人教版高中數(shù)學(xué)必修2全冊(cè)學(xué)案

第一章立體幾何初步

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：空間直線，平面的位置關(guān)系。柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積的計(jì)算公式。平行、垂直的定義,

判定和性質(zhì)。

難點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的概括。文字語言，圖形語言和符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化。平行，垂直判定

與性質(zhì)定理證明與應(yīng)用。

自學(xué)評(píng)價(jià)

第一課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)

1.棱柱的定義：__________________________

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)-------------

-棱柱的結(jié)構(gòu)特征表示法：

思考:棱柱的特點(diǎn)：.

［答］___________________________________

棱柱、棱錐、棱臺(tái)一j棱錐的結(jié)構(gòu)特征

」棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

2.棱錐的定義：__________________________

學(xué)習(xí)要求

1.初步理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念。

掌握它們的形成特點(diǎn)。表示法：

2.了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)中一些常用思考:棱錐的特點(diǎn)：.

名稱的含義。［答］__________________________________

3.了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)這幾種幾何3.棱臺(tái)的定義：_________________________

體簡(jiǎn)單作圖方法表示法：

4.了解多面體的概念和分類.思考:棱臺(tái)的特點(diǎn)：.

【課堂互動(dòng)】［答］__________________________________

4.多面體的定義：____________________(2).靈活理解柱、錐、臺(tái)的特點(diǎn)：

例如：棱錐的特點(diǎn)是：⑴兩個(gè)底面是全等的多邊

5.多面體的分類：形；⑵多邊形的對(duì)應(yīng)邊互相平行；⑶棱柱的側(cè)面

⑴棱柱的分類___________________________都是平行四邊形。反過來，若一個(gè)幾何體，具有

⑵棱錐的分類___________________________上面三條，能構(gòu)成棱柱嗎？或者說，上面三條能

⑶棱臺(tái)的分類___________________________作為棱柱的定義嗎？

答：不能.

【精典范例】點(diǎn)評(píng):就棱柱來驗(yàn)證這三條性質(zhì)，無一例外，能

例1：設(shè)有三個(gè)命題：不能找到反例，是上面三條能作為棱柱的定義的

甲：有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊關(guān)鍵。

形所圍體一定是棱柱；

乙：有一個(gè)面是四邊形，其余各面都三角形自主訓(xùn)練一

所圍成的幾何體是棱錐；1.如圖，四棱柱的六個(gè)面都是平行四邊形。這

丙：用一個(gè)平行與棱錐底面的平面去截棱個(gè)四棱柱可以由哪個(gè)平面圖形按怎樣的方向平

錐，得到的幾何體叫棱臺(tái)。

移得到？

以上各命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(A)

A.0B.1C.2D.3

例2：畫一個(gè)四棱柱和一個(gè)三棱臺(tái)。

【解】四棱柱的作法：

⑴畫上四棱柱的底面——畫一個(gè)四邊形；

⑵畫側(cè)棱——從四邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)畫平

行且相等的線段；

⑶畫下底面-----順次連結(jié)這些線段的另

一個(gè)端點(diǎn)

互助參考7頁例1

答由四邊形ABCD沿AA1方向平移得到.

2.右圖中的幾何體是不是棱臺(tái)？為什么？

⑷畫一個(gè)三棱錐，在它的一條側(cè)棱上取一

點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)側(cè)面畫出與底

面平行的線段，將多余的線段橡去.答：不是，因?yàn)樗臈l側(cè)棱延長不交于一點(diǎn).

互助參考7頁例1

3.多面體至少有幾個(gè)面？這個(gè)多面體是怎樣的

幾何體。

答：4個(gè)面，四面體.

點(diǎn)評(píng)：(1)被遮擋的線要畫成虛線(2)畫臺(tái)由第二課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

