2018-2020學年高中理數(shù)新創(chuàng)新一輪復習 第五章 平面向量含解析

第五章平面向量

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

本節(jié)主要包括2個知識點：1.平面向量的有關概念；平面向量的線性運算.

突破點(一)平面向量的有關概念

抓牢雙基?自學區(qū)

［基本知識］

名稱定義備注

既有大小又有方向的量叫做向量:向平面向量是自由向量，平面向量可自

向量

量的大小叫做向量的長度(或稱模)由平移

零向量長度為貴的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為瑞

方向相同或相反的非零向量，又叫做

平行向量0與任一向量平行或共線

共線向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大

相等向量長度相等且方向相同的向量

小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

［基本能力］

1.判斷題

(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()

(2)若2〃1),b〃c,則a〃c.()

(3)若向量a與b不相等，則a與b一定不可能都是零向量.()

答案：⑴X⑵X(3)V

2.填空題

(1)給出下列命題：

①若a=b,b=c,貝!|a=c；

②若A,B,C,。是不共線的四點，則成=比是四邊形ABCD為平行四邊形的充

要條件；

③a=b的充要條件是|a|=|b|且a〃b；

其中正確命題的序號是.

解析：①正確.Ta=b,，a,b的長度相等且方向相同,

又b=c,Ab,c的長度相等且方向相同，

Aa,c的長度相等且方向相同，故@=以

②正確.VAB=DC,|AB|=|DC|JLAB//~DC,

又A,B,C,。是不共線的四點，

二四邊形A8CD為平行四邊形；

反之，若四邊形A5CD為平行四邊形，

則焉〃萬不且?成|=|萬才|,因此，7B=DC.

③不正確.當a〃b且方向相反時，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a〃b

不是a=b的充要條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號是①②.

答案：①②

⑵若a、b都為非零向量，則使六+&=0成立的條件是.

答案：a與b反向共線

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量的有關概念

［典例］(1)(2018?海淀期末)下列說法正確的是()

A.長度相等的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長度等于0

D.方就是79所在的直線平行于黃所在的直線

(2)(2018?棗莊期末)下列命題正確的是()

A.若|a|=|b|,貝！Ja=b

B.若|a|>|b|,貝Ua>b

C.若a=b,則a〃b

D.若|a|=0,則a=0

［解析］(1)長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反

的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正確；

當了百〃7方時，弁所在的直線與而所在的直線可能重合，故D不正確.

(2)對于A,當|a|=|b|,即向量a,b的模相等時，方向不一定相同，故a=b不一定成

立；對于B,向量的?？梢员容^大小，但向量不可以比較大小，故B不正確；C顯然正確;

對于D,若|a|=0,則a=0,故D不正確，故選C.

［答案］(1)C(2)C

［易錯提醒］

(1)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大?。?/p>

(2)大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上.

［全練題點］

1.給出下列命題：

①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；

a=oq為實數(shù))，則2必為零；

③"為實數(shù)，若2a="b,則a與b共線.

其中錯誤的命題的個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點.②錯誤，當a=()時，

不論2為何值，2a=0.③錯誤，當2=4=0時，7a=〃b=0,此時，a與b可以是任意向量.錯

誤的命題有3個，故選D.

2.關于平面向量，下列說法正確的是()

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.平面內(nèi)的單位向量是唯一的

C.方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量

D.共線向量就是相等向量

解析：選C對于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對于B,

單位向量的模為1,其方向可以是任意方向，故B不正確；對于C,方向相反的向量一定是

共線向

量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對于D,由共線向量和相等向量

的定義可知D不正確，故選C.

3.如圖，△A8C和B'C是在各邊的3處相交的兩個全等的等邊

三角形，設aABC的邊長為a,圖中列出了長度均為：的若干個向量，則

(1)與向量不相等的向量有

(2)與向量下了共線，且模相等的向量有；

⑶與向量EA一共線，且模相等的向量有.

解析：向量相等o向量方向相同且模相等.

向量共線o表示有向線段所在的直線平行或重合.

