2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（呼和浩特卷）（全解全析）

年中考第一次模擬考試（呼和浩特卷）數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．實(shí)數(shù)的相反數(shù)是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了相反數(shù)的判斷，根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．【詳解】的相反數(shù)是5．故選：A．2．如圖是一個(gè)正方體被截去一角后得到的幾何體，它的主視圖是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【詳解】解；從正面看，右上角是三角形，故選；B．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．3．如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．4．2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇在北京舉行．國(guó)家主席習(xí)近平在主旨演講中聲明：“本屆高峰論壇期間舉行的企業(yè)家大會(huì)達(dá)成了972億美元的項(xiàng)目合作協(xié)議．”將972億美元用科學(xué)記數(shù)法表示成元，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)絕對(duì)值大于等于10的數(shù)表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)）；n的值為小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，即可求解．【詳解】解：972億，故選：C．5．若式子有意義，則x的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】本題考查分式和二次根式有意義的條件，根據(jù)分母不為0，被開方數(shù)大于或等于0，解不等式即可．【詳解】解：依題意得：且，解得且．故選C．6．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的減法、完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及冪的乘方的運(yùn)算法則逐一分析即可．【詳解】解：∵，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴選項(xiàng)C符合題意；∵，∴選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的減法、完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及冪的乘方，掌握以上法則是解題的關(guān)鍵．7．三張圖片除畫面不同外無(wú)其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部圖片放入一個(gè)布袋，把三張下部圖片放入另一個(gè)布袋，再分別從兩個(gè)布袋中各隨機(jī)摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將上部三張圖片分別記作、、，下部三張圖片記作、、，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：將上部三張圖片分別記作、、，下部三張圖片記作、、，列表如下：由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的有3種結(jié)果，所以這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，可排除B；當(dāng)時(shí)，排除C、D．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)過(guò)一三象限，一次函數(shù)與y軸正半軸有交點(diǎn)，過(guò)一二三象限，故A正確，排除B；當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)過(guò)二四象限，一次函數(shù)與y軸負(fù)半軸有交點(diǎn)，過(guò)二三四象限，排除C、D；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)綜合問(wèn)題，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵．9．如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，若，則矩形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，即可求證為等邊三角形，進(jìn)而得出點(diǎn)E為中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴點(diǎn)E為中點(diǎn)，∵F是的中點(diǎn)，若，∴，∵，∴，∴，∴矩形的周長(zhǎng)，故選：D．【點(diǎn)睛】矩形主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等，等邊三角形三線合一，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，以及解直角三角形的方法和步驟．10．直線和拋物線（a，b是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．下列結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸是直線②拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)③關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，④若，當(dāng)或時(shí)，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④【答案】B【分析】①可得，從而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判斷拋物線也過(guò)，從而可得方程的一個(gè)根為，可求拋物線的對(duì)稱軸為直線，從而可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即可求解；④當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，即可求解．【詳解】解：①直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，故①正確；②，由①得，，，，拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故②正確；③當(dāng)時(shí)，，拋物線也過(guò)，由得方程，方程的一個(gè)根為，拋物線，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，，解得：，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，，故③正確；④當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)，二次函數(shù)與不等式等，理解性質(zhì)，掌握解法是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．因式分解：．【答案】【分析】本題考查因式分解．先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可．【詳解】解：，，．故答案為：．12．在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制做了一個(gè)扇形，并由這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐模型（如圖②所示），若扇形的圓心角為，圓錐的底面半徑為2，則此圓錐的母線長(zhǎng)為．

【答案】【分析】設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則利用弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為l，則，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．13．將甲、乙兩組各10個(gè)數(shù)據(jù)繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖(如圖)，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是7，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則(填“”“”或“”)．