錐截得

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

思維點(diǎn)拔：

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

解柱、錐、臺(tái)概念性問題和畫圖需要：

(1).準(zhǔn)確地理解柱、錐、臺(tái)的定義

圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

學(xué)習(xí)要求【精典范例】

1.初步理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球例1：給出下列命題：

的概念。掌握它們的生成規(guī)律。甲：圓柱兩底面圓周上任意兩點(diǎn)的連線是圓柱的

2.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球中一些母線

常用名稱的含義。乙：圓臺(tái)的任意兩條母線必相交

3.了解一些復(fù)雜幾何體的組成情況，丙：球面作為旋轉(zhuǎn)面，只有一條旋轉(zhuǎn)軸，沒

學(xué)會(huì)分析并掌握它們由哪些簡(jiǎn)單有母線。

幾何體組合而成。其中正確的命題的有（A）

4.結(jié)合日常生活中的一些具體實(shí)例，A.0B.1C.2D.3

體會(huì)客觀世界中事物與事物之間內(nèi)在例2：如圖，將直角梯形ABCD繞AB邊所在的直

聯(lián)系的辨證唯物主義觀點(diǎn)，初步學(xué)會(huì)線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾

用類比的思想分析問題和解決問題.何體構(gòu)成的？。

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.圓柱的定義：_____________________

母線__________________________________

底面___________________________________【解】互助參考9頁例1

軸_____________________________________

2.圓錐的定義：____________________

3.圓臺(tái)的定義：_____________________

例3：指出圖中的幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)

4.球的定義：_____________________成的？。

5.旋轉(zhuǎn)面的定義：___________________

6.旋轉(zhuǎn)體的定義：___________________

7.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的畫法。

甲乙

【解】互助參考9頁例2

思維點(diǎn)撥：

如何解答一個(gè)復(fù)雜幾何體的組成情況，主

要是將原幾何體分割成柱、錐、臺(tái)和球后再解

答。

如：以正六邊行的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一

周，所得幾何體由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？

解：是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓臺(tái)挖去兩個(gè)圓錐

所得幾何體。

自主訓(xùn)練

1.指出下列幾何體分別由哪些簡(jiǎn)單幾何

體構(gòu)成？

3J一＞第三課時(shí)中心投影和平行投影

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

答：略知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

2.如圖，將平行四邊形ABCD繞AB邊所在

的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體是由哪

些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的？

答：圓錐和圓柱

3.充滿氣的車輪內(nèi)胎可以通過什么圖形旋學(xué)習(xí)要求

轉(zhuǎn)生成？1.初步理解投影的概念。掌握中心投

影和平行投影的區(qū)別和聯(lián)系。

答：圓

2.了解并掌握利用正投影鑒別簡(jiǎn)單組合體

的三視圖。

3.初步理解由三視圖還原成實(shí)物圖的思維

方法.

【課堂互動(dòng)】

【師生互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)

1.投影的定義：______________________

2.中心投影的定義：

平行投影的定義：__________________

平行投影的分類：__________________

3.主視圖（或正視圖）的定義：

俯視圖的定義：

左視圖的定義：____________________

【精典范例】

一、如何畫一個(gè)實(shí)物的三視圖？

例1:畫出下列幾何體的三視圖。方確定一個(gè)水平面作為投影——俯視圖

2.作圖規(guī)律：長對(duì)正，寬相等，高平齊

例2：設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前方，試畫出它

二、如何由三視圖還原成實(shí)物圖。

例3.根據(jù)下面的三視圖，畫出相應(yīng)空間圖形的

左視圖

解略.

解答：互助參考12頁例1

點(diǎn)評(píng):解決這類問題，需要充分發(fā)揮空間想象能

力。一般的從主視圖出發(fā)，然后是左視圖、俯視

圖，畫圖后檢驗(yàn)。

自主訓(xùn)練一

根據(jù)下列的主視圖和俯視圖，找出對(duì)應(yīng)的物體，

填在下列橫線上。

點(diǎn)評(píng)：1.畫三視圖的方法和步驟(1)B(2)D

(1)選擇確定正前方，確定投影面，正前方

應(yīng)垂直于投影面，然后畫出這時(shí)的正投影面

------主視圖

(2)自左到右的方向垂直于投影面，畫出這

時(shí)的正投影------左視圖

⑶自上而下的方向是固定不變的。在物體下

⑴⑵⑶⑷

第四課時(shí)直觀圖畫法C

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

學(xué)習(xí)要求

1.初步了解中心投影和平行投影的點(diǎn)評(píng)：在條件“平行于x軸的線段，在直觀圖

區(qū)別。中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為

2.初步掌握水平放置的平面圖形的原來的一半”之下，正三角形的直觀圖為斜三

直觀圖的畫法和空間幾何體的直角形。

觀圖的畫法自主訓(xùn)練一

3.初步了解斜二測(cè)畫法畫水平放置的正五邊形的直觀圖。

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.消點(diǎn)的定義：______________________

2.斜二測(cè)畫法步驟⑴

⑵__________________________________

⑶_______________________________解答：略

(4)_______________________________

【精典范例】

一、怎樣畫水平放置的正三角形的直觀圖

例1:畫水平放置的正三角形的直觀圖。

例2.畫棱長為2cm的正方體的直觀圖.

