HaoR奧數(shù)讀本-數(shù)列基礎(chǔ)版

第一部分少數(shù)數(shù)列

【學習目標】

⑴掌握數(shù)列概念;

⑵掌握數(shù)列排列的一般規(guī)律;

⑶培養(yǎng)對多個數(shù)字之間相互關(guān)系的敏感力，根據(jù)掌握的知識快速找到數(shù)列的主要特征。

按照一定次序排列起來的一列數(shù)，叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一項叫做這個數(shù)列的項。比如1、

2、3、4、5、6、7、8、9、10,這就是一個數(shù)列，1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21

這也是一個數(shù)列，這兩個數(shù)列中都有規(guī)律，數(shù)列的項都是整數(shù)，1、3、5、7、9、11、13、15、

17、19、21這個數(shù)列的項都是單數(shù)，2、4、6、8、10、12、14、16、18、20,這個數(shù)列中的項

都是雙數(shù)，而3、6、9、12、15、18、21、24、27,這個數(shù)列中的數(shù)字也有規(guī)律，就是它們都是

3的倍數(shù)，等等，還有很多很多，比如一個數(shù)列中的數(shù)字是這樣的：5、15、20、25、30、35、

40,這個數(shù)列中的數(shù)字排列規(guī)律是什么？我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的數(shù)字都是5的倍數(shù)并且后面的數(shù)字

總是比前面的數(shù)字大5。

我們觀察和研究數(shù)列是為了通過分析和判斷發(fā)現(xiàn)所給出數(shù)字之間隱含的變化規(guī)律。

數(shù)列的排列規(guī)律，主要從相鄰兩數(shù)的和、差、積、商來考慮，更復雜的情況要考慮相鄰的

三個甚至四個數(shù)。

【技巧總結(jié)】

規(guī)律1:該類數(shù)列前后數(shù)字之間是簡單的遞增或遞減關(guān)系，并且差值是固定的。

這個數(shù)列也叫等差數(shù)列，我們后面要學習。

例如:5,8,11,14,(),(),【規(guī)律】后面的數(shù)字比前面一個數(shù)字多3。

基礎(chǔ)練習1：

⑴2,4,6,8,(),()

⑵4,7,10,13,(),()

⑶28,23,18,13,(),()

24,20,16,12,(),)

⑸32,27,22,17,),()

規(guī)律2：該類數(shù)列前后數(shù)字之間是簡單的乘除關(guān)系，并且倍數(shù)或者商是固定的。

這個數(shù)列也叫等比數(shù)列。

例如:2,4,8,16,(),(),【規(guī)律】后面的數(shù)字是前面一個數(shù)字乘以2。

基礎(chǔ)練習2：

(1)3,6,12,24,(),()

(2)5,10,20,40,(),()

(3)7,21,63,189,(),()

(4)320,160,80,40,(),()

⑸243,81,27,9,(),()

規(guī)律3：該數(shù)列的每一項的值都與序號相關(guān)。

基礎(chǔ)練習3：

(1)4,9,16,(),(),49

(2)81,(),49,36,()

(3)1,2,4,8,(),()

規(guī)律4：該類數(shù)列前后數(shù)字之間是簡單的遞增或遞減關(guān)系，但是差值也是逐漸增加或者遞減的(也

是一個有規(guī)律的數(shù)列)。

例如：1,2,5,10,(),(),【規(guī)律】后面的數(shù)字比前面的數(shù)字大，并且這個大的

數(shù)字是逐漸增加的。

拓展提高1：

(1)4,5,1,10,(),()

(2)0,5,15,30,(),()

(3)0,3,9,18,(),()

(4)27,21,16,12,(),()

(5)50,41,33,26,(),()

規(guī)律5：該數(shù)列從第三個數(shù)字起，每一項數(shù)字都是前面兩個數(shù)字的和。

由此可以看出數(shù)列可以編排得很復雜，認真想一想，是不是會有很多的變化呢？

拓展提高2：

(1)0,1,1,2,3,5,8,(),()

(2)2,2,4,6,10,16,(),()

(3)1,2,2,4,8,32,(),()

(4)1,4,5,9,14,(),()

(5)(),89,(),34,21,13,8,5,3,2,1

規(guī)律6：該數(shù)列由兩個數(shù)列組成，就是單數(shù)位置上是一個數(shù)列，雙數(shù)位置上是另外的一個數(shù)列。

拓展提高3：

(1)3,2,6,4,12,6,(),()

(2)2,5,4,5,6,5,8,5,(),()

