定積分的性質(zhì)與計算方法

定積分的性質(zhì)與計算方法摘要:定積分是微積分學(xué)中的一個重要組成部分,其計算方法和技巧非常豐富。本文主要給出定積分的定義及討論定積分的性質(zhì)和計算方法,并通過一些很有代表性的例題說明了其計算方法在簡化定積分計算中的強(qiáng)大功能。關(guān)鍵詞:定積分性質(zhì)計算方法定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個子區(qū)間[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1。在每個子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點（1,2,...,n），作和式。設(shè)λ=max{△x1,△x2,…,△xn}（即λ是最大的區(qū)間長度），則當(dāng)λ→0時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的定積分，記為:。其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，∫叫做積分號。對于定積分，有這樣一個重要問題：函數(shù)在[a,b]上滿足怎樣的條件，在[a,b]上一定可積？下面給出兩個充分條件：定理1：設(shè)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上可積。定理2：設(shè)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則在[a,b]上可積。例：利用定義計算定積分.解：因為被積函數(shù)在積分區(qū)間[0,1]上連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)是可積的，所以積分與區(qū)間[0,1]的分法及點的取法無關(guān)。因此，為了便于計算，不妨把區(qū)間[0,1]分成n等份，分點為，;這樣，每個小區(qū)間的長度取，。于是，得合式當(dāng)即時，取上式右端的極限.由定積分的定義，即得所要計算的積分為

定積分的性質(zhì)1、2、,3、常數(shù)可以提到積分號前.4、代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和.5、定積分的可加性：如果積分區(qū)間[a,b]被c分為兩個子區(qū)間[a,c]與[c,b]則有又由于性質(zhì)2，若f(x)在區(qū)間D上可積，區(qū)間D中任意c（可以不在區(qū)間[a,b]上）滿足條件.6、如果在區(qū)間[a,b]上，則即=0.四、分部積分法設(shè)u=u(x),均在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式例：計算.解：結(jié)論計算的關(guān)鍵是迅速找到滿足的函數(shù)；求導(dǎo)數(shù)時有現(xiàn)成的計算公式可用，求定積分是也可用其性質(zhì)使計算簡單