答案：(1)向，He(2)反才，~LE,面,~GB,He

(3)~FB,W,~HK,KBr

突破點(二)平面向量的線性運算

抓牢雙基?自學區(qū)

［基本知識1

1.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

a交換律：a+b=b+a；結合律：

加法求兩個向量和的運算三角形法則

(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四邊形法則

XV

求a與b的相反向量

減法a-b=a+(-b)

-b的和的運算a

三角形法則

p.a|=|；||a|,當40刈a)=(2〃)a；

時，2a與a的方向a+4)a

求實數(shù)7與向量a的

數(shù)乘相同;當7<0時，=2a+〃a；

積的運算

然與a的方向相反；x(a+b)

當2=0時，2a=0=2a+2b

2.平面向量共線定理

向量b與a(aWO)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)使得b=2a.

［基本能力］

1.判斷題

(l)a〃b是a=2bqGR)的充要條件.()

(2心43。中，。是的中點，則罰=；(就+3).()

答案：⑴X(2)7

2.填空題

⑴化簡：

①京+MB+B0+~OM=.

②而+QP+加一和=.

答案：①焉②0

(2)若菱形ABCD的邊長為2,則|就一方+~CD\=.

解析：\AB^CB+CD\=\AB+~BC+CD\=\AD\=2.

答案：2

(3)在QABC。中，~AB=a,~AD=b,~AN=3NC,則就=(用a,b表示).

答案：|a+|b

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量的線性運算

應用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的法則即可.注意加法的三角形法則要求“首

尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點相同”；減法的三角形法則要求“起點相同”

且差向量指向“被減向量”；數(shù)乘運算的結果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算.

［例1］(1)(2018?河南中原名校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABC。中，D.______c

AB=2AD=2DC,E為3c邊上一點，~BC=3EC,尸為AE的中點,

則蘇=(

c.—D.一+1/1D

⑵(2018?深圳模擬)如圖所示，正方形A5C。中，”是BC的中點,

若就=￡描+"萬萬，貝！M+"=(

［解析］(1)BF=BA+4F='BA+^AE

=-~AB+|(AD+^AB+~CE)

=—7［方+；錯誤！

=~~AB+^AD+1AB+|(CD+DAVAB)

2—>1—>

=—~^AB+§4。.

(2)因為衣=kAM+fi~BD=A('AB+^M)+fi(~BA+茄)=2錯誤！+小一錯誤！+

4

3,

~AD)=(A-/i)AB+(b.+i,且就=3+詬，所以'

所以2+〃=；,故選B.

［答案］(1)C(2)B

［方法技巧］

1.平面向量的線性運算技巧"

(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向

量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解.

2.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路

(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置.

(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式.

(3)比較、觀察可知所求.

平面向量共線定理的應用

求解向量共線問題的注意事項

(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的

其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.

(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與

聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線.

(3)直線的向量式參數(shù)方程：A,P,8三點共線臺蘇=(1一力示+f蘇(0為平面內(nèi)

任一點，fGR).

［例2］(1)(2017?蕪湖二模)已知向量a,b是兩個不共線的向量，若向量m=4a+b與n

=a—北共線，則實數(shù)2的值為()

1

A.-4B.

4

(2)(2018?懷化一模)已知向量a,b不共線，向量79=a+3b,言=5a+3b,~CD=-

3a+3b,貝(］()

A.A,B,C三點共線B.A,B,。三點共線

C.A,C,。三點共線D.B,C,。三點共線

［解析］(1)因為向量a,b是兩個不共線的向量，所以若向量6=4a+b與n=a—北共

線，則4X(一力=1X1,解得a=一：，故選B.

(2)因為同=茲+年底=2a+6b=2(a+3b)=2%方，所以下方，女聲共線，又有公共點

B,所以A,B,。三點共線.故選B.

|答案］(1)B(2)B

［方法技巧］平面向量共線定理的三個應用

證明向量共線對于非零向量a,b,若存在實數(shù)九使2=北，則a與b共線

若存在實數(shù)人使前=2就，就■與就有公共點4,則A,B,C三點

證明三點共線

共線

求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值

［提醒］證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.

［全練題點］

1.［考點一］(2018?長春一桃)在梯形A8CD中，~AB=3DC,則成=()

A.-fAB+~ADB.-|AB+1

C.一;前+|通D.AD

解析：選A因為在梯形A8C。中，刀？=3萬所以^:=京+茄+友=一,

+AD+^AB=—^AB+AD,故選A.

