高考數(shù)學(xué)（理）高分計劃一輪狂刷練第8章平面解析幾何85a

[重點保分兩級優(yōu)選練]A級一、選擇題1．(2018·江西五市八校模擬)已知正數(shù)m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2＋eq\f(y2,m)＝1的焦點坐標(biāo)為()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(3)，0)或(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(3))或(±eq\r(5)，0)答案B解析因為正數(shù)m是2和8的等比中項，所以m2＝16，則m＝4，所以圓錐曲線x2＋eq\f(y2,m)＝1即為橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1，易知其焦點坐標(biāo)為(0，±eq\r(3))，故選B.2．(2017·湖北荊門一模)已知θ是△ABC的一個內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝eq\f(3,4)，則方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示()A．焦點在x軸上的雙曲線B．焦點在y軸上的雙曲線C．焦點在x軸上的橢圓D．焦點在y軸上的橢圓答案D解析因為(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(9,16)，所以sinθcosθ＝－eq\f(7,32)＜0，結(jié)合θ∈(0，π)，知sinθ>0，cosθ<0，又sinθ＋cosθ＝eq\f(3,4)＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故eq\f(1,－cosθ)＞eq\f(1,sinθ)＞0，因為x2sinθ－y2cosθ＝1可化為eq\f(y2,－\f(1,cosθ))＋eq\f(x2,\f(1,sinθ))＝1，所以方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦點在y軸上的橢圓．故選D.3．(2018·湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則eq\f(|PF2|,|PF1|)的值為()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,13)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)答案B解析由題意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2.設(shè)線段PF1的中點為M，則有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3).又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,3)×eq\f(3,13)＝eq\f(5,13)，故選B.4．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)答案A解析由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故選A.5．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案C解析因為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2.因為c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，所以m2＝eq\f(c4,a2)，n2＝eq\f(c4,a2)＋eq\f(c2,2)，所以eq\f(2c4,a2)＋eq\f(c2,2)＝c2，化為eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故選C.6．(2017·荔灣區(qū)期末)某宇宙飛船運行的軌道是以地球中心為一焦點的橢圓，測得近地點距地面m千米，遠(yuǎn)地點距地面n千米，地球半徑為r千米，則該飛船運行軌道的短軸長為()A．2eq\r(m＋rn＋r)千米 B.eq\r(m＋rn＋r)千米C．2mn千米 D．mn千米答案A解析∵某宇宙飛船的運行軌道是以地球的中心F2為一個焦點的橢圓，設(shè)長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，則近地點A距地心為a－c，遠(yuǎn)地點B距地心為a＋c.∴a－c＝m＋r，a＋c＝n＋r，∴a＝eq\f(m＋n,2)＋r，c＝eq\f(n－m,2).又∵b2＝a2－c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＋r))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－m,2)))2＝mn＋(m＋n)r＋r2＝(m＋r)(n＋r)．∴b＝eq\r(m＋rn＋r)，∴短軸長為2b＝2eq\r(m＋rn＋r)千米，故選A.7．(2017·九江期末)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(\r(2),2)答案C解析連接AF1，∵F1F2是圓O的直徑，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等邊三角形，F(xiàn)1F2⊥AB，∴∠AF2F1＝eq\f(1,2)∠AF2B＝30°，因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，|F2A|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|＝eq\r(3)c.根據(jù)橢圓的定義，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋eq\r(3))c，解得a＝eq\f(1＋\r(3),2)c，∴橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.故選C.8．(2018·鄭州質(zhì)檢)橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦點為F，直線x＝a與橢圓相交于點M，N，當(dāng)△FMN的周長最大時，△FMN的面積是()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(6\r(5),5)C.eq\f(8\r(5),5) D.eq\f(4\r(5),5)答案C解析設(shè)橢圓的右焦點為E，由橢圓的定義知△FMN的周長為L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2eq\r(5)－|ME|)＋(2eq\r(5)－|NE|)．因為|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，當(dāng)直線MN過點E時取等號，所以L＝4eq\r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq\r(5)，即直線x＝a過橢圓的右焦點E時，△FMN的周長最大，此時S△FMN＝eq\f(1,2)×|MN|×|EF|＝eq\f(1,2)×eq\f(2×4,\r(5))×2＝eq\f(8\r(5),5)，故選C.9．