2020-2021學年焦作市高一年級上冊期末數學試卷(附答案解析)

2020-2021學年焦作市高一上學期期末數學試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.設集合M=｛直線｝,N=｛圓｝,則集合MCN中元素個數為()個.

A.0B.1C.2D.0或1或2

2.設F為拋物線C：y2=3久的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交于C于4B兩點，則=()

A.叵B.6C.12D.7V3

3

3,函數/Xx)=幽與萼的零點個數為()

X—2015

A.1B.2C.3D.0

4,若函數/(x)和gQ)都是奇函數，且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+8)上有最大值6,則尸(%)在

(一8,0)上()

A.有最小值-2B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-3

5.設函數/'(%)=lg(l-久)，則函數的定義域為()

A.(―9,+8)B.(-9,1)C.[-9,+8)D.[-9,1)

6.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的邊長為2的正方形，主視圖與左視圖是邊長N

為2的正三角形，則其全面積是()I

A.8

B.12

C.4(1+V3)

D.4V3

7.集合P={(x,y)|y=k},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a1},已知PnQ=0,那么實數k的

取值范圍是()

A.B.(-oo,l]C.(l,+oo)D.[1,+00)

8.已知平面a,直線人,%是兩不同的直線.下列選項中，能推出的是()

a

A."與"無公共點B.l1//a,1211■

C.1a,l21aD.%與a所成角相等

9.兩圓相交于點城口罩t遭電%-布：,兩圓的圓心均在直線富一般帶卷;=勵上，則版帶心的值為()

A.-1B.罷C.整D.(i?

10.設a=log32,6=log52,<7=log23,則()

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

11.棱長為2的正四面體的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()

A.12兀B,6兀C.24兀D.48兀

12.若/(x)是R上周期為5的奇函數，且滿足f(—2)=2,則f(2012)-/(2010)=()

A.2B.—2C.0D.—4

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設集合a={1,2,3,4},B={3,4,5},則滿足SU4且SC8#0,試寫出滿足條件的所有集合S有

______個.

14.函數/Xx)=x(l—%),x6(0,1)的最大值為一

22

15.以雙曲線會-套=1的右焦點為圓心，且被其漸近線截得的弦長為6的圓的方程為一

16.如圖，在三棱柱4BC-4/1的中，底面為正三角形,側棱垂直底面,28=4,

-I

A4i=6,若E,F分別是棱BBi，上的點，S.BE=BrE,QF=-CCv

則異面直線4E與4F

所成角的余弦值為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知函數/(%)=但9芯一kbx)(k>0,a>1>b>0)的定義域恰為(0,+8),是否存在這樣的a,

b,使得f(x)恰在(1,+8)上取正值，且f(3)=匈4?若存在，求出a,b的值；若不存在，請說

明理由.

18.已知直角△ABC的頂點坐標4(-3,0),直角頂點8(1,-2),頂點C在x軸上.

(1)求點C的坐標；

(2)求4ABC的斜邊中線的方程.

1

19.已知〃x)=-，

⑴判斷/(X)在(1,+8)上的單調性，并加以證明.

(2)求/Q)在［2,6］上的最大值和最小值.

20.如圖，在四棱錐P—28C。中，平面24。1平面ABC。，E為4。上一點，四邊形8CDE為矩形,

APAD=60°,PA=ED=2AE=2.

(/)若而=4正(4eR),且24〃平面BEF,求4的值;

(H)求證：CBJ■平面PEB.

21.已知a、/?是關于X的一元二次方程4/一4加久+機+2=0的兩個實數根,當實數6為何值時,

a?+儼+a+￡+2有最小值？并求出這個最小值.

22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓。：x2+y2=4,點Q(0,l),

過點P(0,4)的直線/與圓。交于不同的兩點48(不在y軸上).

(1)若直線I的斜率為3,求4B的長度；

(2)設直線Q4Q8的斜率分別為自，k2,求證：后+的為定值，并求出

該定值；

(3)設2B的中點為M,是否存在直線Z,使得MO=苧MQ?若存在，求出

直線珀勺方程；若不存在，說明理由.