(3)3,1,5,2,7,3,9,5,(),()

(4)1,2,2,4,3,8,4,16,(),()

(5)1,1,2,2,3,3,5,4,8,(),()

規(guī)律7：該數(shù)列特殊在于從第2項開始，單數(shù)位置和雙數(shù)位置上的不一樣，只于前一項相關(guān)。

拓展提高4：

(1)30,15,14,7,6,(),()

(2)1,2,4,5,10,(),()

(3)3,6,5,10,9,(),()

上面我們練習總結(jié)了四年級以下小學奧數(shù)可能遇到的7類數(shù)列的規(guī)律，實際做題時，我們可

以依據(jù)上面的總結(jié)規(guī)律在做題，耐心、仔細地按上面的7條依次尋找數(shù)列中數(shù)字項目的規(guī)律。

當然，你的悟性比較強大的話，學到這里，你可能會自己設(shè)計數(shù)列了，比如：規(guī)律5是數(shù)列

從第三個數(shù)字起，每一項數(shù)字都是前面兩個數(shù)字的和，那么也可以變化成如下規(guī)律：

1、從第四個數(shù)字起，每一項數(shù)字都是前面三個數(shù)字的和。

2、從第二個數(shù)字起，每一項數(shù)字都是前面一個數(shù)字與后面一個數(shù)字乘以2的和。

3、從第二個數(shù)字起，每一項數(shù)字都是前面一個數(shù)字加上1與后面一個數(shù)字加1的和。

還可以有很多……

你可以設(shè)計很復雜的數(shù)列。

第二部分多數(shù)數(shù)列

【學習目標】

⑴掌握數(shù)列的一般表示方法;

⑵掌握多數(shù)數(shù)列的排列規(guī)律;