【答案】【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖可得甲的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，進(jìn)而根據(jù)方差的意義即可求解．【詳解】解：由折線統(tǒng)計(jì)圖可得，甲的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，方差的意義，理解數(shù)據(jù)波動(dòng)小的方差小是解題的關(guān)鍵．14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購(gòu)買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問(wèn)人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？”該問(wèn)題中的人數(shù)為.【答案】7人【分析】設(shè)共有x人，價(jià)格為y錢，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解．【詳解】解：設(shè)共有x人，價(jià)格為y錢，依題意得：，解得：，答：物品價(jià)格為53錢，共同購(gòu)買該物品的人數(shù)有7人,故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組即可求解．15．如圖，在菱形中，邊長(zhǎng)為，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，若將沿著折疊，使得點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，，折痕為，則的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先求出，再證明，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，解方程求出，則．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，∵，∴，由折疊的性質(zhì)得，，∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴或（舍去），∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽年左右）首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”就是利用圓內(nèi)接正多邊形無(wú)限逼近圓來(lái)確定圓周率，劉徽計(jì)算出圓周率．劉徽從正六邊形開始分割圓，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，圓內(nèi)接正二十四邊形，，割得越細(xì)，正多邊形就越接近圓．設(shè)圓的半徑為，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算；圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算；那么分割到圓內(nèi)接正二十四邊形后，通過(guò)計(jì)算可以得到圓周率．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】3.12【分析】求出正24邊形的周長(zhǎng)，再根據(jù)計(jì)算即可解決問(wèn)題．【詳解】解：圓內(nèi)接正二十四邊形的周長(zhǎng)，則，故答案為3.12【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正多邊形與圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．（1）計(jì)算：．（2）解不等式組【答案】（1）0，（2）【分析】（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）原式；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，解一元一次不等式組，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．如圖，一架無(wú)人機(jī)在滑雪賽道的一段坡道的上方進(jìn)行跟蹤拍攝，無(wú)人機(jī)伴隨運(yùn)動(dòng)員水平向右飛行．某次拍攝中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在點(diǎn)A位置時(shí)，無(wú)人機(jī)在他的仰角為的斜上方C處，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)地面B點(diǎn)時(shí)，無(wú)人機(jī)恰好到達(dá)運(yùn)動(dòng)員正上方的D處，已知的坡度為且長(zhǎng)為300米，無(wú)人機(jī)飛行距離為60米，求無(wú)人機(jī)離地面的高度的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】345米【分析】作于E，根據(jù)坡度，得到，推出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用，求出的長(zhǎng)，再在直角三角形中，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)，即可得解．【詳解】解：如圖，作于E，由題意，可知：四邊形為矩形，

∴米，，∵的坡度為，即：∴，又∵米，則（米），（米），∴（米）在中，，則（米），∴（米），∴（米）答：無(wú)人機(jī)離地面的高度約為345米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．19．隨著科幻電影的崛起，層出不窮的“硬核科技”元素也引起人們的熱烈討論，例如太空電梯，數(shù)字生命，重核聚變行星發(fā)動(dòng)機(jī)，超級(jí)量子計(jì)算機(jī)，人工智能，機(jī)械外骨骼等．強(qiáng)大的科技會(huì)促使科幻走進(jìn)現(xiàn)實(shí)，為激發(fā)學(xué)生對(duì)科技的熱情，某校七、八年級(jí)舉辦了青少年科技創(chuàng)新大賽，賽后從兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示．（數(shù)據(jù)分為5組：，，，，）b．七年級(jí)學(xué)生成績(jī)?cè)谶@一組的是：80，，81，82，82，83，，84，84，85，86，，87，88，89，89；c．七、八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)如表：年級(jí)統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)中位數(shù)七年級(jí)m八年級(jí)85根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)表中m的值為；(2)小航此次大賽的成績(jī)?yōu)?3分，在被抽取的50名學(xué)生中，他的成績(jī)超過(guò)了一半以上的同學(xué)，請(qǐng)判斷小航是哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生，并說(shuō)明理由；(3)若成績(jī)90分及以上為優(yōu)秀，七年級(jí)共有學(xué)生400名，估計(jì)本次大賽七年級(jí)學(xué)生成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；(4)請(qǐng)對(duì)七、八年級(jí)學(xué)生這次大賽的成績(jī)作出合理的評(píng)價(jià)．【答案】(1)82(2)小航是七年級(jí)的學(xué)生，理由見解析(3)本次大賽七年級(jí)學(xué)生成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為104人(4)見解析【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）根據(jù)中位數(shù)的意義解答即可；（3）用400乘以樣本中90分及以上的人數(shù)所占比例即可；（4）根據(jù)兩個(gè)年級(jí)的平均數(shù)、中位數(shù)解答即可．【詳解】（1）解：由題意得，把七年級(jí)學(xué)生成績(jī)從小到大排列，第25，26名學(xué)生的成績(jī)分別為82分，82分，故，故答案為：82；（2）小航是七年級(jí)的學(xué)生，理由如下：因?yàn)?3大于82，他的成績(jī)超過(guò)了被抽取的七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；（3）（人），答：本次大賽七年級(jí)學(xué)生成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為104人；（4）八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)比七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)大，八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)比七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)大，所以八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)要比七年級(jí)學(xué)生的成績(jī)好（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計(jì)總體、中位數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．如圖，四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，

