定積分的計(jì)算和應(yīng)用

PAGEPAGE2定積分的計(jì)算與應(yīng)用見濤（阜陽師范學(xué)院附屬中學(xué)，514063917@）摘要：定積分是微積分學(xué)中從實(shí)際問題中抽象出來的一個(gè)重要的基本概念，也是積分學(xué)的基本運(yùn)算之一.本文主要討論定積分的計(jì)算及其應(yīng)用，對(duì)一些常用的方法和技巧進(jìn)行了歸納和總結(jié)，并較為深入地探討了定積分在幾何，物理，經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：定積分；計(jì)算；應(yīng)用眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分．微分實(shí)際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù).所以，微分與積分互為逆運(yùn)算.實(shí)際上，積分還可以分為兩部分.第一種是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若的導(dǎo)數(shù)是，那么(是常量)的導(dǎo)數(shù)也是，也就是說，把積分不一定能得到，因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)也是，是無窮無盡的常數(shù)，所以積分的結(jié)果有無數(shù)個(gè)，是不確定的．我們一律用代替，這就稱為不定積.而相對(duì)于不定積分，就是定積分.所謂定積分，就是以平面圖形的面積問題引出的.為定義在上的函數(shù)，為求由所圍圖形的面積，采用古希臘人的窮舉法，先在小范圍內(nèi)以直代曲，求出的近似值，再取極限得到所求面積，為此，先將分成等份：，取，記，則為的近似值，當(dāng)→+∞時(shí)，的極限應(yīng)可作為面積.把這一類問題的思想方法抽象出來，便得定積分的概念定義：對(duì)于定義在上的函數(shù)，作分劃，若存在一個(gè)與分劃及的取法都無關(guān)的常數(shù)，使得(1)則稱為在上的定積分，記作，稱為積分區(qū)間，稱為被積函數(shù)，分別稱為積分的下限和上限.當(dāng)?shù)脑瘮?shù)存在時(shí)，定積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求的不定積分.其實(shí)定積分也叫黎曼積分.我們還可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖像無限細(xì)分，再累加起來，而積分的本質(zhì)是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù).它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么，為什么定積分寫成積分的形式呢？定積分和積分看起來風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切聯(lián)系.把一個(gè)圖形無限細(xì)分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個(gè)理論，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分.這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓—萊布尼茲公式．定理（牛頓—萊布尼茲公式）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且是它在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則=也常寫成=(2)此公式用文字表述就是說一個(gè)定積分式的值.就等于上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差，且這個(gè)差值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù).正因?yàn)檫@個(gè)理論揭示了積分與定積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見定積分在積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上或其它領(lǐng)域的重要地位.因此，牛頓—萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理.一、定積分的計(jì)算方法（一）幾種基本的定積分計(jì)算方法由牛頓—萊布尼茲公式知，計(jì)算連續(xù)函數(shù)的定積分，關(guān)鍵是求⒈平面圖形的面積解這類問題一般應(yīng)用微元法例10計(jì)算橢圓所圍成的平面圖形的面積解由于橢圓關(guān)于軸與軸對(duì)稱，所以只需計(jì)算位于第一象限部分的面積,然后乘以4就得到所求平面圖形的面積.由，現(xiàn)選擇為積分變量（也可選擇為積分變量，難易程度相當(dāng)）它的變化區(qū)間為，于是，令,則，當(dāng)時(shí)，；.所以=，特別地當(dāng)時(shí)，得圓的面積為.注：求解這類簡單曲線時(shí)，①首先應(yīng)求出曲線的交點(diǎn)；②畫出經(jīng)過交點(diǎn)的曲線；③選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量可使運(yùn)算簡便.⒉旋轉(zhuǎn)體的體積例11計(jì)算橢圓圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積.解,如果，就得到半徑為的球的體積為.例12求由拋物線，直線及軸所圍成的平面圖形分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．解設(shè)繞，軸旋轉(zhuǎn)的體積分別為，，則,．參考文獻(xiàn)：[1]RobertEllisDennyGulick.微積分(上)[M].江蘇:科學(xué)技術(shù)出版社,1987年6月.388.[2]謝盛剛.微積分(上)[M].北京:科學(xué)出版社,2004年7月.134.[3]謝盛剛.微積分(上)[M].北京:科學(xué)出版社,2004年7月.136.[4]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].武漢:崇文書局,2003年10月.266.[5]蘇德礦.吳明華微積分