米，其中放了三個一樣的小正六邊形。陰影面積是多少平方厘米？如下圖，有一個大正六邊形，連接對角線后取中點，連接后得到一個小正六邊形，已知陰影部分面積是36平方厘米，求大正六邊形的面積？如圖所示，三個正六邊形的面積均為6平方厘米，那么，陰影部分的面積是__________平方厘米．如圖，正六邊形的面積是24平方厘米，求陰影部分的面積．如圖，六邊形的各邊都相等，每個內(nèi)角都是120°，每兩條線的延長線交于一點，三個交點構成一個等邊三角形，若陰影部分的面積和是，則六邊形的面積是多少？如圖，六邊形的各邊都相等，每個內(nèi)角都是120°，每兩條線的延長線交于一點，三個交點構成一個等邊三角形，若正六邊形的面積和是，則陰影部分的面積是多少？下圖是一個正六邊形，面積是360平方厘米，、、、分別是四條邊的中點．那么，陰影部分的面積是_________平方厘米．如圖，六邊形ABCDEF的面積是16平方厘米，M，N，P，Q分別是AB，CD，DE，AF的中點，求圖中陰影部分的面積．模塊七重疊問題桌面上放有四張大小不同的正方形紙片，邊長分別為2、3、4、5．若分別取走邊長為2、3、4、5的正方形紙片中的一個，則剩下的三張紙片覆蓋的面積分別減少2、3、4、5．那么四張紙片覆蓋的面積為____________．用三種不同的色紙剪成大、小、中三個正方形，把它們部分疊合放在桌面上（如圖所示），遮蓋了桌面65平方厘米。如果大正方形的邊長為7厘米，中正方形的邊長為5厘米，小正方形的邊長為3厘米，且有兩層色紙遮蓋的部分分別為6平方厘米，4平方厘米、2平方厘米。那么有三層色紙遮蓋的部分面積為多少平方厘米？模塊八最值問題將長為12厘米，寬為8厘米的長方形紙片剪去4個同樣大小的等腰直角三角形，剩余部分的面積至少是_________平方厘米．將長為14厘米，寬為10厘米的長方形紙片剪去4個同樣大小的等腰直角三角形，剩余部分的面積至少是_________平方厘米．右圖中的一個長方形紙板每個角上都被切掉了一個小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個1，四個2，兩個3和一個4，那么紙板剩下部分的面積最大是多少？下圖中的一個長方形紙板每個角上都被切掉了一個小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個1，三個3，兩個4和兩個5，那么紙板剩下部分的面積最大是多少？如圖，一個長方形被分成4個小長方形，其中長方形、、的周長分別是10厘米、12厘米、14厘米，那么長方形的面積最大是____________平方厘米．如圖，一個長方形被分成4個小長方形，其中長方形、、D的周長分別是12厘米、14厘米、17厘米，如果每個長方形的邊長都是整數(shù)，那么長方形A的面積最小是____________平方厘米．家庭作業(yè)家庭作業(yè)一個面積是16平方厘米的正方形紙，折成四等份，求每一份的面積？一個長方形的花壇被平均分成八個小正方形，已知每個小正方形的周長是15米，長方形花壇的周長是多少米？從一塊正方形土地中，畫出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米如右圖，大小兩個正方形部分重合，兩塊沒有重合的陰影部分面積差是（）平方厘米。一個含有45°角的直角三角板的面積為40，正方形的邊長是這個三角板直角邊的邊長的2倍，這個正方形的面積是多少平方厘米？在長方形的一條邊上任意取一點，連接這點和對邊的兩個端點得到一個三角形，剩余部分面積比長方形面積少30平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？如圖，已知E．F分別是AB．BC的中點，G是EF的三等分點，陰影部分的面積為1，求長方形ABCD的面積。下圖是由四個完全相同的正六邊形和一個長方形組成，已知大長方形和四個小正六邊形的面積之差是32平方厘米，求四個小正六邊形面積的和？如圖，六邊形的各邊都相等，每個內(nèi)角都是120°，每兩條線的延長線交于一點，三個交點構成一個等邊三角形，若三角形1的面積是，則正六邊形的面積是多少？已知大的正六邊形面積是72平方厘米，按圖中不同方式切割（切割點均為等分點），形成的陰影部分面積各是多少平方厘米？如圖，大長方形形的面積是100平方厘米，其中放了四個一樣的小正六邊形．陰影面積是平方厘米．將長20厘米，寬為12厘米的長方形紙片剪去4個同樣大小的等腰直角三角形，剩余部分的面積至少是_________平方厘米．下圖中的一個長方形紙板每個角上都被切掉了一個小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個1，兩個2，三個3和兩個5，那么紙板剩下部分的面積最大是多少？如圖，一個長方形被分成4個面積不相等的小長方形，其中A、B、的面積分別是A=160，B=172，C=215，（單位：平方厘米）．原來大長方形的面積是平方厘米．如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積是多少平方厘米？在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。如圖，在三角形ABC中，D是BC的中點，E、F是AC的三等分點。已知三角形的面積是108平方厘米，求三角形CDE的面積。把下圖三角形的底邊BC四等分，在下面括號里填上“＞”、“＜”或“=”。甲的面積（）乙的面積。如圖，長方形AB