解答：互助參考15頁例2

解答：互助參考14頁例1

符號(hào)表示___________________________

5.公里3：__________________________

點(diǎn)評(píng)：空間圖形的直觀圖的畫法。

規(guī)則是：已知圖形中平行于X軸，y軸和z符號(hào)表示___________________________

軸的線段，在直觀圖中保持平行性不變；平問題：舉出日常生活中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平

行于x軸，z軸的線段，在直觀圖中保持原面的例子.

長度不變；平行于y軸的線段長度為原來的

一半。

自主訓(xùn)練二

用斜二測(cè)畫法畫長、寬、高分別是【精典范例】

4cm,3cm,2cm的長方體ABCD—A'B'CD'例1：己知E、F、G、II分別為空間四邊形（四

的直觀圖

個(gè)頂點(diǎn)不共面的四邊形）ABCD各邊AB、AD、BC、

仿照例2作圖

CD上的點(diǎn)，且直線EF和GH交于點(diǎn)P,求證：B、

第五課時(shí)平面的基本性質(zhì)D、P在同一條直線上.

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

證明：

VPGEF,ffijEGAB,FGAD

AEFI平面ABD

平面ABD

學(xué)習(xí)要求同理，PG平面BDC

平面ABDPl平面BDC

1.初步了解平面的概念.

AB,D、P在同一條直線上

2.了解平面的基本性質(zhì)（公理1-3）

3.能正確使用集合符號(hào)表示有關(guān)點(diǎn)、

線、面的位置關(guān)系.

4.能運(yùn)用平面的基本性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)

單的問題

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)思維點(diǎn)拔：

1.平面的概念：______________________證明多點(diǎn)共線，通常利用公里2,即兩相交平面

交線的唯一性；證明點(diǎn)在相交平面的交線上，

2.平面的表示法______________________必須證明這些點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)。

3.公里］:_________________________自主訓(xùn)練

如圖,在正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為

符號(hào)表示___________________________AB,AA,中點(diǎn)，求證CE,DF,DA三條直線交于一點(diǎn)。

4.公里2：__________________________

證略.

自主訓(xùn)練

1.為什么許多自行車后輪旁裝一只撐腳？

2.用符號(hào)表示''點(diǎn)A在直線1上，1在平面a

外”正確的是(B)

例2.如圖，在長方體ABCD-ABCD中，

A.Al1,IIa

下列命題是否正確？并說明理由.

①AG在平面CCiBiB內(nèi)；B.AI1,IEa

②若0、分別為面ABCD、ABCD的中

心，則平面AA.CiC與平面BiBDDi的交線為C.Ai1,IEa

001.

D.Al1,IIa

③由點(diǎn)A、0、C可以確定平面；

④由點(diǎn)A、G、Bi確定的平面與由點(diǎn)A、3.下列敘述中，正確的是(D)

A.因?yàn)镻la,QIa,所以PQla

G、D確定的平面是同一個(gè)平面.

B.因?yàn)镻la,QIB,所以aCB=PQ

C.因?yàn)锳Bia,CIAB,DIAB,所以

CDIa

D.因?yàn)锳Bia,ABIB,所以AlaqB,

且BIaqB

第六課時(shí)平面的基本性質(zhì)

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

解(1)不正確知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

(2)正確

(3)不正確

(4)正確.

學(xué)習(xí)要求

1.了解平面基本性質(zhì)的3個(gè)推論，了解例1：己知：如圖AC1,Bel,Cel,DI1,

它們各自的作用.

求證：直線AD、BD、CD共面.

2.能運(yùn)用平面的基本性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)

單的問題.

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.推論］:.

解答：互助參考22頁例1

已知:

求證:

解答：互助參考22頁推論1

思維點(diǎn)拔：

簡(jiǎn)單的點(diǎn)線共面的問題，一般是先由部分點(diǎn)或

線確定一個(gè)平面，然后證明其他的點(diǎn)線也在這

個(gè)平面內(nèi)，這種證明點(diǎn)線共面的方法稱為"落

入法"

例2.如圖：在長方體ABCD-ABCD中，P為

棱BBi的中點(diǎn)，畫出由4,C,,P三點(diǎn)所確定

2.推論2：_______________________的平面a與長方體表面的交線.

