2012高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)階段性測試題(2)：函數(shù)1

PAGE1-階段性測試題二(函數(shù))本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號題目要求的。)1．(文)(2011·山東日照調(diào)研)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)(x>0)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2，e) D．(3,4)[答案]B[解析]f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，又y＝ln(x＋1)是增函數(shù)，y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上也是增函數(shù)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在(1,2)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．(理)(2011·寧夏銀川一中檢測)已知a是f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x的零點(diǎn)，若0<x0<a，則f(x0)的值滿足()A．f(x0)＝0 B．f(x0)<0C．f(x0)>0 D．f(x0)的符號不確定[答案]B[解析]∵函數(shù)f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且這個(gè)函數(shù)有零點(diǎn)，∴這個(gè)零點(diǎn)是唯一的，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)遞增性知，在(0，a)上這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值小于零，即f(x0)<0.[點(diǎn)評]在定義域上單調(diào)的函數(shù)如果有零點(diǎn)，則只能有唯一的零點(diǎn)，并且以這個(gè)零點(diǎn)為分界點(diǎn)把定義域分成兩個(gè)區(qū)間，在其中一個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)值都大于零，在另一個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)值都小于零．2．(文)(2011·遼寧丹東四校聯(lián)考)若關(guān)于x的方程logeq\f(1,2)x＝eq\f(m,1－m)在區(qū)間(0,1)上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0,1) B．(1,2)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案]A[分析]要使方程有解，只要eq\f(m,1－m)在函數(shù)y＝logeq\f(1,2)x(0<x<1)的值域內(nèi)，即eq\f(m,1－m)>0.[解析]∵x∈(0,1)，∴l(xiāng)ogeq\f(1,2)x>0，∴eq\f(m,1－m)>0，∴0<m<1.(理)(2011·遼寧丹東四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝lneq\f(ex－e－x,2)，則f(x)是()A．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增B．奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增C．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減D．偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減[答案]A[解析]由eq\f(ex－e－x,2)>0得ex>eq\f(1,ex)，∴x>0，故f(x)為非奇非偶函數(shù)，又ex為增函數(shù)，e－x為減函數(shù)，∴eq\f(ex－e－x,2)為增函數(shù)，∴f(x)為增函數(shù)，故選A.3．(2011·遼寧丹東四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2x－1，對于滿足0<x1<x2<2的任意x1，x2，給出下列結(jié)論：(1)(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；(2)x2f(x1)<x1f(x2)；(3)f(x2)－f(x1)>x2－x1；(4)eq\f(fx1＋fx2,2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).其中正確結(jié)論的序號是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(3)(4) D．(2)(4)[答案]D[解析]∵f(x)＝2x－1為增函數(shù)，∴(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，故(1)錯(cuò)，排除A、B.由圖知④正確，故選D.4．(2011·江西南昌調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax(a∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．存在a∈R，f(x)是偶函數(shù)B．存在a∈R，f(x)是奇函數(shù)C．對于任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)D．對于任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)[答案]A[解析]顯然當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2是偶函數(shù)，故選A.5．(2011·安徽百校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f[f(0)]＝4a，則實(shí)數(shù)a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,5)C．2 D．9[答案]C[解析]f(0)＝20＋1＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.6．(2011·北京朝陽區(qū)期末)下列函數(shù)中，在(－1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是()A．