如圖所示，內(nèi)外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若直線AC與BD的斜率之積為－eq\f(1,4)，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,4)答案C解析設(shè)外層橢圓方程為eq\f(x2,ma2)＋eq\f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，則切線AC的方程為y＝k1(x－ma)，切線BD的方程為y＝k2x＋mb，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x－ma，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，得(b2＋a2keq\o\al(2,1))x2－2ma3keq\o\al(2,1)x＋m2a4keq\o\al(2,1)－a2b2＝0.因為Δ＝(2ma3keq\o\al(2,1))2－4(b2＋a2keq\o\al(2,1))(m2a4keq\o\al(2,1)－a2b2)＝0，整理，得keq\o\al(2,1)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(1,m2－1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k2x＋mb，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，得(b2＋a2keq\o\al(2,2))x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，因為Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2keq\o\al(2,2))(a2m2b2－a2b2)＝0，整理，得keq\o\al(2,2)＝eq\f(b2,a2)·(m2－1)．所以keq\o\al(2,1)·keq\o\al(2,2)＝eq\f(b4,a4).因為k1k2＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以e＝eq\f(\r(3),2)，故選C.10．(2018·永康市模擬)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和圓x2＋y2＝b2，若橢圓C上存在點P，使得過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，滿足∠APB＝60°，則橢圓的離心率e的取值范圍是()A．0<e≤eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)≤e<1C.eq\f(\r(3),2)<e<1 D.eq\f(\r(3),2)≤e<1答案D解析由橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)焦點在x軸上，連接OA，OB，OP，依題意，O，P，A，B四點共圓，∵∠APB＝60°，∠APO＝∠BPO＝30°，在直角三角形OAP中，∠AOP＝60°，∴cos∠AOP＝eq\f(b,|OP|)＝eq\f(1,2)，∴|OP|＝eq\f(b,\f(1,2))＝2b，∴b<|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2＝b2＋c2，即4(a2－c2)≤a2，∴3a2≤4c2，即eq\f(c2,a2)≥eq\f(3,4)，∴e≥eq\f(\r(3),2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(3),2)≤e<1，∴橢圓C的離心率的取值范圍是eq\f(\r(3),2)≤e<1.故選D.二、填空題11．(2017·湖南東部六校聯(lián)考)設(shè)P，Q分別是圓x2＋(y－1)2＝3和橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是________．答案eq\f(7\r(3),3)解析依據(jù)圓的性質(zhì)可知，P，Q兩點間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加上圓的半徑eq\r(3)，設(shè)Q(x，y)，則圓心(0,1)到橢圓上點的距離為d＝eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(－3y2－2y＋5)＝eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)))2＋\f(16,3))，∵－1≤y≤1，∴當(dāng)y＝－eq\f(1,3)時，d取最大值eq\f(4\r(3),3)，所以P，Q兩點間的最大距離為dmax＋eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3).12．(2018·廣州二測)已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，點F關(guān)于直線y＝eq\f(1,2)x的對稱點在橢圓C上，則橢圓C的方程為________．答案eq\f(5x2,9)＋eq\f(5y2,4)＝1解析設(shè)F(1,0)關(guān)于直線y＝eq\f(1,2)x的對稱點為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0＋y,2)＝\f(1,2)×\f(1＋x,2)，,\f(y－0,x－1)×\f(1,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(4,5)，))由于橢圓的兩個焦點為(－1,0)，(1,0)，所以2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(6\r(5),5)，a＝eq\f(3\r(5),5)，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝eq\f(9,5)－1＝eq\f(4,5)，所以橢圓C的方程為eq\f(\a\vs4\al(x2),\f(9,5))＋eq\f(\a\vs4\al(y2),\f(4,5))＝1，即eq\f(5x2,9)＋eq\f(5y2,4)＝1.13．(2018·江西五市聯(lián)考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B為橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,5)，0))，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(a,5)))2＋y\o\al(2,1)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(a,5)))2＋y\o\al(2,2)，,\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,5)x1－x2＝x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2)，,y\o\al(2,1)＝b2－\f(b2,a2)x\o\al(2,1)，,y\o\al(2,2)＝b2－\f(b2,a2)x\o\al(2,2)，))所以eq\f(2a,5)(x1－x2)＝eq\f(a2－b2,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))，所以eq\f(2a3,5a2－b2)＝x1＋x2.