己知：

求證：

解答：互助參考23頁例2

自主訓(xùn)練一

證明空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一

平面內(nèi).

已知：

3.推論3：_________________________

求證：

證明：

符號(hào)表示：_____________________________

(1)如圖，設(shè)直線a,b,c相交于點(diǎn)

仿推論1、推論2的證明方法進(jìn)行證明。

0,直線d和a,和c分別交于M,N,P

【精典范例】

直線d和點(diǎn)0確定平面a,證法如例1

一、如何證明共面問題.

a

M

N

a

bc

設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交，且任意三條不

共線,交點(diǎn)分別為M,N,P,Q,R,G

?.?直線a和b確定平面a

aAc=N,bflc=Q

：N,Q都在平面a內(nèi)

二直線cl平面a,同理直線di平面a自主訓(xùn)練二

二直線a,b,c,d共面于a1.空間四點(diǎn)中，如果任意三點(diǎn)都不共線，那么

【學(xué)習(xí)延伸】

由這四點(diǎn)可確定1或4個(gè)平面?

如圖，已知正方體ABCD-ABCD中，E、

2.已知四條不相同的直線，過其中每兩條作平

F分別為DC、BQ的中點(diǎn),ACABD=P,AC

面，至多可確定6個(gè)平面.

CEF=Q,求證：3.已知1與三條平行線a,b,c都相交,求證：1

(1)D、B、F、E四點(diǎn)共面’與a,b,c共面.

(2)若AC交平面DBFE于R點(diǎn)，則P、Q、

證明略

R三點(diǎn)共線.

第7課時(shí)空間兩

A,條直線的位置關(guān)系

一、【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

A

證明略

——?相交

關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

相交直線

學(xué)習(xí)要求

1.了解空間兩條直線的位置關(guān)系平行直線

2.掌握平行公理及其應(yīng)用

異面直線______________

3.掌握等角定理，并能解決相關(guān)問題.2.公里4：____________________________

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)符號(hào)表示：________________________________

1.空間兩直線的位置關(guān)系

思考：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有幾條直線和這條直線

平行

答：

3.等角定理

證明略

【精典范例】

例1：.如圖,在長方體ABCD-ABCD中，己

點(diǎn)評(píng)：要證梯形，必須證明有兩邊平行且相等,

平行的證明要善于聯(lián)想平面幾何知識(shí).

例2：如圖.己知E、Ei分別為正方體

ABCD-ABCD的棱AD、AD的中點(diǎn),求證：Z

GEB尸ZCEB.

應(yīng)用

解答：互助參考25頁例1

分析：設(shè)法證明EC〃EC,EB/EB

證明：

解答：互助參考26頁例2

思維點(diǎn)拔：

證兩直線平行的方法：

(1)利用初中所學(xué)的知識(shí)

(2)利用平行公理.

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩

自主訓(xùn)練

邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。

已知：棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，

M,N分別為CD,AD的中點(diǎn)，求證：四邊形MNAC等角定理的證明

是梯形.已知：ZBAC和ZB.AiCi的邊AB//A.B,,

AC//A.C1,并且方向相同.

求證：ZBAC=ZBiAiCi

解答：互助參考25頁

思維點(diǎn)拔：

凡“有且只有”的證明，丟掉“有”

即存在性步驟，或丟掉“只有”即唯一性

的證明都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生，即證明不全

面，思維不嚴(yán)謹(jǐn)所致。

求證：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和

這條直線平行.

已知：點(diǎn)Pi直線a

點(diǎn)評(píng):求證：過點(diǎn)P和直線a平行的直線b有且

平幾中的定義，定理等，對(duì)于非平面圖形,僅有一條.

需要經(jīng)過證明才能應(yīng)用。證明：tpiia,

自主訓(xùn)練

.?.點(diǎn)P和直線a確定平面a

1.設(shè)AAi是正方體的一條棱，這個(gè)正方在平面a內(nèi)過點(diǎn)P作直線b直線a平行（由平面

體中與AAi平行的棱共有（C）幾何知識(shí)）

A.1條B.2條假設(shè)過點(diǎn)P還有一條直線c與a平行，則

C.3條D.4條*/a//b,a//c

...b〃c，這與b,c共點(diǎn)P矛盾.