y＝logeq\f(1,2)x B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3[答案]B[解析]y＝logeq\f(1,2)x是單調(diào)減函數(shù)；y＝x2－eq\f(1,2)在(－1,1)內(nèi)先減后增；y＝－x3是減函數(shù)；y＝2x－1單調(diào)遞增，且有零點(diǎn)x＝0.7．(2011·巢湖質(zhì)檢)實(shí)數(shù)a＝0.3eq\r(2)，b＝logeq\r(2)0.3，c＝(eq\r(2))0.3的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．b<c<a[答案]C[解析]a＝0.3eq\r(2)<0.30＝1，∴0<a<1，b＝logeq\r(2)0.3<logeq\r(2)1＝0，c＝(eq\r(2))0.3>(eq\r(2))0＝1，∴b<a<c.8．(2011·北京學(xué)普教育中心聯(lián)考版)已知曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線x＝1交于點(diǎn)P，若設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值為()A．－log20112010－2 B．－1C．log20112010－1 D．1[答案]B[解析]f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得，x＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，即xn＝eq\f(n,n＋1)，∴x1×x2×…×x2010＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2010,2011)＝eq\f(1,2011)，則log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010＝log2011(x1×x2×…×x2010)＝log2011eq\f(1,2011)＝－1，故選B.9．(2011·浙江寧波八校聯(lián)考)集合P＝{n|n＝lnk，k∈N*}，若a，b∈P，則a⊕b∈P，那么運(yùn)算⊕可能是實(shí)數(shù)運(yùn)算中的()A．加法 B．減法C．乘法 D．除法[答案]A[解析]設(shè)a＝lnk1，b＝lnk2，k1，k2∈N*，則a＋b＝lnk1＋lnk2＝ln(k1k2)，∵k1k2∈N*，∴a＋b∈P，故⊕可以是實(shí)數(shù)運(yùn)算中的加法．10．(2011·華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－2)在[0,2]上是單調(diào)減函數(shù)，則()A．f(－1)<f(2)<f(0) B．f(－1)<f(0)<f(2)C．f(0)<f(－1)<f(2) D．f(2)<f(－1)<f(0)[答案]C[解析]y＝f(x－2)是由函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位得到的，∵y＝f(x－2)在[0,2]上是減函數(shù)，∴y＝f(x)在[－2,0]上是減函數(shù)，∴f(－2)>f(－1)>f(0)，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(0)<f(－1)<f(2)．11．(2011·甘肅天水一中期末)已知f(x)在定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，值域?yàn)閇－2,3]，則y＝f(x)(x∈R)的值域?yàn)?)A．[－2,2] B．[－2,3]C．[－3,2] D．[－3,3][答案]D[解析]∵f(x)在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，－2≤y≤3，∴當(dāng)x≤0時(shí)，－3≤y≤2，∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－3,3]，故選D.12．(文)(2011·河北冀州期末)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋1，x≥0,a2－1eax，x<0))在(－∞，＋∞)上單調(diào)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(2)]∪(1，eq\r(2)] B．[－eq\r(2)，－1)∪[eq\r(2)，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)[答案]A[解析]若a>0，則f(x)＝ax2＋1在[0，＋∞)上單調(diào)增，∴f(x)＝(a2－1)eax在(－∞，0)上單調(diào)增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0,a2－1≤1))，∴1<a≤eq\r(2).同理，當(dāng)a<0時(shí)，可求得a≤－eq\r(2)，故選A.(理)(2011·福州市期末)如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0<a<12)、4m，不考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)在用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花園ABCD.設(shè)此矩形花園的面積為Sm2，S的最大值為f(a)，若將這棵樹圍在花園內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)的圖象大致是()[答案]C[解析]設(shè)BC＝x，則DC＝16－x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a,16－x≥4))得a≤x≤12，矩形面積S＝x(16－x)(a≤x≤12)，顯然當(dāng)a≤8時(shí)，矩形面積最大值U＝64，為常數(shù)，當(dāng)a>8時(shí)，在x＝a時(shí)，矩形面積取最大值u＝a(16－a)，在[a,12]上為減函數(shù)，故選C.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．(2011·四川資陽模擬)函數(shù)f(x)＝2x＋b，點(diǎn)P(5,2)在函數(shù)f(x)的反函數(shù)f－1(x)的圖象上，則b＝________.[答案]1[解析]∵點(diǎn)P在函數(shù)f(x)的反函數(shù)圖象上，∴P′(2,5)在f(x)的圖象上，∴22＋b＝5，∴b＝1.14．(文)(2011·黑龍江哈六中期末)已知f(x)＝logax，(a>0且a≠1)滿足f(9)＝2，則f(3a)＝________.