有時候，數(shù)列中的數(shù)字項很多，比如一個數(shù)列，它當中的數(shù)字是從1到100,那么怎么把

這個數(shù)列寫出來呢？

是像下面這么寫嗎？

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,

23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,

44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,

65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,

86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100o

按照這么寫的話，如果要列出一個數(shù)列，它的數(shù)字項是1到600,是不是要寫滿整整一頁？

如果中間寫錯了怎么辦？

如果數(shù)列的數(shù)字項是從1到100000呢？！你寫一個上午也寫不完啊！

前面，我們已經(jīng)學習了有規(guī)律的數(shù)列，知道了這些數(shù)列的數(shù)字項都是前后有一定關(guān)系的,

只要我們沿用這些規(guī)律或者關(guān)系，就可以用簡單方法來表示數(shù)字項有很多的數(shù)列了。

比如上面列出的1到100的數(shù)列，我們就可以簡單書寫如下：

1,2,3,4,....,100

可能的變換形式是：

1,2,3,…，99,100o

1,2,3,ooo,99,100

1,2,3,4,oooooo,100

一般的書寫方式：

列出前面的3或者4項，通過這3項或者4項可以表示這個數(shù)列數(shù)字項的排列規(guī)律，中間

的可以用“…”或者”……”【用的也有“。。?！被蛘摺?。。。。。?！薄縼肀硎?，最后的一項必須寫上。

對于數(shù)列，我們可以用｛｝這個符號來把這個數(shù)列包起來，注意不是0,也不是口。

有了上面的書寫規(guī)范，我們就可以輕松表示多項數(shù)列了。

2,4,6,…，98,100相當于｛2,4,6,…，98,100｝

表示一個數(shù)列，這個數(shù)列中的數(shù)字項從2開始，都是雙數(shù)（也叫偶數(shù)），后一項總是比前

一項多2,一直到100。

1,3,5,……,99相當于｛1,3,5,……,99｝

表示一個數(shù)列，這個數(shù)列中的數(shù)字項從1開始，都是單數(shù)（也叫奇數(shù)），后一項總是比前

一項多2,一直到99。

1,1,2,3,5,8,13,，1597相當于{1,1,2,3,5,8,13,，1597}

表示一個數(shù)列，這個數(shù)列中的數(shù)字項從1開始，數(shù)字項的規(guī)律是：從第3項開始，后一項

總是前兩項的和，一直到1597結(jié)束。

有了上面對于多數(shù)數(shù)列的表示方法，我們還可以用它來表示其他涉及多項運算的情況。

比如：要表示從1加到100可以這樣表示：

1+2+3+4+……+100,注意：這里就不能寫成｛1+2+3+4+……+100｝。

再比如，要表示從2加到98,其中數(shù)列中的每一項都是前一項加2：

24-4+6+8+....+98

這里需要弄明白一個問題，你怎么知道這里面有多少項呢？

我們發(fā)現(xiàn)：這數(shù)列中的數(shù)字都是雙數(shù)，第一項是2,就是1X2,第二項是4,就是2X2,

第三項是6,也就是3X2,也就是說，這數(shù)列中的數(shù)字實際上是它的序號乘以2,那么一直到98,

就是49X2,所以數(shù)列總共有49項。

下面的數(shù)列有多少項呢？

1+3+5+7+....+99

通過對前面兩個數(shù)列的分析，我們知道如果要知道數(shù)列有多少項關(guān)鍵在于弄明白數(shù)字項的

數(shù)值和它所在序號之間的關(guān)系，比如1+2+3+4+……+100,這個數(shù)列中的數(shù)字項的值就是等

于它的序號，而2+4+6+8+……+98這個數(shù)列中的數(shù)字項的值等于序號乘以2,所以弄明白

了序號與數(shù)字項的值之間的關(guān)系，得到數(shù)列有多少項就很輕松了。

在1+3+5+7+……+99這個數(shù)列中，我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)字項的值等于序號乘以2

再減1,比如1=1X2T,3=2X2-1,5=3X2-1,7=4X2-1,,一直到99=50義2-〈所以,這

個數(shù)列有50項。

這一部分，我們主要學習了多數(shù)數(shù)列的表示方法，前面我們講解的少數(shù)數(shù)列的7個規(guī)律，

也同樣適合多數(shù)數(shù)列。

第三部分等差數(shù)列

【學習目標】

⑴掌握等差數(shù)列的概念；

⑵掌握等差數(shù)列的通項公式、求和公式、項數(shù)公式；

⑶學習等差數(shù)列的一些應用。

前面我們學習了少數(shù)數(shù)列和多數(shù)數(shù)列，我們知道了數(shù)列就是按照一定的順序排列的數(shù)。

數(shù)列有很多種，比如有限數(shù)列和無限數(shù)列，有限數(shù)列就是數(shù)列中的項數(shù)是有限的，也叫有

窮數(shù)列，無限數(shù)列是指數(shù)列中的項數(shù)是無窮多的數(shù)列；單數(shù)數(shù)列和雙數(shù)數(shù)列，數(shù)列里的項的值

為單數(shù)的數(shù)列叫單數(shù)數(shù)列，也叫奇數(shù)數(shù)列，數(shù)列里項的值為雙數(shù)的數(shù)列叫雙數(shù)數(shù)列，也叫偶數(shù)

數(shù)列；還有自然數(shù)數(shù)列和整數(shù)數(shù)列，數(shù)列里的項為自然數(shù)的數(shù)列叫自然數(shù)數(shù)列，數(shù)列里的項為

整數(shù)的數(shù)列叫整數(shù)數(shù)列等等。

數(shù)列知識在日常生活中有很多的應用，比如我們知道了樓梯每一級的高度就可以計算出樓

房的高度，選擇一定的存款方式就可以計算出一定時間后自己能有多少的利息，我們根據(jù)數(shù)列

知識可以很快計算出超市貨架的貨物數(shù)量，如果你觀察過植物花朵的瓣數(shù)，你可能會發(fā)現(xiàn)花朵

的瓣是個神奇的數(shù)字，花瓣的數(shù)字就是1、2、3、5、8、13、……,這其實是個數(shù)列，在數(shù)學上

是有專有名稱的，叫裴波那契數(shù)列（又叫黃金分割數(shù)列），植物會數(shù)學嗎？它們不會的，可是為

什么它們的花瓣數(shù)就是這些神奇的數(shù)字呢？！說明數(shù)學就蘊藏在日常生活中，等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)

和運用。

數(shù)列中的每一項叫作數(shù)列的項，排列在第一個位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第一項，也叫首項，

排列在第二個位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第二項，排列在第三個位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第三