2.若OA//O1A1,0B//01B,,則ZAOB與

，直線b唯一

NAQB關(guān)系（C）...過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這

A.相等B.互補(bǔ)條直線平行

C.相等或互補(bǔ)D.以上答案都不對(duì)總結(jié)：（1）凡上述兩類問題型的證明應(yīng)有

兩步，即先證明事實(shí)存在，再證明它是唯

3.如圖，已知AA,BB',CC',不共面,

-的⑵解答文字命題必須將文字語言

Z

且AA'//BB,AA,=BB',“譯”成符號(hào)語言，然后寫出“己知和求

BB'//CC,,BB'=CC.證”需要作圖時(shí)，要把圖形作出來，最后

求證：aABC絲Z\A'B'C給出“解答（證明）”

用平行四邊形性質(zhì)證明

第8課時(shí)異面直

線

一、【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

【精典范例】

學(xué)習(xí)要求

例1：已知ABCD-AECD是棱長為a的正方體.

1.掌握異面直線的定義.

2.理解并掌握異面直線判定方法.

.3.掌握異面直線所成的角的計(jì)算方法.

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

3.異面直線的定義___________________(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線BC.

是異面直線；

(2)求異面直線AA.與BC所成的角；

2.異面直線的特點(diǎn)____________________

(3)求異面直線BC,和AC所成的角.

互助參考27理1

4.異面直線的判定方法

(1)定義法

(2)判定定理

(3)反證法

5.異面直線所成的角

(D定義：______________________________

4.在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD

中點(diǎn)，且EF=5,又AD=6,BC=8.求AD與BC

所成角的大小.

思維點(diǎn)拔：

(1)證兩直線異面的方法①定義法②反證

法③判定定理

(2)求兩條異面直線所成的角的方法：①作

②證③求

自主訓(xùn)練

1.指出下列命題是否正確，并說明理由：

(1)過直線外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與已知直

線成異面直線；

(2)過直線外一點(diǎn)只有一條直線與已知直

線垂直.

答：(1)正確，(2)錯(cuò)

解析：取BD的中點(diǎn)H,利用中位線性質(zhì)，有

2.在長方體ABCD-ABCD中,那些棱所在

EH//AD,FH//BC,ZEHF或其補(bǔ)角為AD與BC所

直線與直線是異面直線且互粗垂直.成角，可以求得NEHF=90°

【學(xué)習(xí)延伸】

已知A是△BCD所在平面一點(diǎn)，

AB=AC=AD=BC=CD=DB,E是BC的中點(diǎn)，

(1)求證直線AE與BD異面

⑵求直線AE與BD所成角的余弦值

答：CD,C>D,,BC,B,C,

3.在兩個(gè)相交平面內(nèi)各畫一條直線，使它A

們成為：

(1)平行直線；(2)相交直線；(3)異面直線.

(1)反證法

(2)取CD的中點(diǎn)F,連接EF,可達(dá)到平移的

目的.直線AE與BD所成角的余弦值四

第9課時(shí)直線與

平面的位置關(guān)系

一、【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

直線和平面的位置關(guān)系

—?直線和平面平行

互助參考31頁

學(xué)習(xí)要求

1.掌握直線與平面的位置關(guān)系.直線和平面平行的性質(zhì)

2.掌握直線和平面平行的判定與性質(zhì)定

直線和平面平行的判定

理.

與性質(zhì)定理的應(yīng)用

.3.應(yīng)用直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理

證明兩條直線平行等有關(guān)問題.

【課堂互動(dòng)】證明:

自學(xué)評(píng)價(jià)

4.直線和平面位置關(guān)系

位置關(guān)系符號(hào)表示圖形表示

直線a在平面a內(nèi)

直線a在平面a相交

直線a在平面a相交

2.直線在平面內(nèi)是指：

3.直線和平面平行的判定定理

符號(hào)表示_______________________________

說明：本章中出現(xiàn)的判定定理的證明不作要【精典范例】

求例1：如圖，已知E、F分別是三棱錐A-BCD的

4.直線和平面平行的性質(zhì)定理

側(cè)棱AB、AD中點(diǎn)，求證：EF〃平面BCD.