[答案]3[解析]∵f(9)＝2，∴l(xiāng)oga9＝2，∴a＝3，∴f(3a)＝log33a＝a＝3.(理)(2011·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)函數(shù)y＝ax－1(a>0，且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)y＝mx＋n的圖像上，其中m，n>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．[答案]4[解析]當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a1－1＝1，∴A(1,1)，由題意知，m＋n＝1，m>0，n>0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4等號在m＝n＝eq\f(1,2)時(shí)成立，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為4.15．(文)(2011·山東濰坊諸城)定義：F(x，y)＝y(tǒng)x(x>0，y>0)，已知數(shù)列{an}滿足：an＝eq\f(Fn，2,F2，n)(n∈N*)，若對任意正整數(shù)n，都有an≥ak(k∈N*)成立，則ak的值為________．[答案]eq\f(8,9)[解析]由F(x，y)的定義知，an＝eq\f(2n,n2)(n∈N*)．∵對任意正整數(shù)n，都有an≥ak成立，∴ak為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增大速度及a1＝2，a2＝1，a3＝eq\f(8,9)，a4＝1知，當(dāng)a>4時(shí)，恒有an>1，∴對?n∈N*，有an≥a3＝eq\f(8,9)成立．(理)(2011·山東淄博一中期末)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝eq\f(1,fx)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，若在區(qū)間[－1,3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－kx－k有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．[答案](0，eq\f(1,4)][解析]∵f(x＋1)＝eq\f(1,fx)，∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x，又f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝－x，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，x－2∈[－1,0]，∴f(x－2)＝－x＋2，∴f(x)＝－x＋2，同理當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)＝x－2，∴在區(qū)間[－1,3]上f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1≤x<0,x0≤x<1,－x＋21≤x<2,x－22≤x≤3))，∵g(x)在[－1,3]內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，∴f(x)與y＝kx＋k的圖象在[－1,3]內(nèi)有四個(gè)交點(diǎn)，∵y＝kx＋k過定點(diǎn)A(－1，0)，又B(3,1)，kAB＝eq\f(1,4)，∴0<k≤eq\f(1,4).[點(diǎn)評]用數(shù)形結(jié)合法，結(jié)合周期性及f(x)為偶函數(shù)，可畫出圖形，借助圖形討論，避免求解析式．16．(2011·遼寧大連期末聯(lián)考)定義某種運(yùn)算S＝a?b，運(yùn)算原理如圖所示，則式子：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))?lne＋lg100?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1的值是________．[答案]4[解析]由框圖知S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a)a≤b,\f(a＋1,b)a>b))∵2taneq\f(5π,4)＝2，lne＝1,2>1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))?lne＝2?1＝eq\f(2＋1,1)＝3，又∵lg100＝2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴l(xiāng)g100?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝2?3＝eq\f(3－1,2)＝1，∴原式＝3＋1＝4.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)(2011·湖南長沙月考)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)間的關(guān)系為p＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,6－x)，0<x≤c,\f(2,3)，x>c))，(c為常數(shù)，且0<c<6)．已知每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元．(1)將日盈利額y(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)；(2)為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？(注：次品率＝eq\f(次品數(shù),產(chǎn)品總數(shù))×100%)[解析](1)當(dāng)x>c時(shí)，p＝eq\f(2,3)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))·x·3－eq\f(2,3)·x·eq\f(3,2)＝0；當(dāng)0<x≤c時(shí)，p＝eq\f(1,6－x)，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6－x)))·x·3－eq\f(1,6－x)·x·eq\f(3,2)＝eq\f(39x－2x2,26－x).∴日盈利額y(萬元)與日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(39x－2x2,26－x)0<x≤c,0x>c))(2)由(1)知，當(dāng)x>c時(shí)，日盈利額為0.