參考答案及解析

L答案：A

解析：解：?.?"={直線},N={/},；.MCN=0,

則集合MCN中元素個數為0.

故選A

求出M與N的交集，即可作出判斷.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.

2.答案：C

解析：

本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，弦長公式的應用，屬于中檔題.

求出焦點坐標，利用點斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數的關系，由弦長公

式求得|4B|.

解：由>2=3久得其焦點F(|,0),準線方程為x=—|,

則過拋物線%=3久的焦點F且傾斜角為30。的直線方程為：

y=tan30°(x—|)=,

代入拋物線方程，消去y,得16久2—168X+9=0,

設4Qi，yi),B(x2,y2),

則/+%2=詈=§，

所以+：+%2+|

=2+三+2=12.

442

故選C.

3.答案：D

解析：解：-.-%-2014>0,/.%>2014,

???令/(%)=0，得：In(%—2014)=0,

.-.%-2014=1,%=2015,

???/(%)=0無解，

故選：D.

先求出函數的定義域，解方程無解，從而函數無零點.

本題考查了函數的零點問題，考查對數函數的性質，是一道基礎題.

4.答案:A

解析：解:由F(x)=a/(x)+bg(x)+2,得F(x)-2=a/(x)+bg(x),

?；f(%)和g(x)都是奇函數,

F(—x)—2=af(—x)+bg(—x)=—af(x)—bg(x)——[a/(x)+6g(x)]=—[F(x)—2],

F(x)—2是奇函數，

???尸(久)在(0,+8)上有最大值6,即F(x)<6,

???F(x)-2<4,

當xe(-8,0)時，-%e(0,+8),

則尸(一支)—2<4,即一[F(x)-2]<4,

F(x)-2>-4,BPF(x)>-2,

???x￡(—8,0)時，F(x)有最小值-2,

故選A.

5.答案：B

解析：

本題考查求函數的定義域，是基礎題.

求出復合函數的解析式，根據函數的解析式，列出使函數解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

解：..?函數/Q)=lg(l-%),

則函數/[/(%)]=lg[l-/(X)]=lg[l-lg(l-%)]

其定義域滿足:仁溫葭>0

解得:e;>

所以函數/[/(%)]的定義域為(—9,1).

故選：B.

6.答案：B

解析：解：由題意幾何體是一個四棱錐，其側面三角形的高為2,底面是邊長為2的正方形，

幾何體的表面積為4x|x2x2+2x2=12

故選B

由題意及圖象知，幾何體是一個四棱錐，其側面三角形的高為2,底面是邊長為2的正方形，由公式

求表面積即可

本題考查由三視圖求面積、體積，求解的關鍵是根據所給的三視圖判斷出幾何體的幾何特征，再根

據其幾何特征選擇求全面積的方法.

7.答案：B

解析：解：???集合P={(x,y)|y=k},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a1},PnQ=0,

+1>1,

■■k<1,

故選：B.

根據指數函數的性質以及基本之間的關系即可求出.

本題考查了集合的基本運算和指數函數的性質，屬于基礎題

8.答案：C

解析：解：對于4,%與%無公共點時，"與"可能異面，故A錯；

對于B,lr//a,%//a時,%與%可能異面，故2錯；

對于C,Zi1a,"La時，Z1//Z2，故C正確；

對于D,h，1與a所成角相等時，h，%可能異面、相交，故。錯；

故選：C.

A,兩直線無公共點時，可能異面；

B,兩直線平行同一個平面時，可能異面；

C,根據線面垂直的性質判定；

D,此時，"可能異面、相交；

本題考查了空間線面位置關系，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

9.答案：A

解析：試題分析：因為兩圓的相交弦所在的直線與圓心連線的直線垂直，且被其平分，因此可知48

的中點坐標修竺士R：在直線富-朋#富；=勵上，代入可知為

罷

*一I#/；=峋二*型怎帶編二=?

鬟

1%翹=.1=---二嬲=-3?