2.［考點二］已知a,b是不共線的向量，7fl=；.a+b,AC=a+//b,1,4GR,則4,B,

C三點共線的充要條件為()

A.2+〃=2B.2—〃=1

C.加=一1D.；.//=1

解析：選D'：A,B,C三點共線，/.AB//AC,設A8=/〃AC(機WO),貝I2a+b=

人=tn,

“(a+"b),A］.?"4=1,故選D.

l=m〃，

3.［考點二］(2018?南寧模擬)已知ei,ez是不共線向量，a=wei+2e2,b=nei—ez,且

若8外，則：=()

A--2*B2

C.一2D.2

解析：選CVa//b,Aa=2b,即機ei+2e2="nei—e2),貝力故—=—2.

n

4.［考點一］已知點M是△ABC的邊8c的中點，點E在邊AC上，且衣=2AE,則瑞

1—>,1—>

A.|ACABB.TAC+TAB

Zo

1―>1—>1―?3―?

C.TOAC+^ZABD.oTAC+ZZAB

解析：選C如圖，?.,衣=27至，.,.宙=豆+后方=|就

+1cB=1AC+^(AB—AC)=^AB+*4(?.

5」考點一］如圖，在△0A8中，尸為線段A8上的一點，~OP=

xVA+y~OB,且訴=2右，貝！|()

A2112

A.x=§,y=~Bu-予，產(chǎn)§

C.x=w，y=aD.x=w，y=W

_,■>,,>“A->_>,,>->2-'A.A

解析：選A由題意知0P=08+3尸，又8P=224,所以0P=QB+q8A=03

22121

面

砌

小

+-就--

一

一=

3-33J3

3J

［全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律］

1.（2015?全國卷I）設。為△4BC所在平面內(nèi)一點，~BC=3CD,則（）

A.AD=—+^AC

B.~AD-^AB-^AC

c.AD=|AB+|AC

D.AD—|AC

解析：選AAD=AC+~CD=7?+1^C=AC+1(AC-Tfi)=^ACAB=-1

—>4—>,

AB+14C,故選A.

2.(2014?全國絡I)設O,E,F分別為△ABC的三邊5C,C4,AB的中點，則后+

FC=()

A.~ADB.|AD

C.BC

解析：選A~EB+FC=1(AB+~CB)+^(AC+-BC)=

1(AB+7c)=AD,故選A.

3.(2015?全國卷E)設向量a,b不平行，向量2a+b與a+2b平行，則實數(shù)2=.

解析：?；2a+b與a+2b平行，.*.2a+b=/(a+2b),

U=t,

即2a+b=ta+2/b,二|解得1

1=2/,

答案：|

I課時達標檢測I

［小題對點練---點點落實］

對點練(一)平面向量的有關概念

1.若向量a與b不相等，則a與b一定()

A.有不相等的模B.不共線

C.不可能都是零向量D.不可能都是單位向量

解析：選C若a與b都是零向量，則2=上故選項C正確.

2.設a()為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a卜a();②若a

與加平行，則a=|a|a?；③若a與a0平行且|a|=l,則a=a0.假命題的個數(shù)是()

A.()B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與⑶物的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若a與a0平行，則a與a?的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時a=-|a|a?,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.

3.已知a,b是非零向量，命題p：a=b,命題q：|a+b|=|a|+|b|,則p是g的

條件.

解析：若2=1>,則|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p今g.若|a+b|=|a|+|b|,

由加法的運算知a與b同向共線，即a=2b,且2>0,故q=lp..\p是g的充分不必要條

件.

答案：充分不必要

對點練(二)平面向量的線性運算

1.如圖，在平行四邊形A3CD中，E為OC邊的中點，且就'=a,>----]彳"

AD=b,則就'=()B乙=二

C.—1a+bD.1b+a

解析：選CBE=BA+AD+TDC=—a+b+Ta=b—la,故選C.

