定積分習(xí)題資料

第九章定積分練習(xí)題§1定積分概念習(xí)題按定積分定義證明：通過對(duì)積分區(qū)間作等分分割，并取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)集，把定積分看作是對(duì)應(yīng)的積分和的極限，來計(jì)算下列定積分：（1）（2）（3）（4）§2牛頓一菜布尼茨公式 1．計(jì)算下列定積分： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）（7）（8）2．利用定積分求極限：（1）（2）（3）（4）3．證明：若f在[a,b]上可積，F(xiàn)在[a,b]上連續(xù)，且除有限個(gè)點(diǎn)外有F＇（x）=f(x),則有§3可積條件證明：若Tˊ是T增加若干個(gè)分點(diǎn)后所得的分割，則證明：若f在[a,b]上可積，.3.設(shè)f﹑g均為定義在[a,b]上的有界函數(shù)。證明：若僅在[a,b]中有限個(gè)點(diǎn)處則當(dāng)f在[a,b]上可積時(shí)，g在[a,b]上也可積，且設(shè)f在[a,b]上有界，證明：在[a,b]上只有為其間斷點(diǎn)，則f在[a,b]上可積。證明：若f在區(qū)間上有界，則。§4定積分的性質(zhì)1.證明:若f與g都在[a,b]上可積,則其中是T所屬小區(qū)間△i中的任意兩點(diǎn),i=1,2…,n.2.不求出定積分的值,比較下列各對(duì)定積分的大小:(1) (2)3.證明下列不等式:(1)(2);一個(gè)比較簡單的,不同于9.11的證明.）※§6可積性理論補(bǔ)敘證明性質(zhì)2中關(guān)于下和的不等式(3).證明性質(zhì)6中關(guān)于下和的極限式.設(shè)試求在[0,1]上的上積分和下積分;并由此判斷在[0,1]上是否可積.設(shè)在[a,b]上可積,且上是否可積?為什么?證明:定理9.14中的可積第二充要條件等價(jià)于“任給都有.6.據(jù)理回答:何種函數(shù)具有“任意下和等于任意上和”的性質(zhì)?何種連續(xù)函數(shù)具有“所有下和（或上和）都相等”的性質(zhì)？對(duì)于可積函數(shù)，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的結(jié)論？7．本題的最終目的是要證明：若在[a,b]上可積，則在[a,b]內(nèi)必定有無限多個(gè)處處稠密的連續(xù)點(diǎn)，這可用區(qū)間套方法按以下順序逐一證明：（1）若T是[a,b]的一個(gè)分割，使得S（T）s(T)<b—a，則在T中存存在某個(gè)小區(qū)間（2）存在區(qū)間使得（3）存在區(qū)間使得（4）繼續(xù)以上方法，求出一區(qū)間序列說明為一區(qū)間套，從而存在而且在點(diǎn)x0連續(xù)。（5）上面求得的的連續(xù)點(diǎn)在[a,b]內(nèi)處處稠密?？偩毩?xí)題證明：若在[0，a]上連續(xù)，二階可導(dǎo)，且，則有2.證明下列命題：若在[a,b]上連續(xù)增，則F為[a,b]上的增函數(shù)。若在上連續(xù)，且（x）>0，則為上的嚴(yán)格增函數(shù)，如果要使在上為嚴(yán)格增，試問應(yīng)補(bǔ)充定義（0）=？3、設(shè)在上連續(xù)，且證明4．設(shè)是定義的上的一個(gè)連續(xù)周期函數(shù)，周期為p證明證明：連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)；連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中只有一個(gè)是奇函數(shù)。證明施瓦茨（Schwarz）不等式：若和g在[a,b]上可積，則利用施瓦茨不等式證明：（1）若在[a,b]上可積，則（2）若在[a,b]上可積，且（x）>m>0，則（3）若、g都在[a,b]上可積，則有閔可夫斯基（Minkowski）不等式：8．證明：若在[a,b]上連續(xù)，且（x）>0，則9．設(shè)為上的連續(xù)減函數(shù)，（x）>0；又設(shè)