,1-W

將m的值代入上式解得c=2,因此可知?n+c=-l,選A.

考點：本試題考查了圓與圓的位置關系，以及直線與圓的位置關系的綜合運用。

點評：解決該試題的關鍵是理解直線所在的弦被兩圓圓心的連線垂直平分，同時利用中點公式得

到4B弦的中點，然后代入直線方程中，得到結論，屬于基礎題。

10.答案:D

解析：

本題主要考查了對數的運算性質.

解log25>log23>1,

11

???log23>1>:------；>：------->0

log23log25

Bpiog23>1>log32>log52>0,

■■■c>a>b.

故選D.

IL答案：B

解析：解：根據正四面體的外接球外徑公式，可知，其半徑的長度等于棱長的漁倍,

4

設半徑為R,則夫=漁、2=漁，

42

所以球的表面積為S=4TTR2=4TTx-=67r.

4

故選：B.

根據所給的棱長條件，代入公式，即可求解.

本題考查正四面體的外接球問題，相關結論要進行背、記，屬于基礎題.

12.答案：B

解析：解：?.?函數/(尤)是周期為5的周期函數，

???/(2012)=/(2010+2)=/(2),/(2010)=/(0),

???f。)是奇函數,且滿足f(-2)=2,

???/(0)=0,f(2)=-2,

則,(2012)-/(2010)=/(2)-/(0)=-2-0=-2,

故選：B.

根據函數的周期性和奇偶性的關系進行轉化即可.

本題主要考查函數值計算，根據函數奇偶性和周期性進行轉化是解決本題的關鍵.

13.答案：12

解析：解：根據題意知，SU4且SCB40,則集合S至少含有3,4這兩個元素中的一個，

則S的可能情況有：{3},{4},

{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},

{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},

{1,2,3,4},共12個.

故答案為：12.

根據題意，集合4的子集有16個，又由SC{3,4,5}大。，列舉即可得答案.

本題不難，但要注意把握題意中的限制條件，進行列舉時按一定的順序，做到不重不漏.

1

14.答案：-

解析：試題分析：根據題意，由于函數f(x)=久(1-久)，開口向下，對稱軸x=±,那么在定義域,

Xe(0,1)函數先增后減，則可知函數在對稱軸處函數值最大，且為三落工=工，故答案為工。

普鬟司4

考點：二次函數

點評：主要是考查了二次函數的性質的運用，屬于基礎題。

15.答案：(x—2>/5)2+y2=25

解析：

本題考查圓錐曲線的綜合運用，解題時要注意公式的正確選取.

由題意知所求圓的圓心為(2強0).圓心(2強0)到漸近線2%+y=0的距離d=整=4,所以圓的半

徑r=,9+16=5,由此可知圓的方程.

22

解：雙曲線匕―匕=1的右焦點為尸(2“,0),一條漸近線為2x+y=0.

416

???所求圓的圓心為(2代,0).

???所求圓被漸近線2x+y=0截得的弦長為6,

???圓心(2倔0)到漸近線2x+y=0的距離d=等=4,

圓的半徑r=y/9+16=5,

???所求圓的方程是(％-2有)2+y2=25.

故答案為：(%—26)2+必=25.

16.答案:四

10

解析：解：以c為原點，乙4為%軸，在平面ABC中過作4C的垂線為y軸，CQ為z軸，建立空間直角坐

川”MJ砧祠_4_V2

則cos?一?鬲雨一謬一?.

???異面直線41E與4F所成角的余弦值為四；

10

故答案為：立.

10

以C為原點，C4為%軸，在平面4BC中過作4C的垂線為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用

向量法能求出異面直線&E與AF所成角的余弦值.

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.

17.答案：解「ax—左廳＞0,即《尸〉k.

又a>l〉b>0,">1

x>1。。鼾為其定義域滿足的條件，

又???函數f(%)的定義域恰為(0,+8),

???logak=0,=1.

b

??.f(%)=lg(ax-bx).

若存在適合條件的a,b,則/⑶=lg(a3-h3)=匈4且lg(a%-b")>0對％>1恒成立,

又由題意可知/(%)在(L+8)上單調遞增.