又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a<x1＋x2<2a，則eq\f(2a3,5a2－b2)<2a，即eq\f(b2,a2)<eq\f(4,5)，所以e2>eq\f(1,5).又0<e<1，所以eq\f(\r(5),5)<e<1.14．(2016·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點，直線y＝eq\f(b,2)與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．答案eq\f(\r(6),3)解析由已知條件易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(xiàn)(c,0)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，由∠BFC＝90°，可得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3),2)a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))2＝0，c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(1,4)b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).B級三、解答題15．(2018·安徽合肥三校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2)，且橢圓經(jīng)過圓C：x2＋y2－4x＋2eq\r(2)y＝0的圓心C.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程．解(1)圓C方程化為(x－2)2＋(y＋eq\r(2))2＝6，圓心C(2，－eq\r(2))，半徑r＝eq\r(6).設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求的橢圓方程是eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)得橢圓的左、右焦點分別是F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，|F2C|＝eq\r(2－22＋0＋\r(2)2)＝eq\r(2)<r＝eq\r(6).F2在圓C內(nèi)，故過F2沒有圓C的切線，所以直線l過焦點F1.設(shè)l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，點C(2，－eq\r(2))到直線l的距離為d＝eq\f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))，由d＝eq\r(6)，得eq\f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(6).化簡，得5k2＋4eq\r(2)k－2＝0，解得k＝eq\f(\r(2),5)或k＝－eq\r(2).故l的方程為eq\r(2)x－5y＋2eq\r(2)＝0或eq\r(2)x＋y＋2eq\r(2)＝0.16．(2018·陜西咸陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點P(2,1)，且離心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為eq\f(1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點．求△PAB面積的最大值．解(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.又橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點P(2,1)，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.∴a2＝8，b2＝2.故所求橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋m，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.則|AB|＝eq\r(1＋\f(1,4))×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(54－m2).點P到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq\f(2|m|,\r(5)).∴S△PAB＝eq\f(1,2)d|AB|＝eq\f(1,2)×eq\f(2|m|,\r(5))×eq\r(54－m2)＝eq\r(m24－m2)≤eq\f(m2＋4－m2,2)＝2.而且僅當(dāng)m2＝2，即m＝±eq\r(2)時取得最大值．∴△PAB面積的最大值為2.17．(2018·蘭州模擬)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1(－2,0)，點B(2，eq\r(2))在橢圓C上，直線y＝kx(k≠0)與橢圓C交于P，Q兩點，直線AP，AQ分別與y軸交于點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．解(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓的左焦點為F1(－2,0)，∴a2－b2＝4.∵點B(2，eq\r(2))在橢圓C上，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，解得a2＝8，b2＝4，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)依題意點A的坐標(biāo)為(－2eq\r(2)，0)，設(shè)P(x0，y0)(不妨設(shè)x0>0)，則Q(－x0，－y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))得x0＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2k2))，y0＝eq\f(2\r(2)k,\r(1＋2k2))，∴直線AP的方程為y＝eq\f(k,1＋\r(1＋2k2))(x＋2eq\r(2))，直線AQ的方程為y＝eq\f(k,1－\r(1＋2k2))(x＋2eq\r(2))，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(2)k,1＋\r(1＋2k2))))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(2)k,1－\r(1＋2k2))))，∴|MN|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)k,1＋\r(1＋2k2))－\f(2\r(2)k,1－\r