(1)四邊形是什么特殊的四邊形？請(qǐng)證明；(2)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)菱形，證明見解析；(2)．【分析】()根據(jù)為的中點(diǎn)，可得出四邊形為平行四邊形，根據(jù)、即可得出的長(zhǎng)度，再結(jié)合即可得出，從而得出，進(jìn)而可證出四邊形是菱形；()設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理可得出的長(zhǎng)度，結(jié)合即可得出關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；本題考查了菱形的判定、勾股定理以及逆定理、解一元二次方程，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）四邊形是菱形．∵為的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，，∴四邊形是菱形；（2）設(shè)，則，，，∵，∴，又∵，∴，∴，解得：，，又∵，∴不合，舍去，∴，∴．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形的邊、分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，雙曲線的圖象經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)D．(1)求雙曲線的解析式；(2)若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)P作軸于點(diǎn)Q，記的面積為S，求S關(guān)于x的解析式，并寫出x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）本題主要考查反比例函數(shù)的圖象，運(yùn)用函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)求函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)以及知道點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求解即可．（2）本題主要考查動(dòng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上求面積問(wèn)題，解答本題關(guān)鍵在于用合理設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)之差表示出三角形邊長(zhǎng)．根據(jù)反比例函數(shù)解析式已知，合理設(shè)出點(diǎn)與的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出三角形的邊長(zhǎng)再求面積．動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)D重合，需要分情況考慮動(dòng)點(diǎn)在D的上方和下方．【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)在軸上，且反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式得，解得：，；（2）①當(dāng)P在線段的上方時(shí)如圖1，此時(shí)，∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，∴設(shè)，∴；②當(dāng)P在線段下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)，如圖2，同理綜上22．某文具店準(zhǔn)備購(gòu)甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價(jià)和利潤(rùn)如下表：甲水筆乙水筆每支進(jìn)價(jià)（元）a每支利潤(rùn)（元）23已知花費(fèi)400元購(gòu)進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購(gòu)進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等．(1)求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為多少元．(2)若該文具店準(zhǔn)備拿出2000元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過(guò)乙種水筆數(shù)量的4倍，問(wèn)該文具店如何進(jìn)貨能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元．(3)文具店為了吸引客源．準(zhǔn)備下次再購(gòu)進(jìn)一種進(jìn)價(jià)為12（元/支）的丙水筆，預(yù)算用1500元購(gòu)進(jìn)這三種水筆若干支（三種筆都需購(gòu)買），其中甲水筆與乙水筆的數(shù)量之比為1∶2，則該文具店至多可以購(gòu)進(jìn)這三種水筆共多少支．【答案】(1)甲、乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為5元、10元(2)購(gòu)進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時(shí)，能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是733元(3)169支【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程，函數(shù)關(guān)系式，以及不等式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“花費(fèi)400元購(gòu)進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購(gòu)進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等”列出方程求解即可；（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，甲種水筆購(gòu)進(jìn)x支，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出一次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可解答；（3）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水筆m支，則購(gòu)進(jìn)乙種水筆支，一共購(gòu)進(jìn)n支水筆，列出方程化簡(jiǎn)，得，根據(jù)，推出，再結(jié)合m、n均為正整數(shù)，得出當(dāng)時(shí)，n取得最大值，此時(shí)，即可解答．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，∴，答：甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為5元、10元；（2）解：設(shè)利潤(rùn)為w元，甲種水筆購(gòu)進(jìn)x支，，∵，∴w隨x的增大而增大，∵購(gòu)進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過(guò)乙種水筆數(shù)量的4倍，∴，解得，∵x為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，，答：該文具店購(gòu)進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時(shí)，能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是733元；（3）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水筆m支，則購(gòu)進(jìn)乙種水筆支，一共購(gòu)進(jìn)n支水筆，，化簡(jiǎn)，得，∵，∴，∴，∵m、n均為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，n取得最大值，此時(shí)，即該文具店至多可以購(gòu)進(jìn)這三種水筆共169支．23．如圖，是的直徑，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，，且，平分，與交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)是的直徑，可得，即，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，以及已知條件可得，等量代換后即可得，進(jìn)而得證；（2）連接，根據(jù)角平分線的定義，以及等邊對(duì)等角可得，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，由垂徑定理可得，進(jìn)而可得，即可求解．（3）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線分線段成比例，求得，設(shè)的半徑為，則，證明，可得，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，，，，，，，即，是的切線，（2）如圖，連接，平分，，∴，，，，是的直徑，，，即，，，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，由（2）可知，，，，設(shè)的半徑為，則，，，，，，，，，在中，，在中，，即，解得：（負(fù)值舍去），的半徑為2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理的推論，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．如圖1，已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C