對(duì)稱(chēng)性、奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用一．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（一）函數(shù)的圖象自身對(duì)稱(chēng)1、軸對(duì)稱(chēng)對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).推論1：的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).推論2：的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).推論3：的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).求對(duì)稱(chēng)軸方法：2、中心對(duì)稱(chēng)對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).推論：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).推論：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).推論：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).求對(duì)稱(chēng)中心方法：小結(jié):軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)的區(qū)別軸對(duì)稱(chēng)：f(a+x)=f(b-x)中，自變量系數(shù)互為相反數(shù)（內(nèi)反），函數(shù)值相等(差為零)；中心對(duì)稱(chēng)：f(a+x)=-f(b-x)+2c中，自變量系數(shù)互為相反數(shù)（內(nèi)反），函數(shù)值和為定值.（二）兩個(gè)函數(shù)的圖象相互對(duì)稱(chēng)1、函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；特別地，函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于直線(xiàn)x=0(y軸)軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；求對(duì)稱(chēng)軸方法：令a+x=b-x,得.2、函數(shù)y＝f(a＋x)+c與y＝－f(b－x)+d關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；特別地，函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于點(diǎn)（0,0）（原點(diǎn)）中心對(duì)稱(chēng).函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù).求對(duì)稱(chēng)中心方法：橫坐標(biāo)令a+x=b-x,得，縱坐標(biāo)y=二．函數(shù)的奇偶性1.如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)（f(x)－f(－x)＝0），那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱(chēng)．推論：若y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x＝a軸對(duì)稱(chēng).2.如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)（f(x)+f(－x)＝0），那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng).推論：若y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱(chēng).三．函數(shù)的周期性1.定義：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.2.推論：①()的周期為T(mén).②的周期為③的周期為例10.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（C）A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù)D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)例11.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)任意x∈R都有f(2+x)=-f(x)，又當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)=x3，⑴證明：直線(xiàn)x=1是f(x)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸；⑵當(dāng)x∈[1,5]時(shí)，求函數(shù)f(x)的解析式．判斷函數(shù)的單調(diào)性5、確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例12.設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)，又由函數(shù)的性質(zhì)得是以10為周期的函數(shù).在一個(gè)周期區(qū)間上，故圖象與軸至少有2個(gè)交點(diǎn).而區(qū)間有6個(gè)周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個(gè)交點(diǎn).6、求參數(shù)的值（范圍）例13.①若函數(shù)f(x)=|x+a|，且f(x)滿(mǎn)足對(duì)x∈R都有f(3+x)=f(2-x)，則實(shí)數(shù)a=______．②若函數(shù)f(x)=(x+a)3，且f(x)滿(mǎn)足對(duì)x∈R都有f(3+x)=-f(2-x)，則實(shí)數(shù)a=______．例14.f(x)滿(mǎn)足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調(diào).求a的值.例15．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．7.兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性例16.函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（D）A．關(guān)于直線(xiàn)x＝5對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱(chēng)D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對(duì)