已知:

互助參考31頁例2

例3.求證：如果三個(gè)平面兩兩相交于直線，并

互助參考31頁例1

且其中兩條直線平行，那么第三條直線也和它

們平行.

已知：

求證：

互助參考31頁例3

自主訓(xùn)練一

已知正方形ABCD所在的平面和正方形

ABEF所在的平面相交與AB,M、N分別

是AC、BF上的點(diǎn)且AM=FN

求證：MN〃平面BCE

［思考］:如果三個(gè)平面兩兩相交于三條直

線，并且其中的兩條直線相交，那么第三條直

線和這兩條直線有怎樣的位置關(guān)系？

證明：作NP〃AB交BE于點(diǎn)P

作NQ//AB交BC于點(diǎn)Q

MQ_MCNP_NB

'~AB~~\C'~EF~~BF

而AC=BF,AM=FN,

；.MC=NB,有AB=EF

/.MQ//NP,有MQ=NP

???四邊形MQNP是平行四邊形.

；.MN〃PQ,而PQ1平面BCE

；.MN〃平面BCE

例2.一個(gè)長方體木塊如圖所示，要經(jīng)

過平面AC內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC將木塊鋸開，應(yīng)

怎樣畫線?

3.在長方體ABCD-A.B,C,D,的面中：

(1)與直線AB平行的平面是：面AC,面

DC,_________

(2)與直線AAi平行的平面是:面BC,面

DC,_________

(3)與直線AD平行的平面是：面BC,而

AC

自主訓(xùn)練二

1.指出下列命題是否正確，并說明理

由：

(1).如果一條直線不在平面內(nèi)，那么這

條直線就與這個(gè)平面平行；錯(cuò)

(2).過直線外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與這

條直線平行；正確

(3).過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)直線與這

條平面平行。正確平面垂直

2.已知直線a,b和平面a,下列命題正一、【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

確的是(D

A.若a〃a,bla則a//b

B.若a〃a,b〃a則a//b

C.若a//b,bla則a//a

D.若a〃b,bia則a〃a或bi

垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直

學(xué)習(xí)要求3.點(diǎn)到平面的距離：______________________

1.掌握直線與平面的位置關(guān)系.

2.掌握直線和平面平行的判定與性質(zhì)定

4.直線與平面垂直的判定定理：

理.

.3.應(yīng)用直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理

證明兩條直線平行等有關(guān)問題.符號(hào)表示__________________________________

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)5.直線和平面垂直的性質(zhì)定理：

5.直線和平面垂直的定義：

符號(hào)表示：_____________________________

垂線：_________________________________

垂面：_________________________________

垂足：_________________________________

思考：在平面中，過一點(diǎn)有且僅有一條直線

與已知直線垂直，那么在空間。已知:

(1)過一點(diǎn)有幾條直線與已知平面垂直？

答：求證:

證明：互助參考34如圖，已知PAJ.a,PB，B,垂足分別為A、B,

且aCB=1,求證：AB±1.

6.直線和平面的距離:

【精典范例】

證明：略

例1：.求證：如果兩條平行直線中的一

條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂

直于這個(gè)平面.

證明：互助參考34例1

例2.已知直線1〃平面a,求證：直線1各

點(diǎn)到平面a的距離相等.

證明：互助參考34例2

思維點(diǎn)拔:

要證線面垂直，只要證明直線與平面內(nèi)的兩

條相交直線垂直，或利用定義進(jìn)行證明。

RtAABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC

(1)求證：點(diǎn)S在斜邊中點(diǎn)D的連線SD,面

ABC

⑵若直角邊BA=BC,求證：BD_L面SAC

例3.已知正方體ABCD-A.B,C.D,.

⑴求證：A.ClB^i;

⑵若M、N分別為BD與3D上的點(diǎn),且MN

_LBD,MN±CiD,求證：MN//AiC.

自主訓(xùn)練B

A,

C,

分析：(1)可先證BD，面A￡C,從而證出結(jié)

論.

⑵可證MN和A.C都垂直于面BDCI,從而利

用性質(zhì)證出結(jié)論

3.在aABC中，ZB=90°,SA_L面ABC,AM±

SC,AN_LSB垂足分別為N、M,

求證：AN±BC,MN±SC

點(diǎn)評(píng)：要證線線平行均可利用線面垂

直的性質(zhì)。

略證：