拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一

關(guān)于拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天對(duì)稱性2、關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y)

也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天頂點(diǎn)3、定義：拋物線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。在y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)（0，0）.只有一個(gè)注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天離心率4、P(x,y)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.

下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.P(x,y)P越大,開口越開闊第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天y2=2pxxyo·FlAB過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線截得的線段AB叫做拋物線的通徑，長(zhǎng)度為2pP越大，開口越闊補(bǔ)充（1）通徑：（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天補(bǔ)充（1）通徑：|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度：2PP越大,開口越開闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對(duì)稱性：3、頂點(diǎn)：4、離心率：5、通徑：第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析坐標(biāo)軸當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天變式：求頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸

為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，）

的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?；虻?3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)１：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)M（4,２)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)2：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是X軸，點(diǎn)M（-5,)到焦點(diǎn)距離為6,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()或D第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1設(shè)則第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法二:由題意可知,第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來證比較簡(jiǎn)捷．變式：過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線l相切．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過A、E、B分別向準(zhǔn)線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí):1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是______________.2.過拋物線的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_________3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=,求直線AB的方程y2=8xX=3第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對(duì)稱軸,