2.已知向量a,b不共線，且c=2a+b,d=a+(22-l)b,若c與d反向共線，則實數(shù)

2的值為()

A.1B.一；

C.1或-3D.-1或一^

解析：選B由于c與d反向共線，則存在實數(shù)k使c=W<0),于是2a+b=

人k,

〃[a+(22-l)6].整理得2a+b=Aa+(22A-A)b.由于a,b不共線，所以有「'整理

3"—?=1,

得加一2—1=(),解得;1=1或.又因為AV0,所以7V0,故

3.(2018?江西八校聯(lián)考)在△ABC中，P,0分別是邊A3,BC上的點，KAP=^AB,

若下=a,AC=b,則用=()

C-3a-3bD--3a-3b

解析：選APQ=PB+BQ=|A/?+1（AC—AB）=|AB+|AC=1

a+；b,故選A.卜

4.（2017?鄭州二樓）如圖，在△ABC中，點O在線段8c上，且J

1BO

滿足BD=^DC,過點D的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,

N,若翁=機,，~AN=nAC,貝?。荩ǎ?/p>

A.機+n是定值，定值為2

B.2>n+n是定值，定值為3

是定值，定值為2

D蟒2+假1定值，定值為3

解析：選D法一：如圖，過點C作CE平行于MN交A8于點

E.由就f就可得親=：,所以第=懸=尚,由8。=加?？?/p>

得黑=；,所以瑞=Thr=高，因為前=〃7不，所以，”=

“+丁

J'1,整理可得2+'=3.

3/f-lmn

法二：因為M,D,N三點共線，所以方=4篇+（1—幻?前.又前=機肉，~AN=

nAC9所以前=幺"16+（1—2）?11就,又罰=；萬不，所以罰一前=］就一焉方，所

以A方+：A=.比較系數(shù)知（lT）n=g,所以2+^=3,故選D.

jJS產(chǎn)72

5.（2018-釵川一樓）設點P是△A5C所在平面內(nèi)一點，且近+BA=2BP，則較+~PA

解析：因為就+京=2/，由平行四邊形法則知，點尸為AC的中點，故/行+右

=0.

答案：0

6.（2018?衡陽模擬）在如圖所示的方格紙中，向量a,b,c的起點和終點均在格點（小正

方形頂點）上，若c與xa+yb（x,y為非零實數(shù)）共線，貝4的值為.

解析：設ei,e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c=ei—

2ei,a=2ei+ei,b=_2ei—2ei,由c與xa+yb共線，得c=:(xa+yb),所以ei-2e2=22(x

3

|22(x—j)=l,

則?的值為

—j)ei+2(x—2j)e2,所以.

[A(x-2y)=-29y3

答案：I

7.(2018?金城一樓)在△A5C中，NA=60°,NA的平分線交3c于點。，若48=4,

且茄=：就+；＞.瓦聲QGR),則的長為.

解析：因為8,D,C三點共線，所以=+2=1,解得/.=；,如圖，B

過點O分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點M,N,則一京=；一就，

4N

,經(jīng)計算得AN=AM=3,40=斑.

答案：35

8.在直角梯形ABC。中，NA=90°,NB=30°,AB=2小,BC=2,點E在線段

C。上，若衣=茄+“"病，則〃的取值范圍是.

解析：由題意可求得4。=1,。。=小，所以3=2虎.

?.?點E在線段CD上，：JDE=XDC(042Wl).

?：~AE=~AD+DE,

又女=~AD+//~AB=~AD+2fiDC=AD+"笳,

A

**?—1,即〃：1,

1]

2J

答案：[o,I]

［大題綜合練——遷移貫通］

1.在△ABC中，D,E分別為BC,AC邊上的中點，G為BE上一

點，fiGB=2GE,設714=a,AC=b,試用a,b表示茄，AG.

解：AD=1(AB+AC)=1a+1b.

'BA+'BC)

=^AB+j(AC—AB)=^AB+p4C=1a+1b.

2.已知a,b不共線，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設fWR,如

果3a=c,2b=d,e=f(a+b),是否存在實數(shù)f使C,D,E三點在一條直線上？若存在，求

出實數(shù)，的值，若不存在，請說明理由.

解：由題設知，CD=d—c=2b—3a,CE=e—c=(f—3)a+tb,C,D,E三點在一條

直線上的充要條件是存在實數(shù)A,使得王方，即(t-3)a+zb=-3Aa+2Jtb,

整理得(f-3+3A)a=(2A-f)b.

￡—3+34=0,6

因為a,b不共線，所以有解得￡=.

t-2k=0,5

故存在實數(shù)吏C,D,E三點在一條直線上.

3.如圖所示，在△4BC中，D,尸分別是8C,AC的中點，AE=j

AD,AB=a,AC=b.

(1)用a,b表示向量啟，~AE,~AF,BE,BF；

(2)求證：B,E,f三點共線.