當(dāng)0<x≤c時(shí)，∵y＝eq\f(39x－2x2,26－x)，∴y′＝eq\f(3,2)·eq\f(9－4x6－x＋9x－2x2,6－x2)＝eq\f(3x－3x－9,6－x2)，令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)．∴①當(dāng)0<c<3時(shí)，∵y′>0，∴y在區(qū)間(0，c]上單調(diào)遞增，∴y最大值＝f(c)＝eq\f(39c－2c2,26－c).②當(dāng)3≤c<6時(shí)，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上y′<0，∴y在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，c)上單調(diào)遞減．∴y最大值＝f(3)＝eq\f(9,2).綜上，若0<c<3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時(shí)，日盈利額最大；若3≤c<6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時(shí)，日盈利額最大．18．(本小題滿分12分)(文)(2010·廣東佛山順德區(qū)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ex－k－x，(x∈R)(1)當(dāng)k＝0時(shí)，若函數(shù)g(x)＝eq\f(1,fx＋m)的定義域是R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)試判斷當(dāng)k>1時(shí)，函數(shù)f(x)在(k,2k)內(nèi)是否存在零點(diǎn)．[解析](1)當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0得，x＝0，當(dāng)x<0時(shí)f′(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)減，在[0，＋∞)上單調(diào)增．∴f(x)min＝f(0)＝1，∵對?x∈R，f(x)≥1，∴f(x)－1≥0恒成立，∴欲使g(x)定義域?yàn)镽，應(yīng)有m>－1.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－1，＋∞)．(2)當(dāng)k>1時(shí)，f(x)＝ex－k－x，f′(x)＝ex－k－1>0在(k,2k)上恒成立．∴f(x)在(k,2k)上單調(diào)增．又f(k)＝ek－k－k＝1－k<0，f(2k)＝e2k－k－2k＝ek－2k，令h(k)＝ek－2k，∵h(yuǎn)′(k)＝ek－2>0，∴h(k)在k>1時(shí)單調(diào)增，∴h(k)>e－2>0，即f(2k)>0，∴由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)f(x)在(k,2k)內(nèi)存在零點(diǎn)．(理)(2010·廈門三中階段測試)已知f(x)＝lnx＋x2－bx.(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；(2)當(dāng)b＝－1時(shí)，設(shè)g(x)＝f(x)－2x2，求證函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．[解析](1)∵f(x)在(0，＋∞)上遞增，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋2x－b≥0，對x∈(0，＋∞)恒成立，即b≤eq\f(1,x)＋2x對x∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2x))min(x>0)，∵x>0，∴eq\f(1,x)＋2x≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取“＝”，∴b≤2eq\r(2)，∴b的取值范圍為(－∞，2eq\r(2)]．(2)當(dāng)b＝－1時(shí)，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定義域是(0，＋∞)，∴g′(x)＝eq\f(1,x)－2x＋1＝－eq\f(2x2－x－1,x)＝－eq\f(x－12x＋1,x)，令g′(x)＝0，即－eq\f(2x＋1x－1,x)＝0，∵x>0，∴x＝1，當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x≠1時(shí)，g(x)<g(1)，即g(x)<0，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)＝0.∴函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．19．(本小題滿分12分)(文)(2011·安徽滁州期末)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)已知集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)在區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0,x>0,y>0))內(nèi)隨機(jī)任取一點(diǎn)(a，b)．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．[解析](1)∵a∈P，∴a≠0.∴函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.若a＝1，則b＝－2，－1；若a＝2，則b＝－2，－1,1；若a＝3，則b＝－2，－1,1；若a＝4，則b＝－2，－1,1,2；若a＝5，則b＝－2，－1,1,2.所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是2＋3＋3＋4＋4＝16.∴所求事件的概率為eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).(2)由條件知a>0，∴同(1)可知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0))))，為△OAB，所求事件構(gòu)成區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0,a－2b＝0.))得交點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，\f(8,3)))，∴所求事件的概率為P＝eq\f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).