2016年高考-全國(guó)二卷-文科數(shù)學(xué)-(原題+解析)

2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)文數(shù)本卷滿(mǎn)分150分,考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},則A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2}2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+i=3-i,則z=()A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則()A.y=2sin2x-π6 C.y=2sinx+π6 4.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.323π C.8π 5.設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P,PF⊥x軸,則k=(A.12 B.1 C.32 6.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43 B.-34 C.3 7.下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.20π B.24π C.28π D.32π8.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.710 B.58 C.38 9.中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=()A.7 B.12 C.17 D.3410.下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是()A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=111.函數(shù)f(x)=cos2x+6cosπ2-x的最大值為A.4 B.5 C.6 D.712.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則∑i=1mA.0 B.m C.2m D.4m第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22~24題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題:本題共4小題,每小題5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=.

14.若x,y滿(mǎn)足約束條件x-y+1≥015.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,則b=16.有三張卡片,分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.

三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(本小題滿(mǎn)分12分)等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和,其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(本小題滿(mǎn)分12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(Ⅰ)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值;(Ⅱ)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值;(Ⅲ)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.19.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(Ⅰ)證明:AC⊥HD';(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22,求五棱錐D'-ABCFE的體積20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(Ⅱ)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,求a的取值范圍.21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知A是橢圓E:x24+y23=1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E(Ⅰ)當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;(Ⅱ)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明:3<k<2.請(qǐng)考生在第22~24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4—1:幾何證明選講如圖,在正方形ABCD中,E,G分別在邊DA,DC上(不與端點(diǎn)重合),且DE=DG,過(guò)D點(diǎn)作DF⊥CE,垂足為F.(Ⅰ)證明:B,C,G,F四點(diǎn)共圓;(Ⅱ)若AB=1,E為DA的中點(diǎn),求四邊形BCGF的面積.23.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)直線l的參數(shù)方程是x=tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),l與C24.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4—5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=x-12+x+1(Ⅰ)求M;(Ⅱ)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|.

2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)一、選擇題1.D由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故選D.2.Cz=3-2i,所以z=3+2i,故選C.3.A由題圖可知A=2,T2=π3--π6=π2,則T=π,所以ω=2,則y=2sin(2x+φ),因?yàn)轭}圖經(jīng)過(guò)點(diǎn)π3,2,所以2sin2×π3+φ=2,所以2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,即φ=2kπ-π4.A設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則a3=8,解得a=2.設(shè)球的半徑為R,則2R=3a,即R=3,所以球的表面積S=4πR2=12π.故選A.5.D由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=kx(k>0)得k=1×2=2,故選6.A由圓的方程可知圓心為(1,4).由點(diǎn)到直線的距離公式可得|a×1+4-1|a易錯(cuò)警示圓心的坐標(biāo)容易誤寫(xiě)為(-1,-4)或(2,8).7.C由三視圖知圓錐的高為23,底面半徑為2,則圓錐的母線長(zhǎng)為4,所以圓錐的側(cè)面積為12×4π×4=8π.圓柱的底面積為圓柱的側(cè)面積為4×4π=16π,從而該幾何體的表面積為8π+16π+4π=28π,故選C.8.B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口,即滿(mǎn)足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,9.C執(zhí)行程序框圖,輸入a為2時(shí),s=0×2+2=2,k=1,此時(shí)k>2不成立;再輸入a為2時(shí),s=2×2+2=6,k=2,此時(shí)k>2不成立;再輸入a為5,s=6×2+5=17,k=3,此時(shí)k>2成立,結(jié)束循環(huán),輸出s為17,故選C.10.D函數(shù)y=10lgx的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值域?yàn)镽,排除B,故選D.易錯(cuò)警示利用對(duì)數(shù)恒等式將函數(shù)y=10lgx變?yōu)閥=x,將其值域認(rèn)為是R是失分的主要原因.11.Bf(x)=1-2sin2x+6sinx=-2sinx-322+112,當(dāng)sinx=1時(shí),思路分析利用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式將f(x)=cos2x+6cosπ2-x轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù),通過(guò)配方來(lái)求最值,注意不要忘記sin12.B由題意可知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的圖象也關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),所以?xún)蓚€(gè)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),且每對(duì)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2,所以∑i=1mxi疑難突破關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2,由題意得出f(x)與y=|x2-2x-3|的圖象均關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵.二、填空題13.答案-6解析因?yàn)閍∥b,所以m3=4-2,易錯(cuò)警示容易把兩個(gè)向量平行與垂直的條件混淆.14.答案-5解析由約束條件畫(huà)出可行域,如圖中陰影部分所示(包括邊界).當(dāng)直線x-2y-z=0過(guò)點(diǎn)B(3,4)時(shí),z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.15.答案2113解析由cosC=513,0<C<π,得sinC=1213由cosA=45,0<A<π,得sinA=3所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=6365根據(jù)正弦定理得b=asinBsin16.答案1和3解析丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,則丙有兩種情況:①丙的卡片上的數(shù)字為1和2,此時(shí)乙的卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和3,滿(mǎn)足題意;②丙的卡片上的數(shù)字為1和3,此時(shí)乙的卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和2,這時(shí)甲與乙的卡片上有相同的數(shù)字2,與已知矛盾,故情況②不符合,所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.疑難突破先對(duì)丙分類(lèi)討論,確定出丙卡片上的數(shù)字情況再確定乙、甲是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.三、解答題17.解析(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.(3分所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+35(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2n+35當(dāng)n=1,2,3時(shí),1≤2n+35當(dāng)n=4,5時(shí),2≤2n+35當(dāng)n=6,7,8時(shí),3≤2n+35當(dāng)n=9,10時(shí),4≤2n+35<5,bn所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)疑難突破充分挖掘[x]的意義,進(jìn)而將{bn}的表達(dá)式類(lèi)比分段函數(shù)給出,從而求出數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和.18.解析(Ⅰ)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為60+50200故P(A)的估計(jì)值為0.55.(3分)(Ⅱ)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200故P(B)的估計(jì)值為0.3.(6分)(Ⅲ)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05(10分)調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.(12分)19.解析(Ⅰ)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.(2由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(Ⅱ)由EF∥AC得OHDO=AEAD=14由AB=5,AC=6得DO=BO=AB所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(Ⅰ)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D'⊥平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92×3=69所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=23220.解析(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+1x-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x+y-2=0.(3分)(Ⅱ)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0等價(jià)于lnx-a(x-設(shè)g(x)=lnx-a(xg'(x)=1x-2a(x+1(i)當(dāng)a≤2,x∈(1,+∞)時(shí),x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,因此g(x)>0;(8分)(ii)當(dāng)a>2時(shí),令g'(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)x∈(1,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(1,x2)單調(diào)遞減,因此g(x)<0.(11分)綜上,a的取值范圍是(-∞,2].(12分)21.解析(Ⅰ)設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知,直線AM的傾斜角為π4又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.(2分)將x=y-2代入x24+y23=1解得y=0或y=127,所以y1=12因此△AMN的面積S△AMN=2×12×127×127=144(Ⅱ)將直線AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=16k2-123+4k故|AM|=|x1+2|1+k2=由題設(shè),直線AN的方程為y=-1k故同理可得|AN|=12k1+k由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn),f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)單調(diào)遞增.又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(3,2)內(nèi),所以3<k<2.(12分)22.解析(Ⅰ)證明:因?yàn)镈F⊥EC,所以△DEF∽△CDF,則有∠GDF=∠DEF=∠FCB,DFCF=DECD=所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=