解：(1)延長AO到G,使/方=；就,

連接BG,CG,得到口ABGC,如圖，

所以就=,+^=a+b,

(2)證明：由(1)可知笳=初五,

又因為3E,BF有公共點、B,

所以僅E,F三點共線.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示

本節(jié)主要包括2個知識點：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐標表示.

突破點(一)平面向量基本定理

抓牢雙基?自學區(qū)

［基本知識］

如果e“e?是同一平面內(nèi)的兩個丕共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且

只有一對實數(shù)右,々，使a=&ei+Be2.

其中，不共線的向量erez叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底:

［基本能力］

1.判斷題

(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.()

(2)在△ABC中，設笳'=a,~BC=b,則向量a與b的夾角為)

(3)若a,b不共線，且iia+/ib=22a+"2b,則九=七，)

答案：(1)X(2)X(3"

2.填空題

(1)設e”e2是平面內(nèi)一組基底，若右ei+42e2=0,則右+%=.

答案：0

(2)設e”e2是平面內(nèi)一組基向量，且2=61+262,b=-ei+ei,貝!］2a—b=.

答案：3ei+3e2

(3)(2018?嘉興測試)在△ABC中，已知M是中點，設茍=a,~CA=b,則入法=

答案：—b+：a

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量基本定理

［典例］(1)(2018?長春模擬)如圖所示，下列結論正確的是

33

-

①--十

2a2

3

②-

-a一

2b:

@PS=能一聲

(4)PR=^a+b.

A.①@B.③④

C.(D@D.②④

(2)(2018?岳陽質檢)在梯形ABC。中，已知A8〃C￡>,AB-2CD,M,N分別為C￡>,

8c的中點.若4筋+”就，則：.+〃的值為()

［解析］(1)①根據(jù)向量的加法法則，得-d=；a+：b,故①正確；②根據(jù)向量的減法法

則，得pi=；@一條),故②錯誤；③P&=P0+0s=：a+,b—2b=］a—；b,故③正確；

④港=PQ+QR=1a+1b—b=^a+|b,故④錯誤，故選C.

(2)法一：連接AC(圖略)，由磊=/法+"京，得京=岐1方+就)+舄("就+

AB),則g—1)A》+］A戶+芯=0,得g—^錯誤!=0,得

卷+0.+習就=0.又下，而不共線，所以由平面向量基本定理得

’13(4

,+#_1=0,x=-j,

解得《G4

所以2+4=不

法二：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接MN并延長，交AB的延長線于點7；由已知

易得Ab=，T,所以］m=7咨=2翁+"京，因為T,M,N三點共

4

線，所以2+〃=g.

［答案］(1)C(2)C

［方法技巧］

平面向量基本定理的實質及解題思路

(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向

量的加、減或數(shù)乘運算.

(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

［全練題點］

1.(2018?泉州調(diào)研)若向量a,b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是

)

A.a—2b與一a+2bB.3a—5b與6a—10b

C.a—2b與5a+7bD.2a—3b與;a—

解析：選C不共線的兩個向量可以作為一組基底.因為a—2b與5a+7b不共線，故

a-2b與5a+7b可以作為一組基底.

2.向量ei,e2,a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a—b=()

A.—4ei—2eiB.一2ei—4e?

C.ei—3e2D.3ei—ez

解析：選C結合圖形易得，a=—ei—4ei,b=_2ei—ei,故a-b

=ei-3ez.

3.如圖，正方形ABC。中，E為OC的中點，若衣=/NG+〃就，D____E_c

則7+“的值為()//\

A-2b-~2

C.1D.-1

解析：選A由題意得4。=+g%1=5、+4、-34、=4、—gA：，g，

fi=l,.?:+”=；,故選A.

_?_?c

4.(2018?湖南邵陽一模)如圖，在△ABC中，設A5=a,AC=b,A

AP的中點為0,8。的中點為R,CR的中點為P,若力=ma+nb,貝!J

，〃+n=?