???%>1時/(x)>f(1),

由題意可知/(1)=0即a—6=1又M—fe3=4

注意到a>l>b>0,解得a=衛(wèi)，b=旦.

22

???存在這樣的a,b滿足題意.

解析：先帶著參數求出函數/(%)=lg(ax-kb*)的定義域，為(log.+*,因為已知函數的定義域

為(0,+8),所以可知/。9鏟=0,求出k值為1.這樣函數可化簡為/(%)=lg(ax—/).假設存在適合

條件的a,b,使得/'(x)恰在(1,+8)上取正值，且f(3)=匈4,貝,(3)=lg(a3-匕3)=/g4且恒①“一

次)>0對x>1恒成立，根據函數的單調性知，x>1時/(%)>/(1),又因為/(I)=0,所以a一b=

1又a3—/=4,即可求出a,b的值.

本題主要考查待定系數法求函數解析式，考察了學生的理解力，轉化能力以及計算能力.

18.答案：解：⑴???直角A4BC的頂點坐標2(—3,0),直角頂點B(l,-2),

頂點C在無軸上，設C(m,0),

則KB-KCB=*?詈=—1，求得爪=2,故C(2,0).

A—D_lTH,—1

10+24

(2)斜邊AC的中點為BM的斜率為工=-3,

Z2

故的方程為y—0=+即4x+3y+2=0.

解析：(1)由題意利用直線的斜率公式，兩條直線垂直的性質，求得點C的坐標.

(2)先求出斜邊中點的坐標，再求出中線的斜率，用點斜式求出中線的方程.

本題主要考查直線的斜率公式，兩條直線垂直的性質，用點斜式求直線的方程，屬于基礎題.

19.答案：解析：(1)函數f(%)在(1,+8)上是減函數.

解：(1)函數/(%)在(L+8)上是減函數.

證明：任取1VV汽2

11

則f(久1)一/(>2)=」一」

%1~1%2-

二一％2

"(%i-l)(x2-1)

-1>0,x2—1>0,外一>0，

■■■-f(x2)>o,

即/'(%)>f(小)

所以f(%)在(1,+8)是減函數.

(2)由⑴可知/O)在(1,+8)上是減函數，

所以/(久)在［2,6］上是減函數，

所以f(x)g=f(2)1J(x)m譏=f(6)=|.

解析：第(1)問利用函數單調性定義證明，要分析清楚符號判斷過程；第(2)問要利用第一問函數的

單調性求最值.

第(1)問要注意先回答函數的單調性，在分析過程中必須說明清楚每一項與0的關系；第(2)要善于利

用函數性質解決問題.

20.答案：解：(/)連接4C交BE于點M,連接FM,

因為P4〃平面BEF,平面PACn平面BEF=FM,所以FM〃人P.

因為EM〃CD,所以煞=奈書

因為所以"=煞制

所以4=2.…(6分)

證明：(〃)因為4P=2,AE=1,^PAD=60°,

所以PE=舊，所以PE_LAD

又平面PADJ_平面4BCD,且平面P4DC平面2BCD=AD,PE平面4BCD,

所以PE_LCB,又BELCB,且PEnBE=E.

所以CB1平面PE8.…(13分)

解析：(/)連接4C交BE于點M,連接FM,由已知得FM//4P,由EM〃CD,FM//AP,能求出九

(〃)先求出PE=B，從而PEL20,進而PELC8,BE1CB,由此能證明CB，平面PEB.

本題考查實數值的求法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力

的培養(yǎng).

21.答案：解：因為一元二次方程有兩個實數根，所以△=16m2—16(m+2)>0,解得m<-1或m>

2,

由題可知a+S=7n,a(i=—,

貝ija2+/?2+a+^+2=m2-2-+m+2=m2+|m+1=(m+^)2+1|,

設/'(zn)=m2+|m+1,

可得fO)在m<-1遞減，即有f(6)2f(-1)=I，

/(m)在m>2遞增，可得/(m)>/