(理)(2011·高青一中月考)已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}．(1)若a，b∈N，求A∩B≠?的概率；(2)若a，b∈R，求A∩B＝?的概率．[分析]令f(x)＝ax＋b·2x－1，A∩B≠?，即存在x∈[－1,0]，使f(x)<0，只須f(x)在x∈[－1,0]上的最小值f(x)min<0；A∩B＝?即對任意x∈[－1,0]都有f(x)≥0，只須f(x)在x∈[－1,0]上的最小值f(x)min≥0.[解析](1)因?yàn)閍、b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9組．令函數(shù)f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，則f′(x)＝a＋bln2·2x.因?yàn)閍∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)>0，即f(x)在[－1,0]在上是單調(diào)增函數(shù)．f(x)在[－1,0]上的最小值為－a＋eq\f(b,2)－1.要使A∩B≠?，只須－a＋eq\f(b,2)－1<0，即2a－b＋2>0.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7組．所以A∩B≠?的概率為eq\f(7,9).(2)因?yàn)閍∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)對應(yīng)的區(qū)域是邊長為2的正方形(如圖)，面積為4.由(1)可知，要使A∩B＝?，只須f(x)min＝－a＋eq\f(b,2)－1≥0?2a－b＋2≤0，所以滿足A∩B＝?的(a，b)對應(yīng)的區(qū)域是如圖陰影部分．所以S陰影＝2×2－eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(15,4).所以A∩B＝?的概率為P＝eq\f(\f(15,4),4)＝eq\f(15,16).20．(本小題滿分12分)(2010·廣東省中山市四校聯(lián)考)“5·12”汶川大地震是華人心中永遠(yuǎn)的痛！在災(zāi)后重建中擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一矩形(與原方位一樣)的汶川人民紀(jì)念廣場(如圖)，另外AEF內(nèi)部有一廢墟作為文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，如何設(shè)計(jì)才能使廣場面積最大？[解析]建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)，∴線段EF的方程是eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1(0≤x≤30)在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥CD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)又∵eq\f(m,30)＋eq\f(n,20)＝1(0≤m≤30)，∴n＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(m,30)))，∴S＝(100－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80－20＋\f(2m,3)))＝－eq\f(2,3)(m－5)2＋eq\f(18050,3)(0≤m≤30)∴當(dāng)m＝5m時(shí)，S有最大值，此時(shí)eq\f(|EP|,|PF|)＝eq\f(30－5,5)＝eq\f(5,1).故當(dāng)矩形廣場的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成51時(shí)，廣場的面積最大．21．(本小題滿分12分)(2011·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)2010年11月在廣州召開亞運(yùn)會(huì)，某小商品公司開發(fā)一種亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明：如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為x(0<x<1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2，記改進(jìn)工藝后，該公司銷售紀(jì)念品的月平均利潤是y(元)．(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使該公司銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．[解析](1)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)．(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(舍)，∴當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時(shí)，y′>0；當(dāng)eq\f(1,2)<x<1時(shí)，y′<0.∴函數(shù)y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)在x＝eq\f(1,2)處取得最大值．故改進(jìn)工藝后，紀(jì)念品的銷售價(jià)為20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30元時(shí)，該公司銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．22．(本小題滿分12分)(文)(2011·山東濟(jì)南一中)設(shè)f(x)是定義在[－1,1]上的奇函數(shù)，且對任意a、b∈[－1,1]，當(dāng)a＋b≠0時(shí)，都有eq\f(fa＋fb,a＋b)>0.(1)若a>b，比較f(a)與f(b)的大??；(2)解不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))；(3)記P＝{x|y＝f(x－c)}，Q＝{x|y＝f(x－c2)}，且P∩Q＝?，求c的取值范圍．[解析]設(shè)－1≤x1<x2≤1，則x1－x2≠0，∴eq\f(fx1＋f－x2,x1＋－x2)>0.∵x1－x2<0，∴f(x1)＋f(－x2)<0.∴f(x1)<－f(－x2)．又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x2)＝－f(x2)．∴f(x1)<f(x2