項，……，排列在第十九個位置上的數(shù)叫作數(shù)列的第十九項，數(shù)列中的最后一項叫末項，也叫

尾項，數(shù)列中總共有的項的個數(shù)叫做項數(shù)。

如果數(shù)列項很多，這樣的表述是不是比較繁瑣？

下面我們就要學習數(shù)列的規(guī)范表述方式。

通常情況下，為了方便表達和運用，我們把數(shù)列的第一項用小表示，第二項用&表示，第

三項用包表示，……，第十九項用小表示，如果這個數(shù)列有很多但不確定有多少的時候我們會

說這個數(shù)列有n項，相應地第n項就用烝表示了。

是不是覺得有點陌生？這樣的數(shù)學表述方式比較簡便，以后會慢慢習慣的，隨著習慣這樣

的表述后，你會接納到更多的數(shù)學知識。

今天我們學習的數(shù)列叫等差數(shù)列，我們前面也有過接觸，比如2,4,6,8,10,12,14,

還有4,7,10,13,16,19,22等，等差數(shù)列有什么特征呢？就是從第二項起，每一項與它的

前一項的差等于一個固定的值，這個固定的值我們叫常數(shù)，也叫公差，我們用d來表示，等差

數(shù)列的和用心來表示。

我們學習等差數(shù)列有什么用處呢？

第一：我們根據(jù)等差數(shù)列的特征可以很快計算出數(shù)列的和，無論是整個數(shù)列或者是一個范

圍段的數(shù)字項的和。

第二：給出數(shù)列的特征后，我們可以確定數(shù)列中的其他項。

熟悉上面兩項后，對于更復雜多變的數(shù)列你會有得心應手的處理。

當然，首要的也是最關(guān)鍵的是我們要學習和掌握等差數(shù)列的規(guī)律和特征。

我們知道，等差數(shù)列就是從第二項起，每一項與它的前一項的差等于一個常數(shù)，那么有沒

有一個方式來表示這樣的描述呢？

有的，那就是等差數(shù)列的每一項都可以用一個或幾個數(shù)學符號來表示，因為具有普遍性并

且適合數(shù)列中的每一項，我們稱它為公式，相對于數(shù)列則有個確定的稱謂，叫通項公式。

它的具體表述是這樣的：

如果一個等差數(shù)列的第一項為為,這個數(shù)列的差為d,有N項話，那么它的第N項的值就等

于a,+(n-1)Xdo

也就是：a0=a1+(n-1)Xd

末項=首項+公差X(項數(shù)T)

這是我們學習的第一個公式。

先舉個簡單點的例子：

比如:一個等差數(shù)列是2,4,6,8,10,12,14,……，我們根據(jù)通項公式,a1=2,d=2,

那么an=a,+(n-1)Xd=2+(n-1)X2=2+nX2-1X2=nX2,所以你可以很快地計算

出199項是多少了，/99=199X2=398。

再比如：如果一個等差數(shù)列的前4項依次是4,7,10,13,你知道它的第100項是多少嗎？

根據(jù)上面的公式，第一項是4,這個等差數(shù)列的差是3,第100項應該是4+(100-l)X3=301o

我們再來看等差數(shù)列的求和。

求和:1+2+3+........+99+100o

一般我們用的是首尾相加法,就是1+2+3+……+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……+

(50+51)=101+101+101+........+101=101X50=5050

這是個等差數(shù)列，它的等差數(shù)是1,為了計算它的和我們應用了首尾相加法，我們知道它有

100項,剛好有50個101,所以和等于5050。

想一想，現(xiàn)在只是計算到100,如果計算到100000呢？如果等差的值是其他的數(shù)呢？是不

是每次我們都要這么計算呢？！

數(shù)學是讓人聰慧的學科，等差數(shù)列太多了，我們應該根據(jù)等差數(shù)列的特征來推導出計算和

的簡便方法。

先看簡單的，求和：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13。

前面我們用的是首尾相加法來計算，這個方法有個弊端，就是要考慮項數(shù)，如果項數(shù)是單

數(shù)的話首尾相加法不夠明了，比如：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)

+7=14+14+14+14++14+14+7=14X6+7=84+7=91

或者

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)

+13=13+13+13+13+13+13+13=13X7=91

是不是不夠利索？！

下面我們用倒序相加法來做就比較簡單了。

看下圖：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

就相當于求上面的藍色球的個數(shù)。

而我們把球的堆疊方式換一下，

是不是求和問題就簡單了呢？

每一行都等于14,總共有13行，球數(shù)是13X14=182,而正常的球數(shù)應該是它的一半，就

是91。

我們用數(shù)字來表示，假設(shè)和為I

S13=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

S|3=13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

Si3+Si3=S13X2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)

=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)+(7+7)+(8+6)+(9+5)+(10+4)

+(11+3)+(12+2)+(13+1)=14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14=14X13=182

所以Si3=91

圖示的方法理解了嗎？是不是不用考慮項數(shù)的單數(shù)還是雙數(shù)的問題了？