解析：根據(jù)已知條件得，~BQ=^Q-'AB

=1AP—AB=1(ma+nb)—a=l)a+郢，CR=BR—BC=^BQ—AC+AB

=1?-1>+多卜+2=?+外+修一小，.?/專a+機超=停一球+乳

$=一停+：>+()一之)「??豆+9=福，二修一§a+苧b=(_￡_：)a+q_?b,

r3/n_l_m

T~2=~~8

：.4解得，/故〃z+n=3.6

3n1n41

I428'Jt=79

答案：f

突破點(二)平面向量的坐標表示

抓牢雙基?自學區(qū)

［基本知識1

1.平面向■的坐標運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標運算及向量的模

設a=(xi,ji),b=(x2,yi)>則:

a+b=(xi+x2,力+北)，a-b=(xi-*2,3L32),xa=(zxi,xyQ,|a|=^/xH-j1.

(2)向量坐標的求法

若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.一般地，設4(修，刃)，8(X2,

j2)?則AB=(*2-xi,丫2-yi).

2.平面向量共線的坐標表示

設a=(xi,yi),b=(M,J2).其中bWO,則a〃boxiy2—X2Vi=O.

［基本能力］

(1)已知a=(2,l),b=(—3,4),則3a+4b=.

答案:(-6,19)

(2)已知向量a=(2,l),b=(l,—2),若,〃a+nb=(9,—8)(m,nGR),則機一n的值為

解析：V/na+nb=(2m+n,zn—2n)=(9,—8),

2m+n=9,m=2,

機—n=2-5=-3?

2〃=-8,〃=5

答案：一3

(3)若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，AB=(2,4),~AC則罰=

答案：(-1,-1)

(4)若三點A(L-5),B(a,-2),C(一2,-1)共線，則實數(shù)a的值為.

解析：AB=(a-l,3),AC=(-3,4),據(jù)題意知?！ň停?*.4(a-l)=3X(-3),即

5

4a=-5,.??a=-J

答案：V

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量的坐標運算

[例1](1)(2018?紹興模擬)已知點M(5,—6)和向量a=(L—2),若MN=-3a,則點

N的坐標為()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

(2)在△ABC中，點尸在BC上，且訴=2不？，點。是AC的中點，若右=(4,3),

~PQ=(1,5),則茲=.

［解析］(1)蘇=-3a=-3(l,—2)=(—3,6),

設N(x,y),則MN=(x-5,》+6)=(—3,6),

x=2,

所以即1

_y=0.

(2)AQ=~PQ-~PA=(-3,2),

/.AC=2Ag=(-6,4).PC=~PA+AC=(-2,7),

=3PC=(-6,21).

［答案］(1)A(2)(-6,21)

［方法技巧］

平面向量坐標運算的技巧

(1)向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的

坐標，則應先求向量的坐標.

(2)解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.

war平面向量共線的坐標表示

［例2］已知a=(l,O),b=(2,l).

(1)當A為何值時，Jta-b與a+2b共線;

(2)若磊=22+31),~BC=a+mb,且A,B,C三點共線，求機的值.

［解］⑴,=(1,0),b=(2,l),

.,.*a-b=A(l,0)-(2,1)=(t-2,-1),a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

■:ka—b與a+2b共線，

.*.2(*-2)-(-l)X5=0,AA=-1.

(2)成=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),-BC=(l,0)4-/n(2,l)=(2/n+l,m).

'：A,B,C三點共線，：J~AB//~BC,

3

:.8m—3(2m+1)=0,=不.

［方法技巧］

向量共線的坐標表示中的乘積式和比例式

(1)若a=(xi,ji),b=(X2,J2),則a〃boxi>2—x◎1=0,這是代數(shù)運算，用它解決平面

向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)，從而減少了未知數(shù)的個數(shù)，而且它使問題

的解決具有代數(shù)化的特點和程序化的特征.

(2)當x也-0時，a〃bo?=?,即兩個向量的相應坐標成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭

Xiyi

配錯誤.

(3)公式xij2—xjyi=0無條件工皿。0的限制，便于記憶；公式，■=?■有條件應及#0的

限制，但不易出錯.所以我們可以記比例式，但在解題時改寫成乘積的形式.

［全練題點］

1.［考點一］若向量a=(2,l),b=(-1,2),c=(0,0,則c可用向量a,b表示為()

A.1a+bB.—la-b

厚+上

f2x~j=0,

解析：選A設c=xa+jb,則(0,1)=(2x—j,x+2y)9所以，_5解得

“|x+2y=s，

1

則c/a+b.

2.［考點一］已知平行四邊形45CD中，茄=(3,7),AB=(-23)，對角